Главная
Добавить работу на сайт
Регистрация
  
Главная страница >> Курсовая работа >> Математика и статистика >> Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями

Курсовая работа: Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями

Одной из важнейших задач аналитической теории дифференциальных уравнений является задача выделения классов уравнений с систем, решения которых не имеют подвижных критических особых точек. Уравнения и системы, для которых выполняется это свойство, называются уравнениями и системами типа Пенлеве.


Дата добавления на сайт: 23 февраля 2025
Заказать курсовую работу
Заказать реферат и др.
Скачать данную работу
Резюме
дифференциальный уравнение точка пенлеве
"Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями"
Работа содержит: 23 страницы, 2 использованных источника литературы.
Ключевые слова: подвижные критические особые точки.
Цель курсовой работы - исследовать систему двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями на отсутствие подвижных критических особых точек.
Объектом исследования выступает система двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями.
Предметом исследования настоящей работы являются преобразования системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями.
В работе были использованы: метод малого параметра, линейные преобразования и т.д.

Sumarry

"Analytical properties of the system of two differential equations with rational right-hand sides"
The work includes: 23 pages, 2 references.: moving critical singularities.purpose of the job is to investigate the system of two differential equations with rational right-hand sides in the absence of moving parts critical singular points.object of research is a system of two differential equations with rational right-hand sides.subject of research is the conversion of this system of two differential equations with rational right-hand sides.job were used: the method of small parameter, linear transformations, etc.

Содержание

Введение
1. Некоторые необходимые условия однозначности решений
2. Случай Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 1)
2.1 Случай Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 2)
2.1.1 Случай Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 3)
.1.2 Случай Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 4)
2.2 Случай Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 5)
2.2.1 Случай Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 6)
2.2.1.1 Случай Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 7)
.2.1.2 Случай Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 8)
2.2.2 Случай Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 9)
Заключение
Список литературы

Введение

Одной из важнейших задач аналитической теории дифференциальных уравнений является задача выделения классов уравнений с систем, решения которых не имеют подвижных критических особых точек. Уравнения и системы, для которых выполняется это свойство, называются уравнениями и системами типа Пенлеве.
Объектом исследования в работе являются система двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями.
Целью исследования является нахождение необходимых и достаточных условий отсутствия подвижны многозначных особых точек у решений заданной дифференциальной системы.
Для достижения поставленной цели требуется решить следующие задачи: последовательно находя необходимые условия, отсеять системы с подвижными критическими особенностями; непосредственным интегрированием или путем сравнения с классическими системами типа Пенлеве установить достаточность найденных условий.

1. Некоторые необходимые условия однозначности решений

Рассмотрим автономную систему дифференциальных уравнений

Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 10) (1)

Найдем условия, при которых (1) не имеет подвижных критических точек.
Введем в систему (1) параметр Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 11) по формулам:

Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 12)

Получим систему

Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 13)Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 14)

Отсюда

Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 15)

При Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 16) имеем для (1) упрощенную систему

Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 17) (2)

Из системы (2) получаем:

Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 18) (3)

где Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 19) - произвольная постоянная.
Для отсутствия у решений системы (3) подвижных критических точек необходимо, чтобы Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 20) или Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 21)


2. Случай Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 22)

Имеем систему

Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 23) (4)

2.1 Случай Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 24)

Пусть Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 25). (5)
С помощью линейного преобразования

Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 26)

систему (4) приводим к системе вида

Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 27)

Где

Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 28)
Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 29)Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 30)

Поэтому можем в (4), при Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 31), считать Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 32) и рассматривать систему вида

Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 33) (6)

Найдем необходимые и достаточные условия, при которых система (6) не имеет подвижных критических точек. Введем в систему (6) параметр Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 34) по формулам:

Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 35).

Получим систему

Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 36)

При Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 37), имеем

Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 38) (7)

Получили систему, упрощенную для системы (6).

2.1.1 Случай Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 39)
Пусть Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 40). (8)
Тогда из (7) имеем

Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 41)

Откуда

Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 42)

где Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 43) - произвольные постоянные.
Для однозначности компоненты Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 44) необходимо требовать
Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 45) (9)
Учитывая условия (8), (9), получаем систему

Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 46) (10)

Из системы (10) исключим Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 47), получим дифференциальное уравнение вида

Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 48) (11)

Для того, чтобы в решении уравнений (11) отсутствовали подвижные критические особые точки необходимо, чтобы [1], [2]
Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 49), (12)
Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 50), т.к. Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 51).
Учитывая условие (12) уравнение (11) перепишется в виде

Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 52)(13)

Уравнение (13), для отсутствия подвижный критических особых точек, должно быть полиномом по Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 53) [1], [2].
Если Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 54), то надо требовать

Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 55)

Откуда

Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 56).

Тогда (10) запишется в виде

Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 57) (14)

Из второго уравнения следует, что (14) не имеет подвижных критических особых точек, если только

Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 58) (15)

Пусть Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 59) (16)
то уравнение (13) перепишется в виде

Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 60) (17)

Где

Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 61).

Для отсутствия подвижных критических особых точек, в решении уравнения (17) требуем, чтобы Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 62). Откуда необходимо

Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 63),

что имеет место, если

Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 64) (18)

Уравнение (17) примет вид

Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 65) (19)

Если Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 66), то необходимо и достаточно, чтобы Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 67).
Пусть Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 68), тогда уравнение (19) перепишется в виде

Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 69) (20)

Где

Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 70) (21)

Если Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 71), (22)
то имеем уравнение

Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 72) (23)

Уравнение (20) не имеет подвижных критических особых точек, если Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 73).
Уравнение (23) также не имеет подвижных критических особых точек.

.1.2 Случай Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 74)
Пусть Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 75). Исключая из системы (7) Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 76) получаем уравнение

Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 77) (24)

Выполнив замену Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 78), получим

Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 79).

Так как Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 80), то это уравнение не будет иметь подвижных критических особых точек, когда

Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 81) (25)

ПустьАналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 82), Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 83). Тогда с помощью линейного преобразования Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 84) система (6) приводится к системе, у которой Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 85). Поэтому будем рассматривать систему вида

Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 86) (26)

В систему (26) введем параметр Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 87) по формулам

Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 88)

тогда она примет вид

Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 89)

при Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 90), имеем упрощенную систему

Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 91) (27)

Если Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 92), то из (27) имеем

Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 93)

Или

Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 94).

Решение системы

Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 95),

где Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 96) - произвольные постоянные.
Для однозначности решения необходимо требовать, чтобы Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 97). Если Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 98), то из (27) имеем

Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 99)

и подставляем Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 100)и Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 101)во второе уравнение системы (27).
Получим

Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 102)

Для отсутствия у этого уравнения критических особенностей необходимо, чтобы правая часть уравнения была полиномом относительно Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 103) [1],[2], что имеет место при Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 104). Тогда система (26) примет вид

Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 105) (28)

Если Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 106) (29)
то исключая из системы Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 107), получаем уравнение второго порядка для Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 108)

Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 109) (30)

Уравнение (30) не имеет подвижные критические особенности.
При Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 110) (31)
система (28) перепишется в виде

Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 111) (32)

Исключаем Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 112) и получим для Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 113) уравнение второго порядка

Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 114) (33)

Для отсутствия подвижных критических особых точек у этого уравнения требуем, чтобы Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 115).
Если Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 116) (34)
то уравнение (33) имеет вид

Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 117)
Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 118)

Это уравнение не имеет подвижных критических особых точек только если

Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 119),

где Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 120) или Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 121) (35)
Если Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 122), (36)
то уравнение (33) имеет вид

Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 123) (37)

Выполнив в (37) замену Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 124) получим уравнение

Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 125),

имеющее Пенлеве.

2.2 Случай Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 126)

Система (4) примет вид

Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 127) (38)

С помощью линейного преобразования Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 128) система (38) приводится к системе, у которой Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 129). Поэтому будем рассматривать систему вида

Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 130) (39)

Исключая Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 131) и Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 132) из системы (39), получим уравнение

Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 133) (40)

Уравнение (40) не будет иметь подвижных критических особых точек, когда его правая часть будет полиномом по Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 134) не выше второй степени [1],[2], поэтому надо требовать

Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 135).

Учитывая это условие, система (39) перепишется в виде

Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 136) (41)

Линейным преобразованием Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 137) приводим систему (41) к виду

Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 138) (42)

Найдем необходимые и достаточные условия, при которых система (42) не имеет подвижных критических точек. Введем в систему (42) параметр Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 139) по формулам:

Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 140).

Получим систему

Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 141)

При Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 142), имеем

Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 143) (43)

Получили систему, упрощенную для системы (42).

2.2.1 Случай Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 144)
Пусть Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 145). Тогда из (43) имеем

Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 146)

Откуда

Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 147)

где Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 148) - произвольные постоянные.
Для однозначности компоненты Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 149) необходимо требовать Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 150).
Рассмотрим случай Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 151). (44)
Получаем систему:

Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 152) (45)

Исключая Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 153) и Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 154) из системы (45) для Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 155) получим уравнение

Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 156) (46)

Для однозначности решения уравнения (46) требуем

Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 157) (47)

В силу (47) уравнение (46) перепишется в виде

Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 158) (48)

Рассмотрим случаи

Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 159) (49,а)
Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 160) (49,б)

2.2.1.1 Случай Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 161)
При условии (49,а) уравнение (48) перепишется в виде

Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 162)

Для отсутствия подвижных критических особых точек у решений этого уравнения надо требовать, чтобы

Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 163).

Это условие выполняется, если Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 164) или Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 165). Таким образом имеем

Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 166) (50,а)

Или

Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 167) (50,б)

Покажем, что при условиях (50) система (45) не имеет подвижных критических особых точек.
Пусть Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 168). Тогда система (45) примет вид

Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 169) (51)

Из системы (51) получаем, что компонента Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 170) удовлетворяет уравнению

Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 171)

Откуда

Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 172),

где Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 173) - произвольные постоянные. Таким образом, система (51) не имеет подвижных критических особых точек.
Пусть Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 174). Тогда система (45) примет вид

Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 175) (52)

Компоненты удовлетворяет уравнению

Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 176).

Получаем

Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 177),

где Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 178) - произвольные постоянные. В данном случае система (52) также не будет иметь подвижных критических особых точек.

2.2.1.2 Случай Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 179)
Если Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 180), то уравнение (48) имеет подвижные критические особые точки.
Если Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 181), то уравнение (48) перепишется в виде

Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 182) (53)

Где

Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 183)
Так как Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 184), то Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 185).

Таким образом, уравнение (53) перепишется в виде

Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 186) (54)

Полагая в (54) Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 187), получим уравнение

Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 188) (55)

Уравнение (55), а значит и система (45) не имеет подвижных критических особых точек, только при условии

Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 189), Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 190) (56)

2.2.2 Случай Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 191)
Из системы (43) исключаем Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 192) и получаем уравнение для Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 193)

Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 194)

Уравнение имеет подвижные критические особые точки, так как Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 195)

Заключение

В итоге мы можем сформулировать теорему.
Теорема. Для того чтобы система (4) имела однозначные решения необходимо и достаточно, чтобы она принимала один из видов: (14) при условии (15); (10) при условиях Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 196), (12), (18) и одном их условий: 1) Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 197), 2) Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 198), (21), 3) Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 199), Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 200); (26) при условии Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 201); (32) при одном из условий: 1) (34), (35), 2) (36); (45) при одном из условий: 1) (49,а), (50,а), 2) (49,а), (50,б), 3) (47), (49,б), Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями (рис. 202), (56).

Список литературы

1. Айнс Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Э.Л. Айнс. - Харьков: ГНТИУ, 1939. - 719 с.
. Мартынов И.П. Системы типа Пенлеве / И.П. Мартынов, Н.С. Березкина // Учебное пособие по спецкурсу - Гродно: ГрГУ, 1986. - 119 с.



Комментарии:

Вы не можете оставлять комментарии. Пожалуйста, зарегистрируйтесь.
▲ ▼