Текст работы

“Согласовано”	“Утверждено”
Преподаватель Джежеря Ю.И. ___________	Методист ____________________

План-конспект занятия
По теоретической физике
Студента V курса физико-математического факультета, гр. ОФ-61
Филатова Александра Сергеевича
Дата проведения занятия: 13.12.2000
Тема: «Скобки Пуассона. Канонические преобразования»
Цели: Развить навык обращения со скобками Пуассона. Развить навык использования канонических преобразований. Научить осуществлять преобразования Лежандра для перехода к производящей функции от необходимых переменных. Воспитывать трудолюбие, прилежность.
Тип занятия: практическое.
Ход занятия
Краткие теоретические сведения
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1)
Скобки Пуассона: MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 2)
Канонические преобразования переменных – это такие преобразования, при которых сохраняется канонический вид уравнений Гамильтона. Преобразования производят с помощью производящей функции, которая является функцией координат, импульсов и времени. Полный дифференциал производящей функции определяется следующим образом:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 3)
Выбирая производящую функцию от тех или иных переменных, получаем соответствующий вид канонических преобразований.
MACROBUTTON MTEditEquationSection Equation Section 1.1 SEQ MTEqn \r \h \* MERGEFORMAT SEQ MTSec \r 1.1 \h \* MERGEFORMAT Примеры решения задач
№9.6 [ REF _Ref500658853 \r \h 3] Показать, что уравнения Гамильтона можно записать в виде:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1) MACROBUTTON MTEditEquationSection Equation Section (Next) SEQ MTEqn \r \h \* MERGEFORMAT SEQ MTSec \h \* MERGEFORMAT
№9.7 [ REF _Ref500658853 \r \h 3] Показать, что для функции канонических переменных имеют место соотношения:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1) MACROBUTTON MTEditEquationSection Equation Section (Next) SEQ MTEqn \r \h \* MERGEFORMAT SEQ MTSec \h \* MERGEFORMAT
№9.10 [ REF _Ref500658853 \r \h 3] С помощью скобок Пуассона показать, что импульс системы является интегралом движения, если ее гамильтониан инвариантен относительно произвольного параллельного переноса системы в пространстве.
Решение:
По определению обобщенный импульс есть:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 3. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1)
Но в силу однородности времени функция Лагранжа явно от времени не зависит, следовательно, и выражение для импульса также не содержит в себе явной зависимости по времени:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 3. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 2)
Тогда следуя формуле GOTOBUTTON ZEqnNum216626 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum216626 \! \* MERGEFORMAT (1):
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 3. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 3)
При параллельном переносе тела в пространстве координаты каждой точки этого тела преобразуются по закону:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 3. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 4)
При этом изменение гамильтониана равно нулю. Но с другой стороны изменение гамильтониана равно:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 3. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 5)
Где суммирование идет по всем частицам системы. Но поскольку при параллельном переносе для каждой частицы , можем вынести его за знак суммы. Принимая во внимание, что , получим:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 3. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 6)
С другой стороны для каждой декартовой компоненты имеет место соотношение вида:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 3. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 7)
Здесь было использовано свойство аддитивности скобок Пуассона. Запишем совокупность этих соотношений в краткой форме:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 3. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 8)
Сопоставляя GOTOBUTTON ZEqnNum658110 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum658110 \! \* MERGEFORMAT (3.8) и GOTOBUTTON ZEqnNum522860 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum522860 \! \* MERGEFORMAT (3.6) находим:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 3. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 9)
Т.о. согласно GOTOBUTTON ZEqnNum382739 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum382739 \! \* MERGEFORMAT (3.3):
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 3. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 10)
Что означает, что импульс системы является интегралом движения. MACROBUTTON MTEditEquationSection Equation Section (Next) SEQ MTEqn \r \h \* MERGEFORMAT SEQ MTSec \h \* MERGEFORMAT
№9.9 а) [ REF _Ref500658853 \r \h 3] Доказать, что скобки Пуассона .
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 4. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1)
Принимая во внимание, что , и что импульсы и координаты являются независимыми переменными, получим:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 4. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 2)
По определению:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 4. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 3)
Проверяя равенство GOTOBUTTON ZEqnNum782700 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum782700 \! \* MERGEFORMAT (4.2) для всех значений i, т.е. для поочередно убеждаемся в тождественности последнего. MACROBUTTON MTEditEquationSection Equation Section (Next) SEQ MTEqn \r \h \* MERGEFORMAT SEQ MTSec \h \* MERGEFORMAT
№10.14 а-1) [ REF _Ref500583825 \r \h 4] Вычислить скобки Пуассона .
В силу равенств GOTOBUTTON ZEqnNum513985 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum513985 \! \* MERGEFORMAT (2.1):
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 5. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1)
Компоненты вектора момента инерции можно записать как свертку тензоров (сам вектор является тензором I ранга):
, MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 5. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 2)
где – полностью антисимметричный тензор, причем
, MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 5. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 3)
остальные компоненты тензора равны нулю.
Подставляя формулу GOTOBUTTON ZEqnNum660430 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum660430 \! \* MERGEFORMAT (5.2) в выражение GOTOBUTTON ZEqnNum880932 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum880932 \! \* MERGEFORMAT (5.1), получим:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 5. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 4)
Посчитаем по полученной формуле GOTOBUTTON ZEqnNum613095 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum613095 \! \* MERGEFORMAT (5.4), к примеру, :
MACROBUTTON MTEditEquationSection Equation Section (Next) SEQ MTEqn \r \h \* MERGEFORMAT SEQ MTSec \h \* MERGEFORMAT
№9.31 [ REF _Ref500658853 \r \h 3] Найти каноническое преобразование, соответствующее производящей функции: .
Решение:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 6. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1) MACROBUTTON MTEditEquationSection Equation Section (Next) SEQ MTEqn \r \h \* MERGEFORMAT SEQ MTSec \h \* MERGEFORMAT
Поскольку производящая функция явно от времени не зависит, .
Такое преобразование явно не меняет вид канонических уравнений, к тому же сводит просто к взаимному переименованию координат и импульсов. Следовательно, в гамильтоновом формализме понятие обобщенных координат и импульсов лишено их первоначального смысла. Мы всегда можем назвать координаты импульсами, а импульсы координатами (см. GOTOBUTTON ZEqnNum252541 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum252541 \! \* MERGEFORMAT (6.1)). Ввиду этой условности терминологии переменные p и q в формализме Гамильтона часто называют канонически сопряженными величинами.
№9.37 [ REF _Ref500658853 \r \h 3] Показать, что гамильтониан является инвариантом при бесконечно малом каноническом преобразовании с производящей функцией
,
где – интеграл движения.
Решение:
Запишем канонические преобразования:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 7. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1)
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 7. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 2)
Изменение гамильтониана в случае бесконечно малого канонического преобразования есть
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 7. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 3)
Из канонических уравнений GOTOBUTTON ZEqnNum163662 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum163662 \! \* MERGEFORMAT (7.1) следует, что
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 7. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 4)
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 7. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 5)
Выражая из уравнения GOTOBUTTON ZEqnNum894400 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum894400 \! \* MERGEFORMAT (7.1) и подставляя его в уравнение GOTOBUTTON ZEqnNum709161 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum709161 \! \* MERGEFORMAT (7.5), с точностью до членов первого порядка малости, получим:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 7. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 6)
Подставим GOTOBUTTON ZEqnNum713638 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum713638 \! \* MERGEFORMAT (7.4) и GOTOBUTTON ZEqnNum729934 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum729934 \! \* MERGEFORMAT (7.6) в выражение для изменения гамильтониана GOTOBUTTON ZEqnNum814281 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum814281 \! \* MERGEFORMAT (7.3). Получим:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 7. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 7)
По условию функция f является интегралом движения. А значит
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 7. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 8)
С другой стороны
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 7. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 9)
Подставляя в последнее выражение равенства GOTOBUTTON ZEqnNum270091 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum270091 \! \* MERGEFORMAT (7.8), получаем:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 7. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 10)
Сопоставляя GOTOBUTTON ZEqnNum763392 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum763392 \! \* MERGEFORMAT (7.7) и GOTOBUTTON ZEqnNum778878 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum778878 \! \* MERGEFORMAT (7.10), делаем вывод, что изменение гамильтониана
, MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 7. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 11)
что и требовалось доказать. Т.е. гамильтониан является инвариантом при бесконечно малом каноническом преобразовании с заданной производящей функцией.
MACROBUTTON MTEditEquationSection Equation Section (Next) SEQ MTEqn \r \h \* MERGEFORMAT SEQ MTSec \h \* MERGEFORMAT Домашнее задание:
№9.8 [ REF _Ref500658853 \r \h 3] Показать, что функция является интегралом движения свободной частицы в отсутствие внешних сил.
Решение:
Для свободной частицы:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 8. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1)
Согласно GOTOBUTTON ZEqnNum930988 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum930988 \! \* MERGEFORMAT (1):
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 8. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 2) MACROBUTTON MTEditEquationSection Equation Section (Next) SEQ MTEqn \r \h \* MERGEFORMAT SEQ MTSec \h \* MERGEFORMAT MACROBUTTON MTEditEquationSection Equation Section (Next) SEQ MTEqn \r \h \* MERGEFORMAT SEQ MTSec \h \* MERGEFORMAT
№9.9 б) [ REF _Ref500658853 \r \h 3] Доказать, что скобки Пуассона .
№10.14 а) [ REF _Ref500583825 \r \h 4] Вычислить скобки Пуассона: , .
№9.32 [ REF _Ref500658853 \r \h \* MERGEFORMAT 3] Показать, что производящая функция определяет тождественное каноническое преобразование.
Литература:
Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц «Механика, электродинамика», - М.: «Наука», 1969 г., - 272 с.
Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц «Механика», - М.: «Наука», 1965 г., - 204 с.
И.И. Ольховский, Ю.Г. Павленко, Л.С. Кузьменков «Задачи по теоретической механике для физиков», - М.: 1977 г., - 389 с.
Г.Л. Коткин, В.Г. Сербо «Сборник задач по теоретической механике», - М.: «Наука», 1977 г., - 320 с.
И.В. Мещерский «Сборник задач по теоретической механике», - М.: «Наука», 1986 г., - 448 с.
Л.П. Гречко, В.И. Сугаков, О.Ф. Томасевич, А.М. Федоренко «Сборник задач по теоретической физике», - М.: «Высшая школа» 1984 г., - 319 с.
Студент-практикант: Филатов А.С.