Курсовая работа: Решение дробно-рациональных неравенств с параметром методом интервалов
Тема "Решение дробно-рациональных неравенств с параметром методом интервалов" занимает очень важное место в курсе алгебры. Это тема очень важная и значимая.
Дата добавления на сайт: 23 февраля 2025
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Казанский (Приволжский) федеральный университет"
ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ ИМ. Н.И. ЛОБАЧЕВСКОГО
КАФЕДРА ТЕОРИИ И ТЕХНОЛОГИЙ ПРЕПОДОВАНИЯ
МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ
Направление подготовки: "050100.62:педагогическое образование"
Курсовая работа
Решение дробно-рациональных неравенств с параметром методом интервалов
Студентка II курса
Гарифуллина Алсу Ильфатовна
Научный руководитель:
Доктор педагогических наук, профессор
Лилиана Рафиковна Шакирова
Казань - 2014
Введение
Тема "Решение дробно-рациональных неравенств с параметром методом интервалов" занимает очень важное место в курсе алгебры. Это тема очень важная и значимая. Она богата по содержанию, также по способам и приемам решения неравенств. Дробно-рациональных неравенств с параметром широко используются в различных разделах математики, в решении важных прикладных задач. Также это тема представляет собой богатейший материал для полноценной математической деятельности учащихся. С их помощью можно проверить глубину знания математики средней школы, выявить склонности к исследовательской деятельности, нестандартность мышления. Отсутствие этой темы значительно обедняет курс математики. Также изучение многих физических процессов часто приводит к решению задач с параметрами. В некоторых контрольных, на самостоятельных работах, а также включают и в экзаменационные билеты, много задач и в ЕГЭ также встречаются неравенства с параметром, которые часто бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхода к решению. Готовя данную работу, я ставила цель более глубокого изучения этой темы, выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу, простые методы. На мой взгляд, графический метод является удобным и быстрым способом решения уравнений и неравенств с параметрами. Чтобы раскрыть тему я рассматривала каждую тему отдельно и привела примеры каждом подпунктам. В моём курсовом работе рассмотрены часто встречающиеся типы неравенств, дробно рациональные неравенство с параметрами и их систем, и, я надеюсь, что знания, полученные мной в процессе работы, помогут мне разобраться и узнать по-больше метод решений этих неравенств.
1. Метод интервалов
Метод интервалов является одним из важнейших методов математической деятельности, связанный, прежде всего, с вопросами нахождения нулей функции или промежутков ее знак постоянства для неравенства. Также метод интервалов исключительно эффективен и важен в вопросах исследования функций и построения графиков. Встречается, при выявлении асимптотического изменения графика функции, в вопросах местоположения точек и видов экстремума, а также промежутков монотонности функции. Именно этот метод более эффективен и при решении различного вида задач, без него совершенно невозможно обойтись, решая сложные неравенства. Также следует отнести простоту его понимания и эффективность в практическом использовании.
Когда применяется метод интервалов необходимо учитывать несколько замечаний.
Замечаний 1 Метод интервалов используется тогда и только тогда, когда многочлен или дробное выражение сравниваются с нулем.
Замечаний 2 Во вторую очередь, раскладывают на множители: многочлен или числитель и знаменатель дробного выражения.
Замечаний 3 Если неравенство приведено к каноническому виду, то на крайнем правом промежутке знак "+". Канонический вид неравенства - это произведение различных двучленов и "не раскладываемых" многочленов, в которых старший коэффициент положительный.
Решениями неравенства методом интервала можно решить несколькими методами:) 3х - 5>10 - линейное неравенство. Решение методом переноса: 3х>15, т.е. х>5, и т.д.) х2>0 можно решить перебором чисел.) Более сложные неравенства ( дробные, рациональные и др.)
Я хочу в своем работе показать и подробно описать 3 пункт более сложные неравенство это рациональные и дробно-рациональные неравенство.
Рациональное неравенство.
Определение 1
Неравенство, левая и правая части которого есть рациональные выражения относительно x,называют рациональными неравенством с неизвестным x.
Например:
(5x+1)(3-2x)2
Определение2
Решением неравенства с неизвесным x называются число,при подстановки которого в это неравенство вместо x получается верное числовое неравенство вместо x получается верное числовое неравенство.
Решить неравенство - значит найти все его решения или показать, что их нет.
x-x00
Метод интервалов для решения неравенств вида A(x)0и
основан на следующем утверждении Точка x0 делит ось Ox на две части:
1)Для любого x,находящегося справа от точки X0,двучлен x-x0 положителен;
2)для любого x,находящегося слева от точки X0 ,двучлен x-x0 отрицателен.
Пусть требуется решить неравенство
(X-
) (X-
)∙…∙(X-
)>0;Не нарушая общности, положим(X-
)(X-)(X-
)(X-
)>0 Тогда:Аналогично рассуждая, получим, что (X-
)(X-)(X-
)(X-
)>0для X из интервалов и (
;∞), (
;), (-∞;);(X-
)(X-)(X-)(X-)0Замечание 2.
Множество решений неравенств вида A(x)≥0 и A(x)≤0 и где,
(x)=(X-
) (X-)∙…∙(X-
);есть объединение множества всех решений n ≥ 1,n∈N неравенств A(x)>0 и A(x)xl) знак многочлена совпадает со знаком коэффициента
,b.Перемещаемся по числовой оси влево. При прохождении очередного корня xi знак многочлена меняем на противоположный, если множитель (x-
имеет нечетную степень 
(в том числе - единицу), и сохраняем знак, если эта степень - четная,.В зависимости от того, как распределился знак у рассматриваемого неравенства, выбираем в ответ "положительные" или "отрицательные" интервалы,.В случае если неравенство нестрогое, в ответ включаем все корни многочлена p(x),e.Обязательно исключаем из ответа все корни многочлена g(x).
Примеры
Рассмотрим примеры решения дробно-рациональных неравенств.
Пример 1. Решить неравенство
.Решение. 1. Сначала найдем область допустимых значений неравенства (далее сокращенно будем писать - ОДЗ). Очевидно, что
.. Преобразуем дробно-рациональное неравенство в рациональное:
.3. Разложим на множители левую часть полученного неравенства:
.4. Заметим, что корни многочлена - числа -2, 1, 4 и 7, имеют кратность "единица", отложим их на числовой оси и расставим на полученных интервалах знаки неравенств:
. Выписываем окончательный ответ, включая в него корни многочлена, стоявшего в числителе и исключая корни знаменателя.
Ответ:
.Внимание! Для записи ответа можно использовать как неравенства, так и промежутки. Например, данный ответ можно записать также в виде:
.В следующем примере мы рассмотрим неравенства с кратными корнями.
Пример 2. Решить неравенство:
.Решение. Заметим сначала, что первое выражение в числителе и выражение в знаменателе являются полными квадратами. Далее: знаменатель обращается в ноль при
, поэтому ОДЗ: .Перейдем к рациональному неравенству, получаем:
.Отложим на числовой оси корни многочлена из левой части полученного неравенства и определим знаки этого многочлена на полученных интервалах. С учетом кратности корней -2 и 2 получим:
Обратите внимание на то, что знак меняется только в 9, а в 2 и -2 он сохраняется, так как это корни четной кратности.
"Соберем" теперь ответ: к основному интервалу - лучу
добавляем корни числителя 2 и 9, а корень знаменателя -2 исключаем. Ответ: .Рассмотрим еще один важный пример, так как именно в таких заданиях абитуриенты делают много ошибок.
Пример 3. Решить неравенство
.Решение. Это неравенство не похоже на каноническое дробно-рациональное, но оно сводится к таковому. Главное - сделать это правильно. Для этого перенесем дробь из правой части неравенства в левую и приведем полученную разность двух дробей к общему знаменателю:
.Сократим числитель на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный:
. Теперь перед нами каноническое дробно-рациональное неравенство, эквивалентное исходному. Решим его методом интервалов. Ответ: .Замечание. Часто такие задачи решают неправильно, а именно: просто умножают числитель левой части на знаменатель правой и наоборот. В результате получается совершенно другое неравенство:
, которое сводится к линейному неравенству ответ для которого: только частично совпадает с правильным.Пример4.С3
Решение.Решим неравенство методом интервалов.Найдем нули функций f(x)=x,стоящей под знаком модуля: x=0.
.Если x≤0,то неравенство примет вид
>0,
>0.x∈(-∞;-5)∪(-2;0].
1.Если x>0, то неравенство примет вид
>0,
>0x∈(0;2)∪(5;+∞).
Решением исходного неравенства является объединением решений,полученных в первом и втором случаях:
x∈(-∞;-5)∪(-2;2)∪(5;+∞).
Ответ: ∈(-∞;-5)∪(-2;2)∪(5;+∞).
Пример 5 Решить дробно-рациональное неравенство
>0Решение.Отметим на числовой прямой точки x=5,x=-1,x=0,x=2,x=3 и иследуем изменение знаков левой части неравенства.Решением неравенства служит объединение интервалов: (-5;-1)∪(-1;0)∪(2;3)∪(3;+∞).
. Дробно-рациональных неравенств с параметром методом интервалов
Определения.. Что такое параметр?
Определение1. Параметр(от греч. parametrón-отмеривающий)- величина, значения которой служат для различения элементов некоторого множества между собой.
Например, в декартовых координатах уравнение y=a
,a≠0,задает множество всех парабол с вершинами в начале координат. При конкретном значений a∈(-∞;0)∪(0;+∞) мы получаем одну из парабол этого семейства.Дадим ещё одно определение параметра.
Определение 2. Параметром называется независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству.
Комментарий. Независимость параметра заключается в его "неподчинении" свойствам, вытекающим из условия задачи. Например, из не отрицательности левой части уравнения |=a-1 не следует не отрицательность значений выражения a-1, и если a-1
(a, b, с и d - положительные числа), то ad > bc.
Однако все эти рассуждения проводили словесно, опираясь в большинстве случаев на геометрическую терминологию. Современные знаки неравенств появились лишь в XVII- XVIII вв. Знаки ввел английский математик Т. Гарриот (1560-1621), знаки ≥ и ≤ французский математик П. Буге (1698-1758).
Неравенства и системы неравенств широко используются как в теоретических исследованиях, так и при решении важных практических задач.
Определение и основные свойства неравенств.
Определения:
Неравенствами называют выражения вида ab (a≥b),где a и b могут быть числами или функциями.
Символы (≥) называются знаками неравенства и читаются соответственно: меньше(меньше или равно) ,больше(больше или равно).
Свойства числовых неравенств :
·Если a>b , то ba.
·Если a0,то acbc.
·Если a 0 (5)
где Рn(х) и Qm(х) ѕ многочлены, сводится к решению эквивалентного неравенства (Рn(х) > 0)следующим образом: умножив обе части неравенства (5) на многочлен [Qm(x)]2, который положителен при всех допустимых значениях неизвестного х (т.е. при тех х, при которых Qm(x) № 0), получим неравенство
Рn(х) Ч Qm(x) > 0,
эквивалентное неравенству (5).
Дробно-линейным называется неравенство вида
> k
где a, b, c, d, k ѕ некоторые действительные числа и с № 0, (если с = 0, то дробно-линейное неравенство превращается в линейное, неравенство (6) не содержит аргумента). К дробно-линейным неравенствам относятся и неравенства вида (6), где вместо знака > стоят знаки 0 (0 (<0) граничные точки в ответ не включаются. При решении нестрогого неравенства
≥ 0 ( ≤ 0), если точка является корнем знаменателя, то она не включается в ответ (даже если она одновременно является корнем числителя). Если же точка является корнем одного числителя, то она включается в ответ.Примеры
Пример из реальных заданиях ЕГЭ.
С4 Найдите все значения параметра а,при которых множество решений неравенства
+
)содержится в некотором отрезке длиной 7 и при этом сожержит какой-нибудь отрезок длиной 4.
Решение.
)Преобразуем данное неравенство.
<0.2)Так как
,то 
<0,если 
и 
-противоположных знаков, т.е. 
<0,x≠4 равносильна исходному неравенству.3)Если 0≤a≤4,то решение -интервал (0;a),длиной меньшей 4.Если a≥4,то решение-объединение интервалов(0;4)∪(4;
).Отрезок длиной 4 может содержать только интервал (4;) следовательно a<8 и полученные интервалы не содержатся в отрезке длиной 7.)Если a<0,то решение-это интервал
.Этот интервал содержит отрезок длиной 4,при a<-4,Он содержится в отрезке длиной 7 при -7≤ a.Ответ:
2)Найдите все значения параметра
,при каждом из которых неравенство 
≤1 справедливо при всех значениях 
из отрезка 
.Решение
≤1 ↔
↔
.Рассмотрим два возможных случая.
↔
↔
.При условию задачи, отрезок[0;1] должен весь входить в решение данного нам неравенства(подмножество его решения ).В рассматриваемом нами примере это не так, поскольку решение последнего неравенства системы не содержит указанный отрезок.
.
Если
и,значит,требование задачи не будет выполнено.Если
,то решением системы будет 
и требование задачи удовлетворяет..С5)Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство
имеет единственное решение на отрезке [1;3].. Упростим выражение под знаком модуля:
2. Неравенство
равносильно системе:
Запишем наше неравенство в виде равносильной системы:
Перенесем все влево и приведем к общему знаменателю:
3. Изобразим на параметрической плоскости (x;a) решение системы.
Начнем с первого неравенства. Смена знаков происходит в точках, в которых числитель и знаменатель дроби равны нулю. Приравняем числитель и знаменатель дроби к нулю:
a=-
x-a=0 a=x
Числитель обращается в ноль в точках параболы a=-
(Нам проще выразить параметр a через переменную x, поэтому в нашей параметрической плоскости вертикальной осью мы назначим ось a, а горизонтальной - ось x)Знаменатель обращается в ноль в точках прямой a=x. Так как знаменатель не равен нулю, прямую a=x изобразим пунктирной линией. Точки пересечения графиков
a=-
и a=x мы выкалываем:
При пересечении графиков дробь меняет знак. Определимся со знаками. Возьмем точку с координатами x=2;a=0 и подставим значения x и aв первое неравенство: .
Следовательно в области, содержащей эту точку, дробь в левой части первого неравенства меньше нуля. При переходе через график знак меняется:
Нас интересуют области, где левая часть неравенства меньше или равна нулю:
Теперь займемся вторым неравенством системы:
Числитель обращается в ноль в точках параболы 
, а знаменатель в точках прямой a=x:
Определим знак дроби в левой части неравенства в точке с координатами x=2;a=0.
Нас интересуют области, в которых выполняется неравенство:
Совместим закрашенные области:
Итак, множество точек координатной плоскости (x;a) удовлетворяющих системе неравенств представляют из себя такую фигуру:
По условию задачи, нам нужно узнать, при каком значении параметра неравенство имеет единственное решение на отрезке [1;3]
, то есть в этой выделенной области:
Если мы будем двигать прямую, параллельную оси x вдоль оси a( ординаты всех точек этой прямой равны определенному значению параметра), то увидим, что эта прямая имеет с нужной нам областью одну точку пересечения при a=3:
Ответ: {3}
Заключение
На протяжений своей работы я прочитала и изучила решение и способы как решаются примеры дробно-рациональные неравенство с параметром. Я ставила перед собой цель более глубокого изучения этой темы, выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу, простые методы. Чтобы раскрыть тему я рассматривала каждую тему отдельно. Я усвоила алгоритм решения неравенство методом интервалов, научилась применят метод интервалов для решения неравенство, дробно-рациональных неравенств с параметрами. Узнала какие есть типы, какими способами можно решить трудные задачи, некоторые замечания.
В настоящее время эта тема стала как никогда актуальной, так как задачи с параметром стали часто встречаться в едином государственном экзамене. Задачи с параметром позволяют получить достаточно точную информацию об уровне развития логического мышления учащихся, умений решать новые задачи, проводить исследования.
Работа над данной темой доставила мне не только трудности, но и удовольствие.
Я восстановила в памяти весь теоритический материал, углубила и расширила свои знания по методам решения дробно-рациональные неравенство с параметром.
Список литературы
1)C.М.Никольский, Алгебра и начала анализа.//Учебник для 10класса общеобразовательных учреждения; 2003.С.3-6§2п.2.7-2.9.
)Беляева,Э.С, Математика,Уравнения и неравенства с параметром // Учебное пособие;2009.C.8-13,29-34.
)П. И. Горнштейн,В. Б. Полонский, М. С. Якир,Задачи с параметрами.//3-е издание, дополненное и переработанное.-Илскса, Харьков: Гимназия; 2005,C.11-12,41-55.
)В.В.Вавилов, И.И Мельников,Задачи по математике,Уравнения и неравенства.// 2-е издание,Физматлит; 2007.
)Кузнецова Л.В., Бунимович Е.А., Пигарев Б.П., Суворова С.Б,// Сборник заданий для проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы: 9 класс.2002.
)Заданий ЕГЭ по математике брошюра//2005,С.37.
)М.Я.Выгодский,Справочник по элементарной математике.// Издательство "наука";М.:2006.C.250-262.