Текст работы

“Согласовано”	“Утверждено”
Преподаватель Джежеря Ю.И. ___________	Методист ____________________

План-конспект занятия
По теоретической физике
Студента V курса физико-математического факультета, гр. ОФ-61
Филатова Александра Сергеевича
Дата проведения занятия: 20.12.2000
Тема: «Канонические преобразования. Функция Гамильтона-Якоби. Разделение переменных»
Цели: Развить навык использования канонических преобразований. Закрепить умение осуществлять преобразования Лежандра для перехода к производящей функции от необходимых переменных. Научить использовать метод Гамильтона-Якоби при решении задач с разделением переменных. Сформировать понимание сути и могущественности метода. Воспитывать трудолюбие, прилежность.
Тип занятия: практическое.
Ход занятия
Краткие теоретические сведения
Канонические преобразования
Канонические преобразования переменных – это такие преобразования, при которых сохраняется канонический вид уравнений Гамильтона. Преобразования производят с помощью производящей функции, которая является функцией координат, импульсов и времени. Полный дифференциал производящей функции определяется следующим образом:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1)
Выбирая производящую функцию от тех или иных переменных, получаем соответствующий вид канонических преобразований. Заметим, что если частная производная будет браться по "малым" , то будем получать малое , если же по "большим" , то и получать будем соответственно .
Функция Гамильтона-Якоби
При рассмотрении действия, как функции координат (и времени), следует выражение для импульса:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 2)
Из представления полной производной действия по времени следует уравнение Гамильтона-Якоби:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 3)
Здесь действие рассматривается как функция координат и времени: .
Путем интегрирования уравнения Гамильтона-Якоби GOTOBUTTON ZEqnNum363100 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum363100 \! \* MERGEFORMAT (3), находят представление действия в виде полного интеграла, который является функцией s координат, времени, и s+1 постоянных (s – число степеней свободы). Поскольку действие входит в уравнение Гамильтона-Якоби только в виде производной, то одна из констант содержится в полном интеграле аддитивным образом, т.е. полный интеграл имеет вид:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 4)
Константа А не играет существенной роли, поскольку действие входит везде лишь в виде производной. А определяет, что, фактически, лишь s констант меняют действие существенным образом. Эти константы определяются начальными условиями на уравнения движения, которые для любого значения А будут иметь одинаковый вид, как и само уравнение Гамильтона-Якоби.
Для того чтобы выяснить связь между полным интегралом GOTOBUTTON ZEqnNum162713 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum162713 \! \* MERGEFORMAT (4) уравнения Г.-Я. GOTOBUTTON ZEqnNum602127 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum602127 \! \* MERGEFORMAT (3) и интересующими нас уравнениями движения, необходимо произвести каноническое преобразование, выбрав полный интеграл действия в качестве производящей функции.
Константы будут выступать в качестве новых импульсов. Тогда новые координаты
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 5)
тоже будут константы, поскольку
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 6)
Выражая из уравнения GOTOBUTTON ZEqnNum982949 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum982949 \! \* MERGEFORMAT (5) координаты в виде функций от , мы и получим закон движения:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 7)
Решение задачи на нахождение зависимости GOTOBUTTON ZEqnNum547713 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum547713 \! \* MERGEFORMAT (7) существенно упрощается в случае разделения переменных. Такое возможно, когда какая-то координата может быть связана лишь с соответствующим ей импульсом и не связана ни с какими другими импульсами или координатами, входящими уравнение Г.-Я. В частности это условие выполняется для циклических переменных.
Итак, нахождение уравнений движения методом Гамильтона-Якоби сводится к следующему:
составить функцию Гамильтона;
записать уравнение Г.-Я., и определить какие переменные разделяются;
Путем интегрирования уравнения Г.-Я. получить вид полного интеграла ;
Составить систему s уравнений, и получить закон движения ;
По необходимости найти закон изменения импульсов: . Для чего продифференцировать полный интеграл по координатам , а потом подставить их явный вид, полученный в пункте 4.
MACROBUTTON MTEditEquationSection Equation Section 1.1 SEQ MTEqn \r \h \* MERGEFORMAT SEQ MTSec \r 1.1 \h \* MERGEFORMAT Примеры решения задач
№11.14 [ REF _Ref500583825 \r \h 4] Как известно, замена функции Лагранжа на
, MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1)
где – произвольная функция, не изменяет уравнений Лагранжа. Показать, что это преобразование является каноническим, и найти его производящую функцию.
Решение:
Перепишем штрихованную функцию Лагранжа, представив полную производную функции через частные:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 2)
Функции Гамильтона, соответствующие штрихованной и не штрихованной функциям Лагранжа, определяются следующим образом:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 3)
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 4)
Распишем , используя представление штрихованной функции Лагранжа GOTOBUTTON ZEqnNum802009 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum802009 \! \* MERGEFORMAT (1.2):
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 5)
Подставляя формулы GOTOBUTTON ZEqnNum407417 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum407417 \! \* MERGEFORMAT (1.5) и GOTOBUTTON ZEqnNum536903 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum536903 \! \* MERGEFORMAT (1.2) в выражение для штрихованной функции Гамильтона GOTOBUTTON ZEqnNum209942 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum209942 \! \* MERGEFORMAT (1.4), получим:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 6)
Взаимно сократив второе слагаемое с последним, учитывая зависимость GOTOBUTTON ZEqnNum835472 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum835472 \! \* MERGEFORMAT (1.3), получим:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 7)
Или
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 8)
Но согласно каноническим преобразованием с производящей функцией Ф:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 9)
Следовательно,
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 10)
Полученное соотношение определяет условие на временную часть производящей функции канонического преобразования, соответствующего преобразованию функции Лагранжа GOTOBUTTON ZEqnNum875722 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum875722 \! \* MERGEFORMAT (1.1).
Поскольку вид обобщенных импульсов и координат при преобразовании функции Лагранжа GOTOBUTTON ZEqnNum563784 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum563784 \! \* MERGEFORMAT (1.1) не изменился, координатно-импульсная часть производящей функции должна соответствовать тождественному каноническому преобразованию. Как было показано в задаче №9.32 [ REF _Ref500658853 \r \h 3] (д/з пред. занятия), производящая функция определяющая тождественное каноническое преобразование с неизменным гамильтонианом, имеет вид:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 11)
Учитывая условие GOTOBUTTON ZEqnNum780406 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum780406 \! \* MERGEFORMAT (1.10) на временную часть производящей функции, окончательно получим:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 12)
Полученная производящая функция определяет тождественное каноническое преобразование с заменой функции Гамильтона GOTOBUTTON ZEqnNum865546 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum865546 \! \* MERGEFORMAT (1.7) соответствующей замене функции Лагранжа GOTOBUTTON ZEqnNum827017 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum827017 \! \* MERGEFORMAT (1.1). MACROBUTTON MTEditEquationSection Equation Section (Next) SEQ MTEqn \r \h \* MERGEFORMAT SEQ MTSec \h \* MERGEFORMAT
right231140m2
m1
Х
00m2
m1
Х
Задача. Система, состоящая из двух шариков массами , соединенных невесомой пружиной, расположенной вертикально, начинает двигаться в поле сил тяжести. Длина пружины - . Произвести каноническое преобразование и записать новую функцию Гамильтона, соответствующие производящей функции
.
Решение:
Составим функцию Гамильтона системы:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1)
Здесь потенциальная энергия состоит из энергии гармонических колебаний и потенциальной энергии шариков в поле сил земного тяготения. По определению потенциального поля:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 2)
Мы имеем дело с одномерным движением, поэтому градиент в формуле GOTOBUTTON ZEqnNum545859 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum545859 \! \* MERGEFORMAT (2.2) заменяется производной по х. В то же время сила, является суммарной силой тяжести. Принимая во внимание принцип суперпозиции гравитационного поля, проинтегрируем последнее уравнение:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 3)
Значение смещения пружины от положения равновесия будет определяться следующим образом:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 4)
Подставив выражения GOTOBUTTON ZEqnNum582908 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum582908 \! \* MERGEFORMAT (2.3) и GOTOBUTTON ZEqnNum606507 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum606507 \! \* MERGEFORMAT (2.4) в формулу GOTOBUTTON ZEqnNum570001 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum570001 \! \* MERGEFORMAT (2.1), получим вид функции Гамильтона, выраженной через импульсы и координаты явно:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 5)
Переход к новым каноническим переменным производится в случае, когда возможно упростить вид функции Гамильтона, а соответственно и исходящих из нее уравнений движения.
В данной ситуации удобно выбрать новые координаты так, чтобы одна описывала движение центра масс системы, а вторая колебания пружины в собственной системе отсчета. Убедимся, что заданная в условии производящая функция отвечает именно такому преобразованию.
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 6)
Новая координата совпадает со значением смещения пружины от положения равновесия.
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 7)
Новая координата совпадает со значением положения центра масс системы.
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 8)
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 9)
Сложив оба уравнения, получим:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 10)
Соответственно
, MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 11)
где
, MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 12)
– приведенная масса.
Запишем функцию Гамильтона в новых переменных:
, MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 13)
где
, MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 14)
– суммарная масса системы.
Действительно, функция Гамильтона в новых переменных распалась на две части, что соответствует двум парам канонических уравнений. Одна часть описывает колебания шариков в собственной системе отсчета, другая – движение системы как целого в поле сил тяжести. MACROBUTTON MTEditEquationSection Equation Section (Next) SEQ MTEqn \r \h \* MERGEFORMAT SEQ MTSec \h \* MERGEFORMAT

№9.21 [ REF _Ref500658853 \r \h 3] Найти полный интеграл уравнения Г.-Я. и закон свободного движения материальной точки.
Решение:
1. Составим функцию Гамильтона свободной частицы:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 3. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1)
2. Запишем уравнение Г.-Я.:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 3. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 2)
3. Произведем разделение переменных и проинтегрируем по времени.
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 3. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 3)
Используем начальное условие:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 3. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 4)
Тогда подставляя вид функции S GOTOBUTTON ZEqnNum461238 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum461238 \! \* MERGEFORMAT (3.3) в уравнение Г.-Я. GOTOBUTTON ZEqnNum369440 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum369440 \! \* MERGEFORMAT (3.2), последнее примет вид:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 3. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 5)
Откуда
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 3. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 6)
Следовательно, полный интеграл уравнения Г.-Я.:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 3. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 7)
4. Закон движения определяется из канонического преобразования:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 3. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 8)
Откуда сам закон движения:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 3. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 9)
5. Импульс свободно движущейся материальной точки определяется следующим образом:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 3. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 10)
Действительно, частица в отсутствии внешнего поля движется с постоянным импульсом. MACROBUTTON MTEditEquationSection Equation Section (Next) SEQ MTEqn \r \h \* MERGEFORMAT SEQ MTSec \h \* MERGEFORMAT
Домашнее задание:
№11.2 [ REF _Ref500583825 \r \h 4] Найти производящую функцию вида , приводящую к тому же каноническому преобразованию, что и .
Решение:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 4. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1)
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 4. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 2)
№9.38 [ REF _Ref500658853 \r \h 3] Найти уравнение, которому удовлетворяет производящая функция , порождающая каноническое преобразование к постоянным импульсам и координатам.
№9.23 [ REF _Ref500658853 \r \h 3] Найти полный интеграл уравнения Г.-Я. для тела, движущегося по гладкой наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтом.
№12.1 a) [ REF _Ref500583825 \r \h 4] Найти траекторию и закон движения частицы в поле

Литература:
Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц «Механика, электродинамика», - М.: «Наука», 1969 г., - 272 с.
Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц «Механика», - М.: «Наука», 1965 г., - 204 с.
И.И. Ольховский, Ю.Г. Павленко, Л.С. Кузьменков «Задачи по теоретической механике для физиков», - М.: 1977 г., - 389 с.
Г.Л. Коткин, В.Г. Сербо «Сборник задач по теоретической механике», - М.: «Наука», 1977 г., - 320 с.
И.В. Мещерский «Сборник задач по теоретической механике», - М.: «Наука», 1986 г., - 448 с.
Л.П. Гречко, В.И. Сугаков, О.Ф. Томасевич, А.М. Федоренко «Сборник задач по теоретической физике», - М.: «Высшая школа» 1984 г., - 319 с.
Студент-практикант: Филатов А.С.