Лекция: Плоские электромагнитные волны
7.1. Понятие волнового процесса.
7.2. Плоские волны в идеальной среде.
7.3. Плоские волны в реальных средах.
7.4.Распространение волнового пакета. Групповая скорость.
7.5. Поляризация ЭМВ.
Дата добавления на сайт: 27 марта 2025
Лекция 7
Плоские электромагнитные
волны
7.1. Понятие волнового процесса.
7.2. Плоские волны в идеальной среде.
7.3. Плоские волны в реальных средах.
7.4.Распространение волнового пакета. Групповая скорость.
7.5. Поляризация ЭМВ.
7.1. Понятие волнового процесса.
Мир, в котором мы живем, - мир волн. Чем характеризуется мир волн, волновых процессов ?
Волновой процесс имеет следующие характерные признаки:
Волновой процесс всегда переносит энергию и импульсы. Нас интересуют волновые процессы ЭМВ.
Конечная скорость всех волновых процессов. В случае ЭМВ - это скорость света.
Независимость волновых процессов друг от друга. В этой комнате существуют поля самых разных частот, поля р/станций, света и т.д.
Волновые процессы, различные по физической природе, описываются одним и тем же математическим аппаратом.
Под волновым процессом понимают возмущение некоторой величины в пространстве, перемещающееся с конечной скоростью, переносящее мощность без переноса вещества.
7.2. Плоская ЭМВ в идеальной среде.
Под плоской ЭМ волной понимают волновой процесс, у которого составляющие электрического и магнитного полей изменяются в одинаковой фазе в плоскости перпендикулярной направлению распространения.
(7.2.1.) rot H = j a E Используем для анализа
1 - е и 2 - е уравнения
(7.2.2.) rot E = - j a H Максвелла
Источники, создающие плоские волны не входят в эти уравнения. Мы рассматриваем волновые процессы в дальней зоне, т.е. в пространстве за пределами
зарядов и токов. Решим уравнения относительно Е и Н.
Из уравнения (7.2.1.) выразим Е и подставим в (7.2.2.):
E = () rot H
() rot (rot H) = - ja H
rot rot H = grad div A - 2 H
grad div H - 2 H = 2 aa H
т.к. div H = 0 - четвертое уравнение Максвелла
2 H + k2 H = 0 однородное волновое ур-е Гельмгольца (7.2.3.)
k2 = 2aa
Точно так же из второго уравнения получаем
уравнения для вектора Е:
2 E + k2 E = 0 - однородное волновое ур-е Гельмгольца (7.2.4.)
В развернутом виде запишем уравнения:
() +() +() + k2 H = 0 (7.2.5.)
Решать такое уравнение трудно. Предположим, что источник ЭМ колебаний находится очень далеко от той области, где рассматриваем волны.
12065-265430y
М2
М1
z
r1
r2
r3
х
М3
источник
00y
М2
М1
z
r1
r2
r3
х
М3
источник
47777409398000
r1 r2 r3
т.к. источник очень далеко, то расстояния до точки можно считать одинаковым. Из физического смысла задачи, можно утверждать, что изменения полей по координате y, х нет, т.е.:
= = 0
() + k2 H = 0 (7.2.6.)
Для плоской ЭМВ волновое уравнение упрощается. Решение уравнения:
H(z) = A e - jkz + B e jkz в обычной форме
H(z,t) = e (A e - jkz + B e jkz) если поле зависит от времени.
H(z,t) = h означает, что поле векторное.
H(z,t) = h [A e + B e +] (7.2.7.)
Выделим составляющую поля c амплитудой А:
Ha(z,t) = h A e - в комплексной форме.
(7.2.8.)
Выделим из комплексного выражения действительную часть:
Haреал(z,t) = Re Ha(z,t) = h A cos(t - kz) (7.2.9.)
-127058420z
t=t1
t=t2
НАреал
(z, t)
00z
t=t1
t=t2
НАреал
(z, t)
9004309525000
351536027051000315468027051000
90043015113000
306451063500z1 z2
00z1 z2
Фотография процесса в момент времени t = t1, t = t2. С какой скоростью перемещается фронт с одинаковой фазой ? Выясним это:
Ф1 = t1 - kz1 ; Ф2 = t2 - kz2 (7.2.10.)
Прибор регистрирует одинаковую напряженность, надо потребовать, чтобы Ф1 = Ф2
t1 - kz1 = t2 - kz2
k (z2 - z1) = (t2 - t1)
= Vф - называется фазовой скоростью волны.
1515110317500 k = a a
Vф = - зависит от свойств среды,
где распространяется ЭМВ.
0 = 8,85*10 –12 , 0 = 4*10-7 ,
V = 3*108 (7.2.11.)
- называют пространственную периодичность волнового процесса.
- это длина пути, которую проходит фронт с одинаковой фазой за период, или- это есть расстояние, которое проходит фазовый фронт за 1 период.
-170815-82550
z
ℓ =
z1
z2
t-соnst
00
z
ℓ =
z1
z2
t-соnst
в т. Z1 Ф1 = t - kz1
в т. Z2 Ф2 = t - kz2
Ф1 - Ф2 = 2
z2 - z1 = =
k = - волновое число
Vф = = f если в вакууме, то
Vф = c
Vф = f (7.2.12.)
Выясним связь напряженностей Е и Н в ЭМВ:
rot H = j a E
rot E = - j a H
Спроектируем уравнение на оси координат:
366966516446500193230517653000 . . .
i j k
rot H =
Hx Hy Hz
-() = ja Ex
= ja E;
0 = ja Ez
Ez = 0
-() = - ja Hx , 0 = - jaHz
= - j a Hy , Hz = 0 (7.2.13.)
В ЭМВ отличны от нуля только две составляющие в плоскости плоскости распространения:
-() = jaEx
j k Hy = ja Ey
(7.2.14.)
Это лишний раз подчеркивает, что сферические волны излучателя в дальней зоне превращаются в плоские ЭМВ.
Ориентация векторов Е и Н.
Для плоской ЭМВ Е всегда Н.
Покажем, что величина Е Н = 0:
E H = E H cos (E H) = 0
(i Ex + j Ey) (i Hx + j Hy)
ExHx + EyHy = Zc HyHx - ZcHxHy = 0
Ex = Zc Hy ; Ey = - Zc Hx
E H всегда в плоской ЭМВ
H = y0 A e общая запись
плоской ЭМВ.
H = x0 A Zc e (7.2.15.)
Поскольку в рассматриваемой задаче рассматривается только один источник, то учитываем только волну с амплитудой А. В пространстве имеются
2 взаимно перпендикулярных поля ( Е и Н). Как определить направление переноса энергии ?
8890091440
х
у
z
00
х
у
z
306451026670000
90043091440
00
Пср = () Re [E H*]
Итоги:
Составляющие Е и Н лежат в плоскости перпендикулярной направлению распространения и изменяются в фазе (там где max Е там max Н, и наоборот)
Отношение = Zc определенная величина в случае вакуума Zc = 120 . Плоская ЭМВ однородная.
Амплитуды Е и Н не зависят от поперечных координат.
У плоской ЭМВ Ez = 0 , Hz = 0.
7.3. Плоские волны в реальных средах.
Предыдущий анализ относился к идеальным средам. В реальных средах часть энергии будет теряться в среде, значит амплитуда волны будет убывать. Любая реальная среда - набор связанных зарядов (диполей), могут быть и свободные заряды.
321246513716000
17907067310
00
Часть энергии переходит в тепло. Количественно опишем процесс.
В реальных средах, при гармонических воздействиях проницаемости величины комплексные:
= `a - j a``
= a` - j a`` (7.3.1.)
Все рассуждения и результаты сохраняют силы, но параметры а а - комплексные.
Амплитудные соотношения.
С этой целью рассмотрим, что представляет собой волновое число в реальной среде:
____ _________________
k = aa = (a`- ja``)(a`- ja``) = - j (7.3.1.)
поскольку величины а и а - комплексные, то k - тоже величина комплексная. К каким последствиям это может привести ? Рассмотрим волновой процесс:
H (z,t) = y0 A e = y0 A e =
-35369557785z
e-z
Н
00z
e-z
Н
= y0 A e e (7.3.3.)
Параметр получил название коэффициента затухания. - фазовая постоянная - вещественная часть волнового числа.
Vф = / в реальных средах (7.3.4.)
Понятие было введено для идеального диэлектрика. Если затухание мало, то можно выбрать точки, где поля отличаются по фазе на 2 и считать, что это . Если затухание очень велико, периодичность процесса теряет смысл (соленая вода), понятием можно пользоваться условно.
Количественная оценка.
Рассмотрим поведение амплитуды в точках:
в т. Z1 H(Z1) = A e - 1
в т. Z2 H(Z2) = A e - 2
Изменение
a = 20 lg () = 20 lg () =
= 20 lg e 2- 1 = 20 (Z2 - Z1) lg ℓ
Z2 - Z1 = ℓ
a = 8,69 l [дБ] (7.3.5.)
во столько раз, пересчитанных в дБ уменьшилась амплитуда поля .
Под глубиной проникновения поля понимают расстояние, на котором амплитуда поля убывает в е раз
(вектор Е и Н).
Изменение поля Н = A e - . На расстоянии равном глубине проникновения в точке Z = 0, Н1 = А
в т. Z = 0 H2 = A e -
= е = е - ; 0 = 1
0 = (7.3.6.)
Фазовые соотношения
Воспользуемся понятием “характеристическое сопротивление cреды”
____ ________________
Zc = = a` - ja``/ a`- ja``=Zc e (7.3.7.)
в реальных средах Zc величина комплексная. Поведение
Е и Н в реальной среде:
H(z,t) = y0 A e - e
E(z,t) = x0 A Zc e - e =
= x0 A Zce - e (7.3.8.)
Модуль характеристического сопротивления означает отношение амплитуд между электрическим и магнитным полями, а фаза характеристического сопротивления показывает величину сдвига фаз между
Е и Н. В реальных средах всегда Е и Н сдвинуты на некоторую величину.
Волновой процесс в реальных средах
179070181610
z
y
x
Н
-е-z
00
z
y
x
Н
-е-z
135128018161000
Расчет коэффициента затухания и
фазовой постоянной в реальной среде
Проведем расчет для частного случая, широко используемого на практике.
Реальная cреда не магнитный диэлектрик.
a = a`- ja`` ; a = a`- j0 = (7.3.9.)
(почва, вода)
Порядок расчета:
1) Из общих выражений для k:
____________
k = - j = (a`- ja``) a` (7.3.10.)
Выделим вещественную и мнимую часть. Для этого левую и правую часть возведем в квадрат, т.к. надо избавиться от радикалов:
2 - 2 j - 2 = 2a`a ` - j2a``a`
Два комплексных числа тогда равны, когда равны и вещественные и мнимые части.
2 - 2 = 2 a`a`
2 = 2 a``a`
2 a`a` = q - обозначим
2 a``a` = 2 a`a = q tg
= tg (7.3.11)
2 - 2 = q ; =
2 = q tg
2 - () tg2 - q = 0
4 - q2 - () tg2 = 0
2 =
Какой знак взять + или - ?
Исходя из физического смысла оставляем только +, т.к. - будет отрицательная.
2 = (1 + 1 + tg2)
243078017589500 = ( 1 + tg2 + 1) (7.3.12)
для решение аналогичное:
133159514732000
= (7.3.13)
Выводы:
1. По определению Vф =
Vф =
tg =
Vф зависит от частоты. Встретились с явлением дисперсии. Зависимость Vф от f называется дисперсией. Идеальная среда не обладает дисперсией.
= 0 - идеальная среда
0 - реальная
Рассмотрим поведение ЭМВ в двух случаях:
1) Среда с малыми потерями, малым затуханием:
tg tg , тем > . (7.3.15)
2) Среда с большими потерями.
tg >> 1
= tg
=
= =
126111022669500
tg =
= = (7.3.16.)
0 =
Пример:
Определить во сколько раз уменьшается амплитуда волны на расстоянии равном длине волны (в среде с большими потерями).
e = e = e = e = 540 раз
7.4. Групповая скорость плоских волн
Все реальные сообщения занимают определенный спектр частот и возникает вопрос, какой реальный сигнал передается ?
162179024130000
1 2 3
В реальных средах, каждая гармоническая составляющая передается со своей скоростью 1 2 3. С какой скоростью передается сигнал ?
Рассмотрим простой случай, когда сообщение состоит из двух гармонических сигналов:
1 = A cos (1t - k1 Z)
2 = A cos (2t - k2 Z) (7.4.1.)
Рассмотрим сложение двух сигналов:
= 1 + 2 = A [cos (1t - k1 Z) + cos (2t - k2Z)]
= 2A cos ((1 -) t - (k1 -) Z) *
*cos ((1 +) t - (k1 +) Z)
= = 0
= k = k0
< c
Vф связана с изменением состояния, а не с переносом энергии.
Vф - скорость изменения состояния фазового фронта.
-7937536576000Пример: Лампочки последовательно загораются, изменение скорости состояния загорания может сколько угодно большой.
7.5. Поляризация плоских электромагнитных волн
Под поляризацией будем понимать заданную в
пространстве ориентацию вектора Е или Н. Различают 3 вида поляризации: линейную (вектор Е и Н ориентирован всегда вдоль одной линии прямой),
круговую поляризация (вектор Е или Н вращается по кругу), эллиптическую поляризация (вектор Е или Н вращается по эллипсу).
Возьмем два ортогональных колебания:
Ех = А cos (t - kz)
Ey = B cos (t - kz + ) (7.5.1.)
- показывает сдвиг во времени, они не совпадают по фазе.
Что получится в результате сложения двух ортогональных колебаний ?
1) А В амплитуды разные, а сдвиг фаз равен 0.
-79375170815А Х
00А Х
y ( = 0)
_____ ___________
в E = E2x + E2y = A2 + B2 cos (t-kz)
= arctg = arctg () (7.5.2.)
Сложение двух ортогональных линейно- поляризованных колебаний, изменяющихся в одной фазе, но с разной амплитудой дает линейно- поляризованное колебание ориентированное под некоторым углом.
2) А = В ; = (/2)
Два ортогональных колебания по определению:
= arctg () = arctg=
= arctg tg (t - kz) = (t - kz)
Сложение двух ортогональных линейно- поляризованных колебаний изменяющихся с одинаковой амплитудой и фазой со сдвигом /2 дает вращающее колебание (колебание с круговой поляризацией).
20726403810Q
00Q
___________ _____________________________
E =E2x+E2y=A2cos2 (t - kz) + A2sin2 (t - kz) = A
E = A
Направление вращения определяется опережением или отставанием по фазе.
3) В общем случае, когда А В, и фазы разные, вектор
Е или Н вращается по эллипсу.
Любую волну с линейной поляризацией можно представить в виде двух волн с круговой поляризацией, имеющих разное направление.
367665-127000
1 2 3 4 5
Явление поляризации широко используется на практике. Все приемные устройства (служебная связь - вертикальная поляризация, в России прием ТВ на горизонтальную поляризацию, вертикальная поляризация - режим передачи, горизонтальная - режим приема. Круговая поляризация широко используется в радиолокации.