Главная
Добавить работу на сайт
Регистрация
  
Главная страница >> Реферат >> Физика >> Динамика вращательного движения твердого тела

Реферат: Динамика вращательного движения твердого тела

Рассмотрим твёрдое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной вертикальной оси. Чтобы удержать ось от перемещений в пространстве, заключим её в подшипники. Опирающийся па нижний подшипник фланец Фл , предотвращает передвижение оси в вертикальном направлении.


Дата добавления на сайт: 23 марта 2025
Заказать курсовую работу
Заказать реферат и др.
Скачать данную работу

Реферат
Динамика вращательного движения твердого тела

Кинетическая энергия вращения твёрдого тела

Момент инерции твердого тела

Рассмотрим твёрдое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной вертикальной оси. Чтобы удержать ось от перемещений в пространстве, заключим её в подшипники. Опирающийся па нижний подшипник фланец Фл , предотвращает передвижение оси в вертикальном направлении .

Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 1)

Абсолютно твёрдое тело можно рассматривать как систему материальных точек с неизменным расстоянием между ними. Линейная скорость элементарной массы Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 2) равна Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 3), где Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 4)Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 5)-расстояние массы Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 6) от оси вращения. Следовательно, для кинетической энергии элементарной массы получается выражение

Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 7)

Кинетическая энергия вращающегося твёрдого тела складывается из кинетических энергий его частей.

Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 8)
Сумму, входящую в правую часть этого соотношения назовём моментом инерции I тела относительно оси вращения

Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 9) - момент инерции твёрдого тела.

Слагаемые этой суммы представляют момент инерции материальной точки относительно оси вращения

Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 10)- момент инерции материальной

точки относительно оси вращения.
Размерность момента инерции [ I ]= 1 кгДинамика вращательного движения твердого тела (рис. 11)
Таким образом, кинетическая энергия тела вращающегося вокруг неподвижной оси, равна

Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 12) - кинетическая энергия вращающегося твёрдого тела.

Вычисление моментов инерции некоторых тел правильной формы

Согласно определению момент инерции твёрдого тела равен

Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 13),

где символом Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 14) обозначена элементарная масса Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 15). Элементарная масса Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 16) равна произведению плотности тела Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 17) в данной точке на соответствующий элементарный объём Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 18)
Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 19) .

Следовательно, момент инерции можно представить в виде

Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 20).

Это значение момента инерции является приближенным . Точное значение I получается при замене суммирования на интегрирование, т.е.

Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 21).

Эти интегралы берутся по всему объёму тела .

Пример 1: Вычисление момента инерции тонкого стержня массы m и длинной l, вращающегося вокруг оси перпендикулярной стержню и проходящей через центр масс.

Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 22)

Будем считать стержень однородным, тогда

Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 23)
Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 24)
Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 25)

Другие примеры значений моментов инерции для некоторых тел правильной формы приведём без вычислений .
Пример 2: Полый тонкостенный цилиндр, тонкое кольцо :

Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 26)

Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 27) - момент инерции цилиндра или тонкого кольца

Пример 3: Сплошной цилиндр, диск.

Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 28)

Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 29) - момент инерции сплошного цилиндра или диска

Пример 4: Сплошной шар.

Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 30)
Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 31) - момент инерции шара.

Заметим, что во всех приведённых примерах, тела предполагаются однородными, и вычисляются моменты инерции относительно центральных осей,
т.е. осей проходящих через центр масс.

Момент инерции тела относительно нецентральной оси

Теорема Штейнера
Пусть тело вращается вокруг неподвижной нецентральной оси. Это тело обладает кинетической энергией

Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 32) , (1)

где I - момент инерции тела относительно данной нецентральной осиДинамика вращательного движения твердого тела (рис. 33). Проведём через центр масс С ось ОО , параллельную данной нецентральной оси Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 34). Тогда вращение твёрдого тела можно представить как результат вращения центра масс С вокруг оси Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 35) и вращение твёрдого тела вокруг центральной оси ОО тоже с угловой скоростью w. Кинетическую энергию тоже можно представить как сумму двух слагаемых :

Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 36) , (2)

где Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 37)- линейная скорость центра масс. C учётом (1) и (2) получаем

Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 38) - теорема Штейнера.

Теорема Штейнера: Момент инерции I относительно произвольной оси равен сумме момента инерции I0 относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями :

Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 39)

Таким образом, теорема Штейнера, по существу, сводит вычисление момента инерции относительно произвольной оси к вычислению момента инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела.

Момент импульса твёрдого тела относительно закреплённой оси. Главные оси и главные моменты инерции

Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 40)

Рассмотрим твёрдое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной вертикальной оси. Возьмём на оси вращения точку О и будем характеризовать положение образующих тело материальных точек с помощью радиус-векторов Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 41), проведённых из этой точки. На рисунке показана i-я материальная точка с массой Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 42). Согласно определению момент импульса i-ой материальной точки относительно точки О равен

Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 43),

или, используя связь Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 44)Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 45),

Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 46) .

Для раскрытия двойного векторного произведения воспользуемся формулой

Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 47)
Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 48) .
кинетический энергия вращение инерция
Мы видим что, момент импульса i-ой материальной точки Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 49) не совладает по направлению с угловой скоростью Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 50), и его можно представить как сумму двух составляющих: осевой Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 51) и радиальной

Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 52)
Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 53).
Момент импульса всего твёрдого тела равен

Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 54) или Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 55)

где I - момент инерции твёрдого тела относительно оси вращения, Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 56) - составляющая момента импульса тела, перпендикулярная оси вращения. .
Нетрудно сообразить, что для однородного тела симметричного относительно оси вращения (для однородного тела вращения ) суммарный момент импульса направлен вдоль оси вращения в ту же сторону что и Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 57), и равен

Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 58) .

Действительно в этом случаи тело можно разбить на пары равных по массе, расположенных симметрично материальных точек. Сумма моментов каждой пары направлена вдоль вектора Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 59), следовательно, и суммарный момент импульса Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 60) будет совпадать по направлению с Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 61) и равен Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 62) .
Для несимметричного (или неоднородного) тела момент импульса Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 63), вообще говоря, не совпадает по направлению с вектором Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 64). При вращении тела вектор Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 65) поворачивается вместе с ним, описывая конус .
Заметим, что в случае вращения однородного симметричного тела, силы бокового давления подшипников на ось не возникают. В отсутствие силы тяжести подшипники можно было бы убрать, - ось и без них сохраняла бы своё положение в пространстве. Ось, положение которой в пространстве остаётся неизменным при вращении вокруг неё тела в отсутствии внешних сил, называется свободной осью тела
Можно доказать, что для тела любой формы и с произвольным распределением масс существуют три взаимно перпендикулярные, проходящие через центр масс оси, которые могут служить свободными осями: эти оси называются главными осями инерции тела. Моменты инерции относительно главных осей называются главными моментами инерции тела.
В общем случае эти моменты различны: Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 66).
Для тела с осевой симметрией два главных момента инерции имеют одинаковую величину, третий же, вообще говоря, отличен от них: Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 67).
И, наконец, в случае тела с центрально симметрией, все три главных момента одинаковы:Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 68).

Примеры:
Параллелепипед: Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 69) Диск: Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 70)

Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 71)Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 72)

Цилиндр: Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 73) Шар: Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 74)

Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 75)
Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 76)

Основной закон динамики вращения твёрдого тела

Будем рассматривать твёрдое тело как систему жёстко связанных материальных точек с массой Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 77), и пусть ось вращения неподвижная. Для всякой системы материальных точек имеет место закон изменения суммарного момента импульса во времени:

Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 78)

Это уравнение справедливо и для твёрдого тела. В этом случае Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 79)- момент импульса тела, а справа стоит Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 80)- сумма моментов внешних сил, действующих на тело, т.е.

Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 81)- основной закон динамики вращения твёрдого тела

Если ось вращеня главная, то Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 82), и получаем

Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 83),

т.е. Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 84) - аналог второго закона Ньютона для
вращательного движения твёрдого тела
В случае главной оси вращения при суммарном моменте внешней силы, действующем на тело, равном нулю, имеет место закон сохранения момента импульса твёрдого тела:

Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 85) - закон сохранения момента импульса твёрдого тела.

Если суммарный момент внешних сил Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 86), то он совершает работу, которая приводит к увеличению кинетической энергии вращающегося твёрдого тела (в этом случае потенциальная энергия Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 87)).

Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 88)

Итак Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 89) - работа при вращении твёрдого тела
Вычислим также мощность при вращении твёрдого тела:

Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 90) ,

Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 91) - мощность при вращении твёрдого тела

Аналогия между поступательным и вращательным движением
Поступательное движениеВращательное движение
s(t) - путь Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 92) - линейная скорость
Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 93) - линейное ускорение
m - масса
Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 94) - сила
Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 95) - 2-ой закон
Ньютона
Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 96) - импульс
Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 97)-кинетическая
энергия

Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 98) -работа

Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 99)-мощностьДинамика вращательного движения твердого тела (рис. 100) - угол поворота
Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 101) - угловая скорость
Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 102) - угловое ускорение
I - момент инерции
Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 103) - момент силы
Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 104)- 2-ой закон Ньютона
для вращательного движения
Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 105) - момент импульса
Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 106) - кинетическая
энергия вращающегося
твёрдого тела
Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 107) - работа при
вращательном движении
Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 108) - мощность при
вращательном движении

Из этого сопоставления легко заключить, что во всех случаях роль массы играет момент инерции, роль силы -момент силы, роль импульса -момент импульса, и т.д.

Гироскопы

Гироскопом (или волчком) называется массивное симметричное тело, вращающееся с большой скоростью вокруг оси симметрии. Эту ось будем называть осью гироскопа. Ось гироскопа является одной из главных осей инерции. Поэтому, если она не поворачивается в пространстве, момент импульса равен Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 109), где I -момент инерции относительно оси гироскопа.
При попытке вызвать поворот оси гироскопа наблюдается своеобразное явление, получившее название гироскопического эффекта: под действием сил, которые, казалось бы, должны вызвать поворот оси гироскопа ОО вокруг прямойДинамика вращательного движения твердого тела (рис. 110)(см. рисунок), ось гироскопа поворачивается вокруг прямой О''О'' направленной вдоль направления действия сил Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 111) и Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 112) . Поведение гироскопа оказывается полностью соответствующим законам динамики вращательного движения. Действительно, момент сил Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 113) и Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 114) направлен вдоль прямой О'О'. За время dt момент импульса гироскопа Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 115) получит приращение Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 116), которое имеет такое же направление, как и Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 117). Спустя время dt момент импульса гироскопа будет равен Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 118) и будет лежать в плоскости рисунка.. Таким образом, ось гироскопа повернётся вокруг прямой О''О'' на некоторый угол Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 119).

Из рисунка видно, что

Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 120),

Отсюда следует, что поворот оси гироскопа в новое положение произошел с угловой скоростью

Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 121).

Перепишем это соотношение в виде : Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 122)
Векторы Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 123), Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 124) и Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 125) взаимно перпендикулярны (вектор Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 126)направлен вдоль прямой О’’О’’, на нас). Поэтому связь между ними можно записать в векторном виде :

Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 127) .

Заметим, что эта формула справедлива лишь в том случае, если w’ << w
Допустим, что ось гироскопа может свободно поворачивается вокруг некоторой точки О (см. рисунок).

Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 128)

Рассмотрим поведение такого гироскопа в поле сил тяжести. Момент сил, приложенных к гироскопу, равен по величине : Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 129), где m - масса гироскопа, l - расстояние от точки О до центра инерции гироскопа, Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 130) - угол, образованный осью гироскопа с вертикалью.
Под действием момента сил Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 131) момент импульса Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 132)получит за время dt приращение Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 133), перпендикулярное вектору Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 134).
При этом вертикальная плоскость, проходящая через ось гироскопа, повернётся на угол Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 135). Угол Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 136) при этом не меняется.
Таким образом, в поле сил тяжести ось гироскопа с неподвижной точкой О поворачивается вокруг вертикали, описывая конус. Такое движение гироскопа называется прецессией Угловую скорость прецессии w’ можно найти, приняв во внимание полученное ранее соотношение

Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 137).

Подставляем сюда M , получим

Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 138) , отсюда Динамика вращательного движения твердого тела (рис. 139) - угловая скорость прецессии.

Литература

Савельев И. В. Курс физики. Т. 1. Механика. Молекулярная физика. - М.: Наука, 1989. - 350 с.
Савельев И. В. Курс физики. Т. 2. Электричество и магнетизм. - М.: Наука, 1989. - 496 с.
Савельев И. В. Курс физики. Т. 3. Квантовая физика. - М.: Наука, 1989. - 301 с.
Сивухин Д. В. Механика. - М.: Физматлит, 2002. - 576 с.
Сивухин Д. В. Термодинамика и молекулярная физика. - М.: Физматлит, 2002. - 592 с.
Сивухин Д. В. Электричество. - М.: Физматлит, 2002. - 688 с.
Сивухин Д. В. Оптика. - М.: Физматлит, 2002. - 752 с.
Сивухин Д. В. Атомная физика. - М.: Физматлит, 2002.

Похожие материалы:


Реферат: Кинематика и динамика материальной точки и твердого тела

Лекция: Динамика материальной точки и поступательного движения твердого тела

Комментарии:

Вы не можете оставлять комментарии. Пожалуйста, зарегистрируйтесь.
▲ ▼