Текст работы

Лекция 3

Уравнения Максвелла. Дифференциальные
уравнения электромагнитного поля.

3.1. Первое уравнение Максвелла.
3.2. Второе уравнение Максвелла.
3.3. Третье уравнение Максвелла.
3.4. Четвертое уравнение Максвелла.
3.5. Закон сохранения заряда в дифференциальной форме.
3.6. Таблица уравнений ЭМП.

1. Интегральные уравнения не позволяют получать информацию об электромагнитных процессах в каждой точке пространства. Они дают усредненные решения полей в пространстве.
2. Хорошо развитый аппарат математических решений позволят переходить от интегральной формы к дифференциальным решениям.
Впервые переход от интегральных уравнений к дифференциальным сделал Максвелл.
3.1. Первое уравнение Максвелла является дифференциальной формулировкой закона полного тока:

H dl = Iпол ; Iпол = Iпр + Iсм
L
Iпол = полн dS ; пол = пр + см (3.1.1.)
S
S - опирается на контур L.

H dl = полн dS (3.1.2.)
L S
Используем теорему Стокса:

H dl = rot H dS = полн dS (3.1.3.)
L S S
Равенство сохраняет силу по любой поверхности, опирающейся на контур L, отсюда следует, что подынтегральные функции равны.

rot H = полн ; пр = E - дифференциальная форма закона Ома.
см =
rot H = E + - первое уравнение Максвелла. (3.1.4.)
Физический смысл 1-го уравнения Максвелла.
Источниками вихревых магнитных полей являются токи проводимости и токи смещения.

3.2. Второе уравнение Максвелла является дифференциальной формулировкой закона электромагнитной индукции:

E dl = - dS ; (3.2.1.)
L S
rot E dS = - dS (3.2.2.)
S S

rot E = - - второе уравнение Максвелла. (3.2.3.)
Физический смысл. Вихревое электрическое поле создается переменным магнитным полем.

3.3. Третье уравнение Максвелла является дифференциальной формулировкой теоремы Гаусса для электрических полей.

D dS = Q (3.3.1.)
S
Воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса, которая позволяет осуществить переход от

поверхностного интеграла П (D) к объемному интегралу от (div D):

D dS = div D dV (3.3.2.)
S V
Запишем правую часть уравнения (3.3.1.) для объемного заряда. Объединим два выражения:
Q = dV
V

div D dV = dV
v v

div D = - третье уравнение Максвелла. (3.3.3.)

Физический смысл. Источниками электрического поля (векторов Е и D) являются заряды с плотностью .
3.4. Четвертое уравнение Максвелла является дифференциальной формулировкой теоремы Гаусса для магнитных полей:

B dS = 0 ; (3.4.1.)
S

div B = 0 - четвертое уравнение Максвелла. (3.4.2.)

Физический смысл. Дивергенция вектора В в любой точке пространства равняется нулю, т.е. - источников нет (магнитные заряды в природе отсутствуют). Нет ни стыков, ни источников.

3.5. Закон сохранения заряда в дифференциальной форме:

Используем теорему Остроградского-Гаусса:

div пр dV = - dV
v v
(3.5.1.)
div пр = - - это уравнение является следствием из предыдущих уравнений
3.6. Таблица интегральных и дифференциальных уравнений электромагнитного поля.

Материальные уравнения cреды.

D = a E Все эти уравнения являются обобщением в математической форме опытов всего человечества об электромагнитных явлениях. Они не доказываются и не выводятся - это результат опытов.

B = a H

пр = E

см = D / t

Интегральные уравнения электромагнитного поля	Дифференциальные уравнения электромагнитного поля. Уравнения Максвелла
1.Закон полного тока: H dl = Iпр + Iсм L 2.Закон электромагнитной индукции: E dl = - dS L S 3.Теорема Гаусса для электрических полей: D dS = Q 4.Теорема Гаусса для магнитных полей: B dS = 0 5.Закон сохранения заряда пр dS = - dV S V	rot H E + rot H = пр + см rot E = - div D = div B = 0 div пр = -