Текст работы

Белорусский государственный университет
Факультет радиофизики и электроники

Реферат
«Вынужденные колебания. Амплитудно-частотные и фазово-частотные характеристики»

Реферат подготовил
студент I курса группы №7
Константин Мулярчик.

Преподаватель:
Янукович Татьяна Петровна.

Минск
2004
Колебания – такие процессы, при которых параметры, характеризующие состояние колебательной системы, повторяются с течением времени. Например, колебания маятника в маятниковых часах, суточные колебания освещённости данного участка Земной поверхности и т.д.
Вынужденные колебания - колебания системы, возникающие под воздействием внешней вынуждающей силы. Характер этих колебаний определяется как свойствами самой колебательной системы, так и внешней силой. Обычно принимают, что внешняя периодическая сила изменяется по гармоническому закону .

Рис. 1 Система с вынужденными колебаниями

Рис. 2 Силы, действующие в системе

Рассмотрим колебательную систему, показанную на рисунке 1.
Она состоит из горизонтального пружинного маятника и кривошипо-шатунного механизма. Кривошипо-шатунный механизм - механизм, который преобразует вращательное движение в возвратно-поступательное.
Тогда II-й закон Ньютона для данной системы запишется в виде:

,

(1)

где - масса тела, – его ускорение, - сила тяжести, - сила реакции опоры, - сила вязкого трения (), - внешняя вынуждающая сила, - сила упругости пружины ().
В проекции на ось x:

(2)

введём замены: , , получим:

(3)

Введём обозначения ( – показатель затухания, - коэффициент сопротивления), ( – циклическая частота свободных колебаний системы в отсутствие трения), – приведённая сила. Тогда можем переписать уравнение в общем виде:

(4)

Уравнение (4) – дифференциальное уравнение вынужденных колебаний, линейное, второй степени, неоднородное (с правой частью). Исследуем его. Как известно из теории дифференциальных уравнений, решением уравнения (4) является сумма двух решений: общего решения однородного уравнения соответствующего данному неоднородному и частного решение неоднородного уравнения в целом.
Однородное уравнение соответствующее данному неоднородному есть уравнение затухающих колебаний

:

(5)

Решением этого уравнения является функция:

, где .

(6)

Частное решение неоднородного уравнения в целом будем искать следующим образом. Как показывает практика, не зависимо от начальных условий осциллятора через достаточно большой промежуток времени (время разгорания/релаксации) в системе установятся гармонические колебания с частотой вынуждающей силы и амплитудой , зависящей от частоты .

Различные случаи установления гармонических колебаний:
Рис. 3 Случай разгорания для	Рис. 4 Произвольный случай разгорания

Здесь – это время разгорания колебаний.
Это значит, что через достаточно большой промежуток времени первым слагаемым можно пренебречь. Действительно в (6) при ,. Таким образом

,

(7)

где - амплитуда установившихся колебаний с частотой - частотой внешней вынуждающей силы, - сдвиг фаз между смещением и фазой внешней силы.
Найдем, чему равны и при частоте внешней силы . Для этого найдем 1-ю и 2-ю производные от (7):

	(8)
	(9)

И подставим (7), (8), (9) в (4):
,
немного преобразуем:
и получим:
Данное уравнение будет справедливо при любом , если коэффициенты при и будут равны нулю:

Из этой системы найдем зависимость амплитуды установившихся колебаний и сдвига фаз от частоты внешней вынуждающей силы:

	(10)
	(11)

Исследуем выражение (11) на экстремумы. Очевидно, что амплитуда колебаний будет максимальной в том случае, если подкоренное выражение в (11) будет минимальным. Обозначим . Запишем условие экстремума подкоренного выражения:

Таким образом, подкоренное выражение (и, соответственно, амплитуда колебаний) принимает экстремальное значение при:

и	(12)
.	(13)

Если производная , при подстановке корня (12) и (13) будет положительна, то в этом случае подкоренное выражение будет минимальным, а амплитуда – максимальной. Вторая производная от подкоренного выражения равна:

Значение этой производной при равно а при , равно . Учитывая, что в колебательных системах, как правило, , видим, что максимуму амплитуды соответствует частота вынуждающей силы .
Явление резкого увеличения амплитуды вынужденных колебаний при определённой частоте вынуждающей силы называется резонансом.
Таким образом, резонансная частота равна

(14)

Учитывая это значение, по (10) и (11) находим резонансные значения сдвига фаз и амплитуды колебаний:

	(15)
	(16)

Из (15) и (16) видно, что при отсутствии трения () амплитуда колебаний при резонансе неограниченно возрастает, а сдвиг фаз между смещением и фазой вынуждающей силой равен .
Для вынужденных колебаний вводят, так называемые, амплитудо-частотные (зависимость амплитуды колебаний от частоты вынуждающей силы) и фазово-частотные (зависимость сдвига фаз от частоты вынуждающей силы) характеристики. Графически эти зависимости при различных значениях приведены на рисунках 5 и 6:

Рис.5 Амплитудно-частотные характеристики	Рис.6 Фазово-частотные характеристики

Отметим здесь, что в отсутствие трения изменение фазы вынужденных колебаний на величину происходит скачком при . Учет трения размазывает этот скачок.
При установившемся движении, когда система совершает вынужденные колебания по закону (
7
), ее энергия, очевидно, остается неизменной. Однако при этом внешняя сила непрерывно совершает работу над системой. Иными словами, система непрерывно поглощает (от источника внешней силы) энергию, которая, в конечном счете, диссипируется в тепло благодаря наличию трения.
Пусть обозначает количество энергии, поглощаемой системой в среднем в единицу времени, как функция частоты вынуждающей силы. Эта величина, как известно, равна работе внешней силы за единицу времени, то есть мощности (усредненной затем по времени):

, или

(17)

Отсюда, согласно уравнению движения,

(18)

Здесь, в (17) и (18), символ обозначает работу.
При усреднении по времени первое и третье слагаемые в этом выражении, будучи произведениями синуса на косинус, очевидно, дают нуль. В результате остается лишь вклад от второго слагаемого

(19)

Подставляя сюда (8), получаем:

(20)

Производя усреднение по времени, заметим, что второе слагаемое зануляется, поэтому:

(21)

Подставляя сюда (11), получим:

(22)

Исследуем это выражение на экстремумы. Очевидно, что экстремальное значение оно примет при экстремальном значении знаменателя. Производная от знаменателя обращается в нуль при .
Вблизи резонанса амплитуда определяется формулой (16). Введём величину , характеризующую частотную pасстpойку относительно резонанса и равную . В итоге получаем:

Таким образом:

(23)

Такой вид зависимости поглощения от частотной расстройки относительно резонанса называют дисперсионным. Полушириной резонансной кривой (см. рис. 7) называется значение , при котором величина уменьшается вдвое по сравнению с ее максимальным значением при .

Рис. 7 Резонансная кивая поглощения
Из формулы (23) следует, что в pассматpиваемом случае . С другой стороны, высота максимума

(24)

обратно пpопоpциональна . Поэтому при уменьшении трения резонансная кривая становится уже и выше, то есть ее максимум становится более острым. Однако площадь под резонансной кривой остается при этом неизменной.
Линейность уравнений движения, описывающих вынужденные гармонические колебания (с трением и без него), приводит к тому, что оказывается справедливым, так называемый, принцип суперпозиции колебаний.
Пусть, например, на систему, совершающую колебательное движение, действует внешняя сила, зависящая от времени и представляющая собой суперпозицию двух сил

(25)

Это могут быть, напpимеp, периодические по времени функции с различными частотами и . Уравнение движения тогда запишется в виде:

(26)

Согласно принципу суперпозиции, решение этого уравнения есть сумма решений того же уравнения под воздействием каждой из сил в отдельности, то есть

(27)

где функции и удовлетворяют уравнениям

, .

(28)

Проверяется это утверждение непосредственной подстановкой. Дляэтого первое из уравнений (28) складывают со вторым. В силу линейности всех операций в левой части уравнения (28), мы и приходим к сформулированному выше принципу суперпозиции колебаний.
Список использованных материалов:

И.В. Савельев «Курс общей физики» Том I. Механика
С.П. Стрелков «Механика»
Д.В. Сивухин «Общий курс физики» Том I. Механика
Сайт «Научно-образовательный Центр ФТИ им.А.Ф.Иоффе» (
http
://edu.ioffe.ru)

http://media.karelia.ru/~mechanics/open/phys/do/mech/labor/pend/theory.html