Текст работы

Лекция 5

Классификация ЭМП

5.1. Статические поля.
5.2. Стационарные поля.
5.3. Квазистационарные поля.
5.4. Относительность свойств реальных сред.
5.5. Быстропеременные поля.

В основе классификации ЭМП лежат 2 критерия:
Зависимость полей от времени.
Соотношение между токами проводимости и смещения.

5.1. Статические поля.

Статические поля не зависят от времени :

= 0 см = 0

Заряды неподвижные пр = 0.
Уравнения Максвелла:

1. rot H = 0; 2. rot E = 0

3. div B = 0; 4. div D =

B = a H; D = a E (5.1.1.)

В статических полях электрические и магнитные явления проявляют себя независимо. Уравнения Максвелла распадаются на 2 системы:

rot H = 0 rot E = 0

div B =0 div D = (5.1.2.)


5.2. Стационарные поля.
Стационарные поля не зависят от времени =0
см = 0 ; пр 0:

rot H = пр - магнитное поле становится вихревым

div B = 0

B = a H пр = Е

rot E = 0 div D =

D = a E (5.2.1.)

Поля зависят друг от друга. Электрическое поле не вихревое, магнитное вихревое.

5.3. Квазистационарные поля.

0 см 0 Процессы медленно изменяются во времени.

rot H = пр rot E = -

div B = 0 div D =

B = a H D = a E пр >> пр
(5.3.1.)

Эти поля детально изучаются в ТЭЦ.

5.4. Относительность свойств реальных сред.

В реальных средах существуют токи проводимости и токи смещения. Рассмотрим поведение реальных сред в переменных полях.

Е = Е0 cos t (5.4.1.)

пр = E = E0 cos t (5.4.2.)
см==(aE)=(aE0cost)=-aE0sint (5.4.3.)

пр = E0 = = tg - тангенс угла диэлектрических потерь
см = а Е0 (5.4.4.)

если tg >> 1 - проводящая среда.
tg > пр (производные по времени большие)
Уравнения Максвелла принимают вид:

rot H = см ; rot E = -; div D = ; div B = 0
(5.5.1.1.)
В дальнейшем в курсе мы будем иметь дело с таким классом полей, т.е. быстропеременным. Из всего многообразия временных зависимостей полей в нашем курсе мы рассмотрим группу, где поля изменяются по гармоническому закону:

cos t
V = V0 cos или sin непринципиально +
sin t
Метод комплексных амплитуд имеет те же предположения, что и в курсе ТЭЦ, мы несколько распространим его на векторные величины.

V = V0 cos t - в общем виде записана производная векторная величина, изменяющаяся по гармоническому закону.
Как выражается такая величина в методе комплексных амплитуд ?

V = V0 cos t V = V0 e - временная зависимость.
Как вернуться к исходному вектору без точки? Какая теорема используется ? Теорема Эйлера.
__
V = Re V = V0 cos t

__
V = V0 cos (t + ) V = V0 e = V0 e

V0 = V0 e В этом методе на амплитуду ничего не действует.

Вывод:
В окончательных выражениях зависимость от времени исчезает хотя она всегда известна, ее можно восстановить.
Значительно упрощается дифференцирование и интегрирование по времени, дифференцируем умножаем на j , интегрируем делим на j
__
= V0 j e = V j
Средняя мощность:

Рср = U I*;
Рсракт = Re (U I*);
Рсрреак = Im (U I*)
__ __
П = [E x H*]


Пактср = Re П

Преакср = Im П

5.5.2. Комплексные уравнения Максвелла

Комплексные уравнения Максвелла являются дифференциальной формой законов электромагнетизма для гармонических процессов:

E = E0 cos (t + E) E0 e ; E0 = E0 e e

D = D0 cos (t + D) D0 e ; D0 = D0 e d

H = H0 cos (t + H) H0 e ; H0 = H0 eh

B = B0 cos (t + B) B0 e ; B0 = B0 e b
(5.5.2.1.)
Применим метод комплексных амплитуд к этому процессу:

D = a E
Формально можно записать хотя деление векторов не встречается.
a =;
где а - комплексная диэлектрическая проницаемость
= e de = a e DE = `a - j``a (5.5.2.2.)
В общем случае фаза, с которой изменяется вектор D и вектор Е могут неравны D - E 0, т.е. возможно опережение или отставание.
В гармонических полях абсолютная диэлектрическая и магнитная проницаемости величины комплексные:
.
a = = a e bh = `a - j``a (5.5.2.3.)
Площадь петли равна энергии на перемагничевание. В любых магнитных материалах имеется запаздывание

вектора В относительно Н.

Уравнения Максвелла

rot H = пр + см = E + - в обычной дифференциальной форме.
Покажем, что уравнения Максвелла относительно временных процессов являются линейными.

H = H0 cos t rot H0 cos t
применяем операцию rot.
H = j H0 sin t rot j H0 sin t

rot H0 (cos t + j sin t) = rot H0 e

Применим первое уравнение Максвелла к векторным характеристикам полей, записанных в комплексной форме:

257238557594500330390557594500175958541338500120078539306500120078548450500 rot H0 = E0 + j a E0 = j E0 (a - j )
25723854572000
D0 a
(5.5.2.4.)
rot H0 = j a E0 в комплексной форме отсутствует зависимость от времени.
a = a - j= `a - j``a
где: `а = a - характеризует процессы поляризации.

``a = - характеризует джоулевые потери.
По аналогии второе уравнение Максвелла:
.
rot E0 = - j a H0 (5.5.2.5.)

div D = ; div B = 0
Третье и четвертое уравнения не реагируют на время, не зависят от того, какой процесс гармонический или нет.
Для гармонических процессов третье и четвертое уравнения теряют смысл, они входят в первое и второе.

rot E = - j a H0 = - j B0 (5.5.2.6.)

Применим к правой и левой части уравнения (5.5.2.6.) операцию div:

div rot E = - j div B0

0 div B0 = 0

Метод комплексных амплитуд позволил существенно упростить описание полей, т.к. требуется только два уравнения:

rot H = j a E а = а` - j a``

rot E = - j a H a = a` - j a``

В дальнейшем черточку опускаем, но всегда имеем в виду, что комплексная форма, т.к. присутствует символ j.