Реферат: Абсолютная и относительная погрешность
Абсолютная погрешность - является оценкой абсолютной ошибки измерения. Вычисляется разными способами. Способ вычисления определяется распределением случайной величины.
Дата добавления на сайт: 03 марта 2025
Реферат
Абсолютная и относительная погрешность
Введение
Абсолютная погрешность - является оценкой абсолютной ошибки измерения. Вычисляется разными способами. Способ вычисления определяется распределением случайной величины. Соответственно, величина абсолютной погрешности в зависимости от распределения случайной величины может быть различной. Если - измеренное значение, а - истинное значение, то неравенство должно выполняться с некоторой вероятностью, близкой к 1. Если случайная величина распределена по нормальному закону, то обычно за абсолютную погрешность принимают её среднеквадратичное отклонение. Абсолютная погрешность измеряется в тех же единицах измерения, что и сама величина.
Существует несколько способов записи величины вместе с её абсолютной погрешностью.
·Обычно используется запись со знаком ±. Например, рекорд в беге на 100 метров, установленный в 1983 году, равен 9,930±0,005 с.
·Для записи величин, измеренных с очень высокой точностью, используется другая запись: цифры, соответствующие погрешности последних цифр мантиссы, дописываются в скобках. Например, измеренное значение постоянной Больцмана равно 1,380 6488 (13)×10−23 Дж/К, что также можно записать значительно длиннее как 1,380 6488×10−23±0,000 0013×10−23 Дж/К.
Относительная погрешность - погрешность измерения, выраженная отношением абсолютной погрешности измерения к действительному или среднему значению измеряемой величины (РМГ 29-99):.
Относительная погрешность является безразмерной величиной, либо измеряется в процентах.
1. Что называется приближённым значением?
С избыточным и недостаточным? В процессе вычислений весьма часто приходится иметь дело с приближенными числами. Пусть А - точное значение некоторой величины, называемое в дальнейшем точным числом А. Под приближенным значением величины А, или приближенным числам, называется число а, заменяющее точное значение величины А. Если а А, - то по избытку. Например, 3,14 является приближенным значением числа π по недостатку, а 3,15 - по избытку. Для характеристики степени точности данного приближения пользуются понятием погрешности или ошибки.
Погрешностью Δа приближенного числа а называется разность вида
Δа = А - а,
где А - соответствующее точное число.
Из рисунка видно, что длина отрезка АВ заключена между 6 см и 7 см.
Значит, 6 - приближенное значение длины отрезка АВ (в сантиметрах) > с недостатком, а 7 - с избытком.
Обозначив длину отрезка буквой у, получим: 6 < у < 1. Если a < х < b, то а называют приближенным значением числа х с недостатком, a b - приближенным значением х с избытком. Длина отрезка АВ (см. рис. 149) ближе к 6 см, чем к 7 см. Она приближенно равна 6 см. Говорят, что число 6 получилось при округлении длины отрезка до целых.
. Что называется погрешностью приближения?
А) Абсолютной?
Б) Относительной?
А) Абсолютной погрешностью приближения называется модуль разности между истинным значением величины и её приближённым значением. |x - x_n|, где x - истинное значение, x_n - приближённое. Например: Длина листа бумаги формата А4 равна (29.7 ± 0.1) см. А расстояние от Санкт-Петербурга до Москвы равно (650± 1) км. Абсолютная погрешность в первом случае не превосходит одного миллиметра, а во втором - одного километра. Вопрос, сравнить точность этих измерений.
Если вы думаете, что длина листа измерена точнее потому, что величина абсолютной погрешности не превышает 1 мм. То вы ошибаетесь. Напрямую сравнить эти величины нельзя. Проведем некоторые рассуждения.
При измерении длины листа абсолютная погрешность не превышает 0.1 см на 29.7 см, то есть в процентном соотношении это составляет 0.1/29.7 *100% = 0.33% измеряемой величины.
Когда мы измеряем расстояние от Санкт-Петербурга до Москвы абсолютная погрешность не превышает 1 км на 650 км, что в процентном соотношении составляет 1/650 *100% = 0.15% измеряемой величины. Видим, что расстояние между городами измерено точнее, чем длинна листа формата А4.
Б) Относительной погрешностью приближения называется отношение абсолютной погрешности к модулю приближённого значения величины.
математический погрешность дробь
где x - истинное значение, x_n - приближённое.
Относительную погрешность обычно вызывают в процентах.
Пример. При округлении числа 24,3 до единиц получается число 24.
Относительная погрешность равна. Говорят, что относительная погрешность в этом случае равна 12,5%.
) Какое округление, называется округлением?
А) С недостатком?
Б) С избытком?
А) Округление с недостатком
При округлении числа, выраженного десятичной дробью, с точностью до 10^{-n} с недостатком сохраняют n первых знаков после запятой, а последующие отбрасываются.
Например, округляя 12,4587 до тысячных с недостатком, получим 12,458.
Б) Округление с избытком
При округлении числа, выраженного десятичной дробью, с точностью до 10^{-n} с избытком сохраняют n первых знаков после запятой, а последующие отбрасываются.
Например, округляя 12,4587 до тысячных с недостатком, получим 12,459.
) Правило округления десятичных дробей.
Правило. Чтобы округлить десятичную дробь до определенного разряда целой или дробной части, все меньшие разряды заменяются нулями или отбрасываются, а предшествующий отбрасываемой при округлении цифре разряд не изменяет своей величины, если за ним идут цифры 0, 1, 2, 3, 4, и увеличивается на 1 (единицу), если идут цифры 5, 6, 7, 8, 9.
Пример. Округлить дробь 93,70584 до:
десятитысячных: 93,7058
тысячных: 93,706
сотых: 93,71
десятых: 93,7
целого числа: 94
десятков: 90
сотен: 100
Вывод
Несмотря на равенство абсолютных погрешностей, т.к. различны измеряемые величины. Чем больше измеряемый размер, тем меньше относительная погрешность при постоянстве абсолютной.