Текст работы

Содержание

Введение
Невозмущенное состояние
Потенциальная энергия возмущения
Преобразование кинетического слагаемого
Условие устойчивости
Заключение
Список литературы
Аннотация

Получены уравнения для поперечных компонент смещения плазмы, минимизирующего функционал Крускала - Обермана потенциальной энергии МГД-возмущения. Условие устойчивости состоит в отсутствии отрицательных собственных значений у этой системы уравнений (одно из них интегро-дифференциальное по продольной координате, другое интегральное) для любой магнитной поверхности в плазме.
Введение

Настоящая работа касается устойчивости плазмы в магнитных ловушках, в которых характерный размер изменения удерживающего магнитного поля сравним с "поперечным" размером плазмы. Интерес к таким ловушкам связан с тем, что в них возможна МГД-устойчивость в отсутствие магнитной ямы. К этому классу относится, в частности, ряд осесимметричных конфигураций, образованных полоидальным магнитным полем, как с замкнутыми силовыми линиями (конфигурации с обращенным полем (FRC), см. [1]; ловушки типа [2, 3] с внутренними проводниками, их разнообразные версии описаны в [4,5]), так и открытых (полукасп [6]; ловушка с дивертором [7, 8]; непараксиальный пробкотрон, устойчивый против "первой" моды [9]). В МГД-модели с изотропным давлением, в которой стабилизация сильно неоднородным полем проявляется как влияние сжимаемости плазмы, условие конвективной (желобковой) устойчивости имеет вид [16,17]

, (1)

где p (a) - невозмущенное давление плазмы, a - "метка" магнитной поверхности, U (a) = ∫B-1dl, интегрирование ведется по длине магнитной силовой линии в плазме, γ=5/3 - показатель адиабаты. В осесимметричных конфигурациях, рассматриваемых ниже, под магнитными поверхностями понимаются поверхности вращения, на которых лежат силовые линии и по которым происходит азимутальный дрейф частиц.
Согласно (1) устойчивы профили давления, не слишком быстро спадающие с U. Безразлично устойчивый профиль, при котором инкремент обращается в нуль, есть p* = p0 (U/U0) - γ, где p0 и U0 относятся к некоторой произвольно выбранной магнитной поверхности внутри плазмы. При выполнении (1) величина давления плазмы ограничена требованием устойчивости относительно баллонной моды.
В задаче отыскания границы МГД-устойчивости случаю бесстолкновительной плазмы адекватна кинетическая модель Крускала - Обермана [18, 19], которая не предполагает изотропизации давления в колебаниях. Устойчивые по Крускалу - Оберману профили p (a) могут, как показали расчеты, проделанные для различных конфигураций при β = 8πp/B2 →0 [20 - 23], существенно отличаться от получаемых в МГД-модели.
Расчеты профилей, устойчивых в модели Крускала - Обермана, при конечных β до сих пор отсутствуют. Трудность расчетов устойчивости при конечном β связана с тем, что, хотя общий критерий устойчивости хорошо известен - положительность функционала потенциальной энергии возмущения, - до сих пор не разработана регулярная процедура отыскания при β ≠ 0 того возмущения, на котором достигается минимум (именно им определяется устойчивость) этого функционала. В случае β → 0 подобной трудности не возникает, поскольку наиболее опасные возмущения имеют простой вид "желобков".
Заменой "кинетического" слагаемого в выражении Крускала - Обермана для потенциальной энергии колебаний на величину, ограничивающую его снизу, удается при β ≠ 0 находить достаточные условия устойчивости, см., например, [24,25]; для плазмы с изотропным невозмущенным давлением при этом получается критерий (1).
В недавней работе [26] условия устойчивости в случае сформулированы, не прибегая к такой замене.
В данной работе получено условие МГД-устойчивости по Крускалу - Оберману для плазмы с конечным β без предположения об изотропии невозмущенного давления (результат [26] охватывается как частный случай).
Невозмущенное состояние

Рассматриваются осесимметричные равновесные конфигурации полоидального магнитного поля

, , (2)

ψ - потоковая функция, r - расстояние от оси. Поле , силовые линии которого лежат на поверхностях ψ = const (так что естественно взять ψ в качестве метки магнитной поверхности), и величины, характеризующие плазму, зависят от ψ и координаты, отсчитываемой вдоль . Считается, что на магнитной силовой линии имеется один минимум . Функция распределения частиц (в задаче важны горячие, вносящие вклад в давление плазмы, популяции; для сокращения записи будем считать, что такая популяция только одна - электроны или один сорт ионов) зависит от интегралов движения: энергии ε = ν2 /2 (для удобства поделена на массу частицы), магнитного момента μ = / (2B) и метки магнитной поверхности, возле которой происходит движение, ψ. Магнитное поле и компоненты давления

, (3),
(4)

(M - масса частицы, ) удовлетворяют уравнениям равновесия [27]

, (5)
, (6)

где означает производную в направлении B, - плотность азимутального тока во внешних катушках, . Плотность тока в плазме составляет, см. [28],

. (7)

Описание отклонений от равновесия удобно проводить в связанных с равновесным полем ортогональных координатах ψ,θ,χ в которых

, , .

Здесь χ - координата вдоль , направление отсчета азимутального угла θ выбирается так, чтобы единичные векторы составляли правую тройку, r = r (ψ,χ) - расстояние до оси от точки на силовой линии ψ = const; якобиан J (ψ,χ) удовлетворяет вне проводников уравнению

, (8)

где . Это уравнение получается взятием циркуляции по контуру, ограничивающему площадку dψdχ в плоскости θ = const, с учетом (7). Выбор χ не однозначен (преимущество того или иного выбора здесь не обсуждается), и от него зависит граничное условие для J, поскольку решение (8) содержит произвольный множитель φ (χ).
В дальнейшем равновесное состояние считается заданным, то есть функции r (ψ,χ), B (ψ,χ), J (ψ,χ), (ψ, B (ψ,χ)) известными.

Потенциальная энергия возмущения

Исходим из выражения для потенциальной энергии МГД-возмущения [29]

, (9) где
, (10)
,
, , -

смещение элемента плазмы поперек , , ; σ и τ считаются положительными (тем самым исключаются источники неустойчивостей, в случае ∂/∂ψ = 0 именуемых, соответственно, шланговой и зеркальной); кинетическое слагаемое

=, (11)

интегрирование по длине вдоль силовой линии в (11) ведется между точками поворота частицы, а для пролетных частиц в случае замкнутой силовой линии - по всей ее длине. Присутствующая в (10), (11) величина q выражается через коэффициенты Ламе [30]

(12)

и связана с кривизной силовой линии : именно, .
Функционал W для азимутальной моды m
Записав компоненты смещения в виде [17]
, , (13)
m ≥ 1 (выбор начала отсчета θ и фазы θ0 роли не играет), и перейдя в (11) от переменных к переменным , после интегрирования по θ будем иметь

, , (14) где
плазма магнитная ловушка устойчивость

, (15)
, (16)введены обозначения
, (17)
, (18)
, (19)

- значение поля в минимуме на силовой линии ψ = const. Нижний предел интегрирования по λ в (16) в случае открытой ловушки равен , где - поле в пробке, а в случае замкнутых силовых линий, когда есть пролетные частицы, предел . В дальнейшем будем полагать , имея в виду, что в случае открытой ловушки величина (17) равна в интервале (в конусе потерь) нулю. Для изотропной функции распределения эта величина не зависит от и равна давлению , выражение (15) сводится к формуле (6.16) (c ) статьи [17], а (16) переходит в выражение (27.3) работы [19]. Стабилизирующее действие неоднородности поля существенно, если кинетический член (16) сравним по величине с "гидродинамическим" слагаемым (15).

Преобразование кинетического слагаемого

Преобразуем кинетический член к другой форме. Заметим, что величина стоит в (16) только в сумме с . Используем обозначение

. (20)

Перепишем (16) как

(21)

и изменим в (21) порядок интегрирования по и . Область интегрирования показана на рис.1.


Рис.1. Область интегрирования в плоскости в интеграле (21).

Получим

, (22)

где [] - интервал изменения χ в ловушке. Далее вернемся к записи величины , фигурирующей в (22), в виде (18) и поменяем порядок интегрирования по λ и координате χ (см. рис.2).


Рис.2. Область интегрирования в плоскости в интеграле (22).

Придем к выражению


, (23)

в котором ядра суть


, (24)
(25)
(26)
, (27)
где
, (30)

а величина равна

(31)
то есть
. (31а)

Анизотропия распределения частиц проявляется в представлении кинетического члена в форме (23) тем, что вносит зависимость множителя P в (30) от λ; в случае изотропного распределении будет, как уже говорилось, просто , этот случай рассматривался в [26].
Поскольку и входят в (31а) равноправно, после переименования переменных в слагаемом с в (23) окончательно имеем

(32)

Условие устойчивости

Для устойчивости достаточно, чтобы при любом ψ величина в (14) была для возмущений неотрицательна. Примем нормировку

, (33)

где - положительная функция. Поскольку мы интересуемся только знаком на каждой магнитной поверхности, конкретный вид C (ψ) (характер локализации возмущения по ψ) для дальнейшего не существен, важна лишь положительность этой величины. Условие устойчивости будет соблюдено, если для каждого ψ при нормировке (33) не отрицателен минимум функционала относительно варьирования зависимостей и от χ, или, что эквивалентно, не отрицателен минимум функционала

. (34)

В выражении для азимутальное число m содержится в (15). Слагаемое с m положительно и стремится к нулю при m → ∞. Имея в виду получить наиболее жесткое среди возможных m условие устойчивости, положим (как в [17]) m >>1 и данное слагаемое опустим. При этом компонента будет входить в , как и в , только в комбинации .
Функционал при m → ∞ назовем.
Обозначим интересующий нас через . Этот минимум достигается на компонентах смещения (13), удовлетворяющих уравнениям Эйлера. При варьировании в (34) принимаем во внимание в случае замкнутых силовых линий ("длиной" ) требование

, (35)

а в случае открытой ловушки поставим на торцах граничные условия

(36)

(эти условия допускают существование желобковых и баллонных мод). В обоих случаях приходим к уравнению Эйлера


. (37)

Варьирование дает второе уравнение Эйлера

. (38)

В случае изотропного невозмущенного распределения уравнения (37), (38) переходят в уравнения, полученные в [26].
Если система интегро-дифференциальных уравнений (37), (38) с дополнительным условием (35) (или граничными условиями (36)) не имеет ни при каком ψ собственных значений , плазма устойчива.
При β → 0 в первом приближении по β из (38) получается , т.е. , а из (37) будем иметь X = const. (Критерий устойчивости [31], см. также книгу [32], получится в следующем приближении по β). Это с учетом (13) означает, что поперечное смещение (дрейф в скрещенных равновесном магнитном поле и электрическом поле возмущения) происходит в результате действия потенциального поля , имеющего желобковый вид: Φ не зависит от χ.
Заметим, что при замене кинетического слагаемого в на выражение , ограничивающее снизу, которое не содержит интегрирования по λ и включает только интегралы по χ (например, для имеем, согласно теореме сравнения [18, 19], )), интегральное и интегро-дифференциальное уравнения Эйлера, заменяющие (37), (38), будут уравнениями с вырожденными ядрами. Это упрощает их решение и отыскание достаточного условия устойчивости (при сводящегося для желобковой моды к (1), см. [24, 26]).
Заключение

Для кинетического слагаемого в функционале Крускала-Обермана потенциальной энергии МГД-возмущения получено выражение в форме двойного интеграла по продольной координате (32). Минимизация по двум компонентам смещения при нормировке (33) приводит к системе уравнений Эйлера, состоящей из одного интегро-дифференциального и одного интегрального уравнений (37), (38). Вид ядер в интегральных слагаемых определяется функцией распределения частиц по питч-углу, формулы (24) - (31). Условием МГД-устойчивости служит отсутствие отрицательных собственных значений у этой системы.
Список литературы

1. Tuszewskii M. // Nucl. Fusion. 1988. V.28. P. 2033.
. Кадомцев Б.Б. // Физика плазмы и проблема управляемых термоядерных реакций /Под ред. М.А. Леонтовича. М.: Изд. АН СССР, 1958.Т. IV. С.353.
3. Ohkawa T., Kerst D. W. // Phys. Rev. Lett. 1961. V.7. P.41.
. Фюрт Г. // Физика высокотемпературной плазмы /Под ред. М.С. Рабиновича. М.: Мир, 1972. С.172.
. Морозов А.И., Савельев В.В. // Успехи физ. наук. 1998. Т.168. С.1153.
. Димов Г.И. // Успехи физ. наук. 2005. Т.175. С.1185.
. Lane B., Post R. S., Kesner J. // Nucl. Fusion. 1987. V.27. P.227.
. Пастухов В.П., Соколов А.Ю. // Физика плазмы. 1991. Т.17. С.1043.
. Рютов Д.Д., Ступаков Г.В. // Письма в ЖЭТФ. 1985. Т.42. С.29.
. Casey J. A., Lane B. G., Irby J. H. et al. // Phys. Fluids. 1988. V.31. P. 2009.
. Yasaka Y., Takano N., Takeno H. // Transactions of Fusion Technology. 2001. V.39. P.350.
. Kulygin V. M., Arsenin V. V., Zhiltsov V. A. et al. // Nucl. Fusion. 2007. V.47. P.738.
. Kesner J., Boxer A. C., Ellsworth J. L. et al. // 21st IAEA Fusion Energy Conf., Chengdu, China, 2006. IC/P7-7.
. Yosida Z., Ogawa Y., Morikawa J. et al. // Ibid. IC/P7-14.
. Берникова М.М., Вайтонене А.М., Вайтонис В.В. и др. // Вопросы атомной науки и техники. Сер. Термоядерный синтез. 2003. Вып.1. С.22.
. Кадомцев Б.Б. // Физика плазмы и проблема управляемых термоядерных реакций /Под ред. М.А. Леонтовича. М.: Изд. АН СССР, 1958.Т. IV. С.380.
17. Bernstein A. B., Frieman E. A., Kruskal M. D., Kulsrud R. M. // Proc. Roy. Soc. London. 1958. V. A244. P.17.
. Kruskal M. D., Oberman C. L. // Phys. Fluids. 1958. V.1. P.275.
. Rosenbluth M. N., Rostoker N. // Phys. Fluids. 1959. V.2. P.23.
. Adler E. A. // Phys. Fluids. 1982. V.25. P. 2053.
. Михайловская Л.В. // Физика плазмы. 1988. Т.14. С.1241.
. Соколов А.Ю. // Физика плазмы. 1992. Т.18. С.657.
. Арсенин В.В., Куянов А.Ю. // Физика плазмы. 2001. Т.27. С.675.
. Walstead A. E. // Phys. Fluids. 1982. V.25. P.1358.
. Simakov A. N., Hastie R. J., Catto P. J. // Phys. Plasmas. 2000. V.7. P.3309.
. Арсенин В.В. // Физика плазмы. 2008. Т.34. №5.
. Grad H. // Phys. Fluids. 1967. V.10. P.137.
. Шафранов В.Д. // Вопросы теории плазмы /Под ред. М.А. Леонтовича. Вып.2. М.: Госатомиздат, 1963. С.92
. Taylor J. B., Hastie R. J. // Phys. Fluids. 1965. V.8. P.323.
30. Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. М.: Издательство АН СССР, 1951.
. Кадомцев Б.Б. // Физика плазмы и проблема управляемых термоядерных реакций /Под ред. М.А. Леонтовича. М.: Изд. АН СССР, 1958.Т. IV. С.370.
. Михайловский А.Б. Теория плазменных неустойчивостей. Т.2. Неустойчивости неоднородной плазмы. М.: Атомиздат, 1971.