Контрольная работа: Исследование операций и системный анализ скачать бесплатно

Главная страница >> Контрольная работа >> Математика и статистика >> Исследование операций и системный анализ

Контрольная работа: Исследование операций и системный анализ

А. Исходя из содержания задачи, установить возможные состояния системы и построить размеченный граф состояний.
Б. Составить по размеченному графу состояний систему дифференциальных уравнений Колмогорова и затем - систему алгебраических уравнений для финальных вероятностей состояний.
В. Путем решения системы алгебраических уравнений определить финальные вероятности состояний исследуемой системы.

Дата добавления на сайт: 08 февраля 2025

Заказать курсовую работу

Заказать реферат и др.

Скачать данную работу

Исследование операций и системный анализ

Контрольная работа № 1

А. Исходя из содержания задачи, установить возможные состояния системы и построить размеченный граф состояний.
Б. Составить по размеченному графу состояний систему дифференциальных уравнений Колмогорова и затем - систему алгебраических уравнений для финальных вероятностей состояний.
В. Путем решения системы алгебраических уравнений определить финальные вероятности состояний исследуемой системы.
Задача 1.1.
Состояние технического устройства (ТУ) непрерывно контролируется в процессе эксплуатации. В любой момент времени ТУ может выйти из строя. В случае возникновения отказа немедленно осуществляется восстановление его готовности. И поток отказов и поток восстановления - простейшие. Параметр потока отказа - λ, среднее время восстановления - tср, интенсивность восстановления - Исследование операций и системный анализ (рис. 1)

Исследование операций и системный анализ (рис. 1)

.
Рассчитать и построить графики зависимостей вероятности состояния готовности к работе (исправного состояния) - Рr от времени восстановления (времени восстановления отказов) - tср при различных значениях параметра потока отказов - λ.

Исследование операций и системный анализ (рис. 2)

Исследование операций и системный анализ (рис. 2)

Решение:
1.)Заданное техническое устройство может находиться всего в двух состояниях: 1 - исправное; 2 - неисправное. При этом параметр потока отказов λ; а интенсивность немедленного восстановления - Исследование операций и системный анализ (рис. 3)

Исследование операций и системный анализ (рис. 3)

μ
λ

2.)По размеченному графику состояний составим систему дифференциальных уравнений Колмогорова:

Исследование операций и системный анализ (рис. 4)

Исследование операций и системный анализ (рис. 4)

Кроме того, исправим очевидное соотношение:

Выразим через из соотношения (2) и подставим в систему (1) Получим:

Исследование операций и системный анализ (рис. 5)

Исследование операций и системный анализ (рис. 5)

Будем искать решение уравнения (3) в виде:

Тогда Исследование операций и системный анализ (рис. 6)

Исследование операций и системный анализ (рис. 7)

,
Откуда

Исследование операций и системный анализ (рис. 8)

;

Исследование операций и системный анализ (рис. 9)

Следовательно: Исследование операций и системный анализ (рис. 10)

Исследование операций и системный анализ (рис. 11)

Параметр А определим из начальных условий:
При Исследование операций и системный анализ (рис. 12)

Исследование операций и системный анализ (рис. 13)

Тогда окончательный результат имеет вид:
вероятность нахождения ТУ в исправном состоянии

Исследование операций и системный анализ (рис. 14)

.)Рассчитаем и построим графики зависимостей Исследование операций и системный анализ (рис. 15)

при различных значениях λ и заданных . При этом будем считать, что Исследование операций и системный анализ (рис. 16)

(финальное состояние ТУ), и из формулы (4) получим:

Исследование операций и системный анализ (рис. 17)

Результаты расчета сведены в таблицу и представлены на графике:

Задача 1.2
На борту самолёта находится агрегат, который может отказать. Поток отказов - ω. Отказ обнаруживается только в процессе регламентного технического обслуживания. Среднее время между техническими обслуживаниями равно ТСР, среднее время технического обслуживания равно ТТО, среднее время обнаружения неисправности равно:

Исследование операций и системный анализ (рис. 18)

Исследование операций и системный анализ (рис. 18)

Определить финальные вероятности состояний агрегата.
Дано:

№№ Вариантов	ω1 1/ч	Тто, ч	Тср, лет
1	10-4	2,0	0,8

Решение:
1.Г, S1 - готовность;
2.ТО, S2 - техническое обслуживание;
.СО/ТО, S3 - скрытый отказ;

Исследование операций и системный анализ (рис. 19)

;

Исследование операций и системный анализ (рис. 20)

;

Исследование операций и системный анализ (рис. 21)

;

Исследование операций и системный анализ (рис. 22)

Исследование операций и системный анализ (рис. 23)

Исследование операций и системный анализ (рис. 24)

Исследование операций и системный анализ (рис. 25)

Исследование операций и системный анализ (рис. 26)

Исследование операций и системный анализ (рис. 27)

Исследование операций и системный анализ (рис. 28)

Исследование операций и системный анализ (рис. 29)

Исследование операций и системный анализ (рис. 30)

Исследование операций и системный анализ (рис. 31)

Исследование операций и системный анализ (рис. 32)

Исследование операций и системный анализ (рис. 33)

Исследование операций и системный анализ (рис. 34)

Исследование операций и системный анализ (рис. 35)

Исследование операций и системный анализ (рис. 36)

Исследование операций и системный анализ (рис. 37)

Исследование операций и системный анализ (рис. 38)

;

Исследование операций и системный анализ (рис. 39)

;

Исследование операций и системный анализ (рис. 40)

;

Исследование операций и системный анализ (рис. 41)

Исследование операций и системный анализ (рис. 42)

Исследование операций и системный анализ (рис. 43)

Исследование операций и системный анализ (рис. 44)

Исследование операций и системный анализ (рис. 45)

Исследование операций и системный анализ (рис. 46)

Исследование операций и системный анализ (рис. 47)

;

Исследование операций и системный анализ (рис. 48)

;

Исследование операций и системный анализ (рис. 49)

;

Исследование операций и системный анализ (рис. 50)

Исследование операций и системный анализ (рис. 51)

Исследование операций и системный анализ (рис. 52)

Исследование операций и системный анализ (рис. 53)

Получили:

Исследование операций и системный анализ (рис. 54)

Исследование операций и системный анализ (рис. 55)

Исследование операций и системный анализ (рис. 56)

Задача 1.3
Техническое устройство (ТУ) подвергается простейшему потоку отказов с интенсивностью λ. Отказ обнаруживается не сразу, а через случайное время, распределенное по показательному закону с параметром ν. Как только отказ обнаружен, производится осмотр ТУ, в результате которого он либо отправляется в ремонт (вероятность этого ρ), либо списывается и заменяется новым. Время осмотра случайно и описывается показательным законом и параметром γ, время ремонта - показательное с параметром μ.
Время замены списанного ТУ новым - показательное с параметром κ.
Найти финальное состояние ТУ и определить какую долю в среднем ТУ будет работать нормально и какую долю времени в среднем ТУ будет находиться с необнаруженным отказом.

№№ вар	1
λ, 1/ч	0,01
ν, 1/ч	1,0
ρ	0,8
γ, 1/ч	10,0
μ, 1/ч	0,5
κ, 1/ч	2,0

Решение:
.)Заданное техническое устройство может находиться в следующих состояниях:
1 - исправное состояние
- неисправное состояние с необнаруженным отказом
- неисправное состояние с обнаруженным отказом без осмотра
- неисправное состояние с обнаруженным отказом после осмотра
- неисправное состояние в процессе ремонта и перевода в (1)
- неисправное состояние в процессе списания и замены в (1)
Размеченный график состояния системы таков:

2.)По размеченному графику состояний составим систему дифференциальных уравнений Колмогорова:

Исследование операций и системный анализ (рис. 57)

Исследование операций и системный анализ (рис. 57)

Так как нас интересуют лишь финальные состояния системы, то левые части равенств системы приравняем к нулю, а знак зависимости от времени опустим, и четвертое уравнение системы заменим очевидным равенством (2):

Исследование операций и системный анализ (рис. 58)

Исследование операций и системный анализ (рис. 58)

Получим:

Исследование операций и системный анализ (рис. 59)

Исследование операций и системный анализ (рис. 60)

Исследование операций и системный анализ (рис. 61)

Обозначим

Исследование операций и системный анализ (рис. 62)

Исследование операций и системный анализ (рис. 63)

Исследование операций и системный анализ (рис. 64)

Тогда

Исследование операций и системный анализ (рис. 65)

Произведем теперь численный расчет требуемых величин:
а.) Финальные вероятности состояний ТУ таковы:

Исследование операций и системный анализ (рис. 66)

Исследование операций и системный анализ (рис. 66)

Исследование операций и системный анализ (рис. 67)

Исследование операций и системный анализ (рис. 68)

Исследование операций и системный анализ (рис. 69)

б) ТУ в среднем будет работать нормально в течении 97,7% времени работы; ТУ будет находиться в среднем с необнаруженным отказом в течении 0,9% времени.

Контрольная работа № 2
алгебраический колмогоров вероятность
А. Исходя из содержания задачи, установить тип системы массового обслуживания по характеру входящего потока, распределению времени обслуживания, числу обслуживающих приборов, длины очереди.
Б. Установить, какие характеристики рассматриваемой СМО должны быть определены и, пользуясь приведенными в Приложении справочными формулами, определить их характеристики.
В. Сделать выводы по результатам расчетов.
Задача № 2.1.
Авиационная касса имеет два окошка, в каждом из которых продаются авиабилеты в два пункта: в Саратов и в Волгоград. Потоки пассажиров, приобретающих билеты в Саратов и в Волгоград, одинаковы по интенсивности, которая равна λ0. Среднее время обслуживания пассажира (продажи ему билета) равна Исследование операций и системный анализ (рис. 70)

Исследование операций и системный анализ (рис. 70)

. Поступило рационализаторское предложение: для уменьшения дли очередей и времени пребывания в них (в интересах пассажиров) сделать обе кассы специализированными: в первой продавать билеты только в Саратов, а во второй - только в Волгоград. Считая потоки простейшими, проверить разумность такого предложения для значений параметров, приведенных в таблице 2.1.

№№ вар	1
λ0 1/мин	0,1
, мин0,45

Решение:
Для решения задачи необходимо сравнить два варианта:
а) одна очередь с интенсивностью 2λ0 и экспоненциальным временем обслуживания с параметром μ;
б) две независимые очереди с интенсивностью потока в каждой из них λ0 и экспоненциальным временем обслуживания с параметром μ;
Повышение эффективности работы системы можно оценить по среднему времени обслуживания пассажира (от момента начала его пребывания в очереди до момента получения билета) Т. Вычислим этот показатель.

Исследование операций и системный анализ (рис. 71)

Исследование операций и системный анализ (рис. 71)

б) Во втором варианте воспользуемся формулами таблицы п. 3.1 МУ (колонка 5), так как в этом случае при Nпр = 1; Eнак = ∞. Тогда среднее время пребывания пассажира в системе

Исследование операций и системный анализ (рис. 72)

Исследование операций и системный анализ (рис. 72)

а) В первом варианте воспользуемся формулами таблицы п. 3.1 МУ (колонка 7), где принимаем n = 2 =Nпр , а ёмкость очереди m такова, чтобы вместимость всех приходящих пассажиров: m = 1.

В этом случае Исследование операций и системный анализ (рис. 73)

Исследование операций и системный анализ (рис. 73)

, где

Исследование операций и системный анализ (рис. 74)

Исследование операций и системный анализ (рис. 75)

.
Следовательно, Исследование операций и системный анализ (рис. 76)

, получаем Исследование операций и системный анализ (рис. 77)

Исследование операций и системный анализ (рис. 78)

Так как время получения пассажирского билета в первом варианте почти в два раза меньше, чем во втором, то время пребывания в очередях увеличивается, и превращение касс в специализированные не является разумным.
Задача № 2.2.
Авиационная техническая база (АТБ) имеет одно место для обслуживания самолетов, которые прибывают на обслуживание случайным образом и, если их не могут сразу обслужить, они становятся в очередь. На длину очереди ограничений нет.
Промежуток времени t между двумя последовательными прибытиями самолетов удовлетворяет экспоненциальному закону с параметром λ. Время обслуживания на АТБ также имеет экспоненциальное распределение с параметром μ. Значения λ и μ приведены в таблице 2.2.
Определить:
·вероятность простоя АТБ - Р0,
·среднюю длину очереди - Исследование операций и системный анализ (рис. 79)

Исследование операций и системный анализ (рис. 79)

,
·среднее время ожидания в очереди - Исследование операций и системный анализ (рис. 80)

,
·общее время обслуживания АТБ - Исследование операций и системный анализ (рис. 81)

№№ вар	1
λ, 1/сутки	1
μ, 1/час	1,0

Решение:
Техническое обслуживание самолётов на АТБ является системой массового обслуживания с пуассоновским входящим потоком и экспоненциальным временем обслуживания. СМО - одноканальная (одно место обслуживания, Nпр = 1), с ожиданием и без ограничения длины очереди (Енак = ∞ ).
Воспользуемся формулами таблицы п.3.1 МУ (колонка 5).
Это допустимо, так как отношение Исследование операций и системный анализ (рис. 82)

Исследование операций и системный анализ (рис. 82)

Исследование операций и системный анализ (рис. 83)

.
Тогда получим:
вероятность простоя Р0 = 1 - ρ = 1 - 0,0417 = 0,9583.
средняя длина очереди Исследование операций и системный анализ (рис. 84)

.
среднее время нахождения в очереди Исследование операций и системный анализ (рис. 85)

общее время обслуживания АТБ Исследование операций и системный анализ (рис. 86)

Задача № 2.3.
В АТБ в ангаре имеется n мест для технического обслуживания самолетов и перед ангаром m стоянок для ожидания обслуживания. Поток прибывающих на обслуживание самолетов - пуассоновский с параметром λ, время технического обслуживания - случайная величина, распределенная по экспоненциальному закону с параметром μ. Варианты значений n, m, λ и μ приведены в таблице 2.3.
Определить:
oвероятность простоя АТБ - Р0,
oвероятность того, что прибывающему самолету будет отказано в обслуживании - Ротк,
oсреднее число занятых мест обслуживания - Исследование операций и системный анализ (рис. 87)

Исследование операций и системный анализ (рис. 87)

,
oсреднее число самолетов, стоящих в очереди на обслуживание - Исследование операций и системный анализ (рис. 88)

,
oсреднее время оживания в очереди - Исследование операций и системный анализ (рис. 89)

,
oобщее время, затраченное на обслуживание - Исследование операций и системный анализ (рис. 90)

№№ вар	1
n	3
m	3
λ, 1/сутки	3,5
μ, 1/час	0,15

Решение:
Техническое обслуживание самолётов на АТБ является системой массового обслуживания с пуассоновским входящим потоком и экспоненциальным временем обслуживания. СМО - многоканальная (Nпр = n), с ожиданием и ограничениtv длины очереди (Енак = m ).
Воспользуемся формулами таблицы п.3.1 МУ (колонка 7).
Параметр Исследование операций и системный анализ (рис. 91)

Исследование операций и системный анализ (рис. 91)

Тогда получим:
вероятность простоя

Исследование операций и системный анализ (рис. 92)

вероятность того, что прибывающему самолёту будет отказано в обслуживании Исследование операций и системный анализ (рис. 93)

среднее число занятых мест обслуживания
Исследование операций и системный анализ (рис. 94)

среднее число самолётов, стоящих в очереди обслуживания
Исследование операций и системный анализ (рис. 95)

среднее время ожидания в очереди Исследование операций и системный анализ (рис. 96)

общее время, затраченное на обслуживание Исследование операций и системный анализ (рис. 97)

Контрольная работа: Исследование операций и системный анализ

Комментарии: