Текст работы

“Согласовано”	“Утверждено”
Преподаватель Джежеря Ю.И. ___________	Методист ____________________

План-конспект занятия
По теоретической физике
Студента V курса физико-математического факультета, гр. ОФ-61
Филатова Александра Сергеевича
Дата проведения занятия: 27.12.2000
Тема: «Функция Гамильтона-Якоби. Разделение переменных»
Цели: Закрепить умение использования метода Гамильтона-Якоби при решении задач с разделением переменных. Сформировать понимание сути и могущественности метода. Воспитывать трудолюбие, прилежность.
Тип занятия: практическое.
Ход занятия
Краткие теоретические сведения
При рассмотрении действия, как функции координат (и времени), следует выражение для импульса:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1)
Из представления полной производной действия по времени следует уравнение Гамильтона-Якоби:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 2)
Здесь действие рассматривается как функция координат и времени: .
Путем интегрирования уравнения Гамильтона-Якоби GOTOBUTTON ZEqnNum363100 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum363100 \! \* MERGEFORMAT (2), находят представление действия в виде полного интеграла, который является функцией s координат, времени, и s+1 постоянных (s – число степеней свободы). Поскольку действие входит в уравнение Гамильтона-Якоби только в виде производной, то одна из констант содержится в полном интеграле аддитивным образом, т.е. полный интеграл имеет вид:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 3)
Константа А не играет существенной роли, поскольку действие входит везде лишь в виде производной. А определяет, что, фактически, лишь s констант меняют действие существенным образом. Эти константы определяются начальными условиями на уравнения движения, которые для любого значения А будут иметь одинаковый вид, как и само уравнение Гамильтона-Якоби.
Для того чтобы выяснить связь между полным интегралом GOTOBUTTON ZEqnNum162713 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum162713 \! \* MERGEFORMAT (3) уравнения Г.-Я. GOTOBUTTON ZEqnNum602127 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum602127 \! \* MERGEFORMAT (2) и интересующими нас уравнениями движения, необходимо произвести каноническое преобразование, выбрав полный интеграл действия в качестве производящей функции.
Константы будут выступать в качестве новых импульсов. Тогда новые координаты
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 4)
тоже будут константы, поскольку
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 5)
Выражая из уравнения GOTOBUTTON ZEqnNum982949 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum982949 \! \* MERGEFORMAT (4) координаты в виде функций от , мы и получим закон движения:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 6)
Решение задачи на нахождение зависимости GOTOBUTTON ZEqnNum547713 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum547713 \! \* MERGEFORMAT (6) существенно упрощается в случае разделения переменных. Такое возможно, когда какая-то координата может быть связана лишь с соответствующим ей импульсом и не связана ни с какими другими импульсами или координатами, входящими уравнение Г.-Я. В частности это условие выполняется для циклических переменных.
Итак, нахождение уравнений движения методом Гамильтона-Якоби сводится к следующему:
составить функцию Гамильтона;
записать уравнение Г.-Я., и определить какие переменные разделяются;
Путем интегрирования уравнения Г.-Я. получить вид полного интеграла ;
Составить систему s уравнений, и получить закон движения ;
По необходимости найти закон изменения импульсов: . Для чего продифференцировать полный интеграл по координатам , а потом подставить их явный вид, полученный в пункте 4.
MACROBUTTON MTEditEquationSection Equation Section 1.1 SEQ MTEqn \r \h \* MERGEFORMAT SEQ MTSec \r 1.1 \h \* MERGEFORMAT Примеры решения задач
На прошлом занятии был продемонстрирован пример нахождения закона движения для свободной точки. Что же будет происходить при помещении точки в поле?
№9.22 [ REF _Ref500658853 \r \h 3] Составить уравнения Г.-Я. для точки, движущейся в однородном гравитационном поле. Найти полный интеграл этого уравнения, а также траекторию и закон движения точки.
Решение:
1. Направим ось Oz вверх по вертикали. Тогда функция Гамильтона точки в декартовых координатах примет вид:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1)
2. Соответственно уравнение Г.-Я.:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 2)
3. Все переменные в этом уравнении разделяются. Здесь . Разделение переменных позволяет нам представить действие в виде суммы:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 3)
Тогда, к примеру, изменение х, повлечет за собой изменение лишь первого слагаемого в квадратных скобках уравнения GOTOBUTTON ZEqnNum934998 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum934998 \! \* MERGEFORMAT (1.2). Слагаемое может меняться, а все выражение все равно тождественный ноль. Следовательно, это слагаемое есть константа.


MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 4)
Выполняя такого рода действия, получим следующий вид полного интеграла уравнения Г.-Я.:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 5)
Заметим, что в выражении полного интеграла GOTOBUTTON ZEqnNum228371 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum228371 \! \* MERGEFORMAT (1.5) уже содержится три константы. Система имеет три степени свободы. Поэтому эти три константы уже однозначно определяют уравнения движения. 4-ая константа может входить в действие только аддитивным образом и не играет существенной роли. Соответственно функция не должна содержать более констант. Полученная при интегрировании этой части действия константа будет выражаться через уже имеющиеся три. Поэтому вид функции определим, подставив действие в виде GOTOBUTTON ZEqnNum171545 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum171545 \! \* MERGEFORMAT (1.5) в уравнение Г.-Я. GOTOBUTTON ZEqnNum722203 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum722203 \! \* MERGEFORMAT (1.2):
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 6)
Интегрирование последнего уравнения приводит к функции:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 7)
Окончательно полный интеграл:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 8)
4. Отсюда на основании теоремы Якоби:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 9)
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 10)
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 11)
Первые два из этих уравнения показывают, что траекторией частицы является парабола, а третье уравнение представляет собой закон движения.
Далее найдем, что компоненты – сохраняются:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 12)
В частности, при нулевых значениях движение происходит по прямой вдоль оси Oz.
Найдем также компоненту , как функцию координат:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 13) MACROBUTTON MTEditEquationSection Equation Section (Next) SEQ MTEqn \r \h \* MERGEFORMAT SEQ MTSec \h \* MERGEFORMAT
№9.24 [ REF _Ref500658853 \r \h 3] Найти полный интеграл уравнения Г.-Я. для мат. маятника и закон его движения в квадратуре.
Решение:
1. Чтобы составить функцию Гамильтона, можно пойти двумя путями.
Записать вид функции Гамильтона в полярных координатах:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1)
Но поскольку длина стержня мат. маятника – величина постоянная, то , а функция Гамильтона примет вид:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 2)
2) Записать функцию Лагранжа, и из нее получить вид функции Гамильтона, который будет совпадать с представлением GOTOBUTTON ZEqnNum994036 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum994036 \! \* MERGEFORMAT (2.2). Предлагается учащимся убедиться в этом самостоятельно в качестве домашнего задания.
2. Запишем уравнение Г.-Я.:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 3)
3. И время t и координата – разделяются. Следовательно, полный интеграл имеет вид:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 4)
Подставляя его в уравнение Г.-Я. GOTOBUTTON ZEqnNum219235 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum219235 \! \* MERGEFORMAT (2.3) получим вид функции :
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 5)
На основании теоремы Якоби найдем закон движения маятника:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 6)
или
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 7)
MACROBUTTON MTEditEquationSection Equation Section (Next) SEQ MTEqn \r \h \* MERGEFORMAT SEQ MTSec \h \* MERGEFORMAT Литература:
Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц «Механика, электродинамика», - М.: «Наука», 1969 г., - 272 с.
Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц «Механика», - М.: «Наука», 1965 г., - 204 с.
И.И. Ольховский, Ю.Г. Павленко, Л.С. Кузьменков «Задачи по теоретической механике для физиков», - М.: 1977 г., - 389 с.
Г.Л. Коткин, В.Г. Сербо «Сборник задач по теоретической механике», - М.: «Наука», 1977 г., - 320 с.
И.В. Мещерский «Сборник задач по теоретической механике», - М.: «Наука», 1986 г., - 448 с.
Л.П. Гречко, В.И. Сугаков, О.Ф. Томасевич, А.М. Федоренко «Сборник задач по теоретической физике», - М.: «Высшая школа» 1984 г., - 319 с.
Студент-практикант: Филатов А.С.