Научная работа: Анализ динамического поведения механической системы

Содержание:
Аннотация
Исходные данные
1. Применение основных теорем динамики механической системы
1.1 Постановка второй основной задачи динамики системы
1.2 Определение закона движения системы
1.3 Определение реакций внешних и внутренних связей
2. Построение алгоритма вычислений
3. Применение принципа Даламбера-Лагранжа и уравнений Лагранжа второго рода.
3.1 Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью принципа Даламбера-Лагранжа.
Анализ результатов

Дата добавления на сайт: 04 мая 2025
Содержание:

Аннотация
Исходные данные
1.Применение основных теорем динамики механической системы
1.1Постановка второй основной задачи динамики системы
1.2Определение закона движения системы
1.3Определение реакций внешних и внутренних связей
2. Построение алгоритма вычислений
3.Применение принципа Даламбера-Лагранжа и уравнений Лагранжа второго рода.
3.1Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью принципа Даламбера-Лагранжа.
Анализ результатов

Аннотация

Дана механическая система с одной степенью свободы, представляющая собой совокупность абсолютно твердых тел, связанных друг с другом посредством невесомых растяжимых нитей, параллельных соответствующим плоскостям. Система снабжена внешней упругой связью с коэффициентом жесткости с. На первое тело системы действует сила сопротивления и возмущающая гармоническая сила . Трением качения и скольжения пренебрегаем. Качение катков происходит без скольжения, проскальзывание нитей на блоках отсутствует. Применяя основные теоремы динамики системы и аналитические методы теоретической механики, определен закон движения первого тела и реакции внешних и внутренних связей. Произведен численный анализ полученного решения с использованием ЭВМ.

Исходные данные:

m = 1 кг
r = 0.1 мс = 4000 H/м

Часть 1. Применение основных теорем динамики механической системы

1.1 Постановка второй основной задачи динамики системы.

Расчетная схема представлена на рисунке 1.
Здесь обозначено:

; ; - силы тяжести;

- нормальная реакция опорной плоскости;
- сила сцепления;
- упругая реакция пружины;
- реакция подшипников;
- сила вязкого сопротивления;
- возмущающая сила.
Рассматриваемая механическая система имеет одну степень свободы (нити нерастяжимые, качение катка (3) происходит без скольжения). Будем определять ее положение с помощью координаты S. Начало отсчета координаты совместим с положением статического равновесия центра масс груза (1).
Для построения дифференциального уравнения движения системы используем теорему об изменении кинетической энергии механической системы в форме:



- сумма мощностей внешних сил;
- сумма мощностей внутренних сил;
Тогда кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий тел,

(1.2)
(1.3) Груз (1) совершает поступательное движение, ;
(1.4) Блок (2) совершает вращательное движение, , где
(1.5) Каток (3) совершает плоскопараллельное движение, , где

Кинетическая энергия всего механизма равна:

(1.6) ;

Выразим - через скорость груза (1)


(1.7) ; ;

Подставляя кинематические соотношения (1.7) в выражение (1.6), получаем:
(1.8)
(1.9)
;

Найдем производную от кинетической энергии по времени:

(1.10)

Вычислим сумму мощностей внешних и внутренних сил. Мощность силы равна скалярному произведению вектора силы на скорость в точке ее приложения;

(1.11)

Рассматриваемая нами механическая система является неизменяемой, т.е. тела, входящие в систему, недеформируемые и скорости их точек относительно друг друга равны нулю. Поэтому сумма мощностей всех внутренних сил будет равняться нулю:

(1.12) = 0;

Будут равняться нулю и мощности следующих внешних сил, приложенных в точках, скорости которых равны нулю:


Сумма мощностей остальных внешних сил:

(1.13)

С учетом кинематических соотношений (1.7) сумму мощностей внешних сил определим:

(1.14)

где приведенная сила.
Упругую силу считаем пропорциональной удлинению пружины, которое равно сумме статического и динамического удлинений:

(1.15)

Сила вязкого сопротивления , тогда

(1.16)

В состоянии покоя системы приведенная сила равна нулю. Полагая в (1.16) S=0, =0 и F(t)=0, получаем условие равновесия системы:

(1.17)

Отсюда статическое удлинение пружины равно:
(1.18)

Подставляя (1.18) в (1.16), получаем окончательное выражение для приведенной силы:

(1.19)

Подставив выражения для производной от кинетической энергии и сумму мощностей всех сил с учетом (1.19) в (1.1), получаем дифференциальное уравнение движения системы:

(1.20)
(1.21)

где k циклическая частота свободных колебаний;



n - показатель степени затухания колебаний;



1.2 Определение закона движения системы

Проинтегрируем дифференциальное уравнение (1.20). общее решение этого неоднородного уравнения складывается из общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного :

S = + ;

Однородное дифференциальное уравнение, соответствующее данному неоднородному, имеет вид:
Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:



т.к. n решение однородного уравнения имеет вид:



где частное решение дифференциального уравнения ищем в виде правой части:

далее получаем:


Сравнивая коэффициенты при соответствующих тригонометрических функциях справа и слева, получаем систему алгебраических уравнений для определения состояния А и В


Решая эту систему получаем следующие выражения:

А = 0.04 м;
В = - 0.008 м;

Общее решение дифференциального уравнения:



Постоянные интегрирования определяем из начальных условий, при t = 0 имеем:



Решая эту систему получаем:




1.3Определение реакций внешних и внутренних связей

Для решения этой задачи расчленим механизм на отдельные части и изобразим расчетные схемы отдельно для каждого тела. Определение реакций связей проведем с помощью теоремы об изменении кинетического момента и теоремы об изменении количества движения.

Тело №1:
Тело №2:
Тело №3:

C учётом кинематических соотношений (1.7) полученную систему уравнений преобразуем к вид:



Решая эту систему, получаем выражение для определения реакций связей:



2.Построение алгоритма вычислений:

(2.1) Исходные данные:



(2.2) Вычисление констант:









(2.3) Задание начального времени: t=0;
(2.4) Вычисление значений функций в момент времени t=0;





(2.5) Вычисление реакций связей:





(2.6) Вывод на печать значений искомых функций в момент времени t;
(2.7) Определение значения времени на следующем шаге
(2.8) Проверка условия окончания цикла:
(2.9) Возврат к пункту (2.4).

3. Применение принципа Даламбера-Лагранжа и уравнения Лагранжа второго рода

3.1 Применение принципа Даламбера-Лагранжа

Общее уравнение динамике системы есть математическое выражение принципа Даламбера-Лагранжа.



сумма элементарных работ всех активных сил на возможном перемещении системы;
сумма элементарных работ всех инерции сил на возможном перемещении системы.
Изобразим на рисунке активные силы и силы инерции (рис.3)
Идеальные связи:
Не учитываем, и не отображаем на расчетной схеме, поскольку по определению работа их реакций на любом возможном перемещении системы равна 0.
Сообщим системе возможное перемещение.



Вычисляя последовательно элементарные работы активных сил и суммируя получим:
(2)

Найдём возможную работу сил инерции:



Запишем выражение для главных векторов и главных моментов сил инерции;



Используя кинематические соотношения (1.7), определим:



Теперь возможную работу сил инерции можно преобразовать к виду:


(3)

Далее подставляя выражения (2) и (3) в (1), т.е в общее уравнение динамики получаем



Поделив это уравнение на , получим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний системы:


Анализ результатов

В данной курсовой работе мы исследовали динамическое поведение механической системы с использованием основных теорем и уравнений теоретической механики. Дифференциальное уравнение движения механической системы получено тремя способами. Во всех случаях коэффициенты , n, k получились одинаковыми и совпали с компьютерной распечаткой, что говорит об их правильности. В процессе решения дифференциального уравнения данной механической системы были получены законы движения первого груза, его скорость и ускорение в зависимости от времени t. На основании этих зависимостей были определены законы изменения всех остальных характеристик механической системы, в том числе и реакции связей.

Комментарии:

Вы не можете оставлять комментарии. Пожалуйста, зарегистрируйтесь.