Курсовая работа: Анализ и построение зависимостей

Цель: показать знание теории точечных статистических оценок, продемонстрировать умение грамотно проводить обработку статистических данных и статистических рядов и на основании результатов вычислений делать заключение об изучаемом процессе.

Дата добавления на сайт: 14 февраля 2025

Курсовая работа
Анализ и построение зависимостей

Введение

Цель: показать знание теории точечных статистических оценок, продемонстрировать умение грамотно проводить обработку статистических данных и статистических рядов и на основании результатов вычислений делать заключение об изучаемом процессе.
Задачи: уметь производить обработку экспериментальных данных; уметь выбрать схему изучения статистических данных, подобрать необходимые методы и формулы для расчётов; уметь сравнивать результаты расчётов, полученных разными методами; закрепить навыки вычислений и анализа.
Необходимые расчеты рекомендуется выполнять с использованием различных пакетов математических и статистических программ. Все графики выполняются только с использованием пакетов математических и статистических программ.

1. Согласование выборочных распределений

.1 Пояснительная записка

Пусть у нас есть так много наблюдений, что их гистограмма \"почти совпадает\" с точным априорным распределением. Допустим также, что эта гистограмма построена так, что не проставлены числа вдоль осей. Без чисел на вертикальной оси мы не можем сказать, сколь велика выборка. Но поскольку нам интересно распределение, а не выборка и выборка велика, можем забыть об этих числах. Далее, без чисел на горизонтальной оси мы не можем сказать даже приблизительно, каковы значения выпавших наблюдений, как распределение растянуто или сжато, каковы его положение и масштаб. выборочный статистический генеральный совокупность
Потеряв положение и масштаб, мы теряем лишь два числа и соответственно многое остаётся. Вот всё то, что остаётся, и обозначается обычно словом форма. Даже распределения, принадлежащие к одному и тому же математическому семейству, могут иметь весьма разные формы. Реальная практика согласования выборочных распределений показывает, что их принадлежность к какому-либо известному теоретическому распределению часто нелегко установить, анализируя отдельную выборку или даже весь объём имеющихся данных, составляющий, быть может, тысячи наблюдений.
В части I настоящей работы предлагается согласовать распределение выборочных изделий со свойствами избранного семейства \"нормальных\" распределений, плотность вероятности которых задаётся формулой

для -∞ < X < ∞, где μ и σ - соответственно генеральные среднее и стандартное отклонение, е - основание натуральных логарифмов 2,7182818… , а π - наш старый знакомый 3,1415926…
Термин \"нормальное\" многие истолковывают как обыкновенно появляющееся, что не совсем правильно, ведь известно, на практике никогда не бывает распределений, в точности удовлетворяющих этой формуле,- ни для отдельных наблюдений, ни для средних значений, ни для других производных величин, хотя есть как умозрительные, так и фактические основания считать, что многие эмипирические распределения должны хорошо ею аппроксимироваться.

.2 Общее описание задания

При выполнении части I курсовой работы (КР) необходимо провести обработку статистических данных по схеме:
. Отбор экспериментальных данных с помощью таблицы случайных чисел.
. Составление таблиц распределения частот по данным выборки.
. Графическое представление распределения частот полученных наблюдений.
. Вычисление числовых характеристик распределения выборочных частот.
. Проверка степени соответствия полученного распределения выборочных частот нормальному распределению.
. Проверка, что выборка осуществлялась по случайному закону.
. Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности.
. Проверка предположения, что распределение генеральной совокупности является нормальным.
2. Отбор экспериментальных данных с помощью таблицы случайных чисел

Результаты наблюдений, в общем случае, представляют собой ряд чисел, расположенных в беспорядке.
С самого начала должно быть ясно, что ко всем собранным статистическим данным будут применяться одни и те же методы анализа независимо от природы данных.
То есть независимо от того, измеряются ли данные в миллиметрах, фунтах на квадратный дюйм, килограммах, градусах, миллиметрах ртутного столба и т.д.
Генеральная совокупность (см. таблицу А) содержит несистематизированные данные, полученные в результате замера наружнего диаметра всех 1000 деталей, изготовленных предприятием за дневную смену.
На основании предшествующих опытных данных относительно характера контроля производственного процесса известно, что партия имеет приближённо нормальное распределение со средним значением, равным 60, и стандартным отклонением, равным примерно 10.
Для контроля за правильностью производственного процесса из этой генеральной совокупности выбирается по случайному закону 150 изделий.
Для такого отбора используется таблица случайных чисел (см. таблицу Б) и отбор производят в следующем порядке:
1. Начав с верхнего левого трёхзначного номера (543) и последовательно опускаясь вниз, выписывают из таблицы Б случайных чисел все первые 150, включая и повторяющиеся.
Если при этом встречается число 000, то его следует заменить на 1000. Отметим, что мы вольны применить любой другой способ систематического выбора этих случайных чисел, помня о правиле запрета повторения пройденного пути.
2. Выбранные случайные числа являются порядковыми номерами деталей из генеральной совокупности (таблица А) и мы выписываем соответствующие значения Хi признака Х в таблицу 1.

Таблица А
Нормальная генеральная совокупность: N=1000, μ=60, σ=10

67	56	65	50	52	48	57	56	56	74	67	48	56	69	78	67	68	50	73	45
30	53	47	78	73	50	40	56	58	40	51	62	58	55	70	58	73	70	51	77
58	46	47	55	70	57	54	59	67	62	64	67	49	57	52	79	51	48	46	61
54	63	58	67	72	57	62	31	67	64	75	73	79	70	69	69	46	49	73	61
33	58	63	70	63	54	69	71	64	53	71	61	52	64	64	54	50	71	71	70
37	66	64	55	70	69	50	39	58	59	48	65	62	64	78	53	72	74	66	68
59	53	61	67	72	46	55	51	64	52	46	57	63	64	61	60	61	54	68	68
46	56	57	65	43	43	85	61	62	57	55	75	45	57	65	49	69	65	43	61
35	63	46	53	52	54	66	56	72	59	66	65	48	64	59	61	78	48	56	61
65	57	48	67	51	80	70	47	58	39	64	49	56	35	59	67	58	64	58	81
74	62	77	50	66	57	57	56	54	60	70	56	63	64	57	48	75	50	73	58
53	34	71	52	63	54	52	56	57	49	64	76	55	64	42	63	60	48	74	45
52	45	48	62	60	78	83	56	58	59	41	62	63	58	62	75	62	71	56	79
62	63	48	50	81	57	52	68	74	63	39	68	76	56	56	62	37	61	75	79
58	82	48	51	58	57	59	65	56	46	51	62	39	58	47	67	66	71	73	26
58	44	61	47	66	49	67	68	58	79	60	62	46	55	64	67	43	54	49	79
77	44	60	53	68	54	66	45	58	55	74	66	67	52	55	58	69	59	64	70
60	36	62	50	40	67	36	64	66	74	60	66	53	62	72	69	63	67	63	45
39	72	40	57	61	58	54	64	64	65	56	54	79	60	62	74	81	46	56	79
79	85	57	49	68	52	52	62	58	59	60	74	66	69	66	36	73	72	74	79
42	56	50	49	63	54	65	56	57	46	51	59	56	37	68	57	77	52	62	26
73	49	50	49	52	74	51	45	72	55	58	45	59	55	75	47	77	31	74	79
60	66	73	66	52	64	55	57	65	59	80	61	62	79	89	48	57	71	74	52
59	45	51	43	65	45	66	72	49	36	58	61	57	74	72	68	57	72	47	63
77	51	58	41	75	49	66	57	69	59	60	62	63	52	67	69	52	68	46	80
64	68	74	59	66	57	73	61	74	51	69	58	56	53	61	74	54	61	56	48
65	67	44	71	76	63	40	48	58	73	72	43	56	62	66	68	44	51	48	73
58	58	42	63	50	88	56	50	76	73	49	62	60	69	58	68	69	72	75	45
67	44	55	47	54	63	55	49	80	75	68	62	63	64	43	61	70	46	47	78
59	46	65	50	66	68	72	64	59	62	71	57	67	52	66	68	43	72	59	68
52	68	70	57	66	70	69	57	65	60	56	44	82	54	47	48	74	42	75	37
48	56	65	43	57	61	80	68	75	45	65	59	57	64	50	66	70	68	36	64
62	53	48	87	49	58	56	60	75	67	52	58	79	38	57	65	74	67	78	70
50	69	49	46	43	53	49	58	72	67	53	62	63	42	59	46	52	72	51	68
80	64	54	46	41	55	52	42	62	60	58	62	67	58	69	72	65	59	73	71
59	46	58	65	58	54	57	66	77	53	61	50	42	57	55	68	70	62	52	56
43	82	49	53	65	54	62	62	59	46	48	65	63	44	68	71	56	58	48	82
42	63	52	66	79	67	39	62	49	68	71	58	46	65	80	31	67	72	71	54
70	48	47	51	54	92	66	57	64	67	52	62	89	44	70	45	64	70	59	83
48	48	60	50	82	54	57	65	52	60	68	73	49	71	48	56	64	45	85	52
74	46	52	57	56	56	59	69	81	54	64	63	65	51	55	45	70	72	54	84
47	52	61	50	79	66	64	51	66	64	61	67	69	49	75	60	82	58	76	56
70	48	81	40	73	58	60	68	61	65	61	48	69	57	71	48	40	51	56	64
45	81	81	67	58	52	49	35	60	55	63	58	64	59	67	59	57	63	65	55
70	70	52	51	68	72	69	53	59	60	55	57	64	59	70	67	64	53	50	86
66	59	60	69	53	51	76	66	51	68	49	65	72	69	64	61	73	62	49	67
41	59	47	58	53	52	63	44	63	51	61	51	60	58	51	68	70	58	76	50
43	68	43	68	63	63	60	57	59	79	51	62	64	56	72	63	70	57	76	89
65	56	73	46	53	69	56	46	74	62	67	70	63	53	60	52	64	59	55	57
66	57	50	53	53	55	53	71	43	60	54	67	48	71	62	50	60	76	64	58

Таблица Б
Случайные пятизначные числа

66543	35797	80287	64760	83991	55408	81670
89005	99730	39911	75470	53389	35801	97252
32847	20542	55657	91402	21246	37246	46685
37901	58727	97473	43808	20103	35624	30091
39972	25417	56891	76038	04102	91039	75045
74087	56307	02349	29841	88863	46655	35213
76222	98420	27195	33611	72828	42673	77588
26575	40836	14780	34952	46634	30460	07527
18912	25832	12659	29080	14222	97572	19923
28290	42878	96063	73708	57375	80685	06499
29880	80021	66134	56942	04110	99124	35899
06115	83765	64563	25555	45578	25701	48755
20655	92351	42607	89656	14777	95173	51170
09922	35648	93161	46565	22923	05438	37408
56873	54328	59920	70663	38261	70533	98590
66969	81995	69774	19661	10158	55408	04167
87589	76797	41688	47363	59688	72459	23149
94970	86645	84855	41151	89920	08597	00597
11398	98947	02008	31720	08472	13313	92621
02987	45766	15475	35931	95850	75639	10121
50490	71500	48413	48373	01548	62688	40539
59744	11817	49518	28865	40801	17447	55277
81249	84637	45585	46751	86337	68725	71179
76463	40801	70002	87074	38261	52926	55560
59516	65989	94884	57102	10158	79688	18197
14778	05998	88267	64584	13944	80584	97029
81536	55536	96189	66520	24579	26295	40539
61362	18019	14361	42416	04643	17877	55277
63904	28168	89286	76655	93335	86688	11573
22209	44137	69352	65855	16496	68725	06045
99547	61607	17247	80150	22039	52926	76179
36086	04880	48223	54262	01807	79688	73865
08625	32427	13300	37888	28575	80584	98630
82271	69975	92259	09250	34374	26295	92566

Таблица 1
случайных чисел и результирующая случайная выборка 150 изделий из генеральной совокупности объёма N=1000

СЧ	Хi	СЧ	Хi	СЧ	Хi	СЧ	Хi	СЧ	Хi	СЧ	Хi
543	61	778	68	797	68	780	68	300	55	074	45
005	33	536	61	645	64	659	64	259	54	102	47
847	70	362	56	947	76	063	45	760	67	584	62
901	73	904	73	766	67	134	49	470	59	520	60
972	79	209	52	500	60	563	62	402	58	416	58
087	46	547	61	817	69	607	63	808	69	655	64
222	52	086	46	637	63	161	50	038	42	855	71
575	62	625	63	801	68	920	74	841	70	150	50
912	74	271	54	989	83	774	68	611	63	262	54
290	54	797	68	998	89	688	65	952	77	888	72
880	72	730	66	536	61	855	71	080	46	250	53
115	48	542	61	019	39	008	35	708	65	991	84
655	64	727	66	168	50	475	59	942	76	389	57
922	74	417	58	137	49	413	58	555	61	246	53
873	71	307	55	607	63	518	60	656	64	103	47
969	79	420	58	880	72	585	62	565	62	102	47
589	62	836	70	427	58	002	30	663	64	863	71
970	79	832	70	975	80	884	72	661	64	828	69
398	57	878	72	287	54	267	54	363	56	634	63
987	82	021	42	911	73	189	51	151	50	222	52
490	60	765	67	657	64	361	56	720	66	375	57
744	67	351	56	473	59	286	54	931	75	110	48
249	53	648	64	891	72	352	56	373	57	578	62
463	59	328	56	349	56	247	53	865	71	777	68
516	60	995	86	195	51	223	52	751	67	923	74
СЧ - случайное число

Экстремальные значения случайной выборки: хmin = 30 и хmах = 89.

3. Составление таблиц распределения частот по данным выборки

В том виде, в каком данные представлены в таблице 1, они мало приспособлены для осуществления контроля производственного процесса. Гораздо больших результатов можно достичь при распределении частот наблюдаемого признака в порядке увеличения их численных значений (ранжирования данных).

Таблица 2
Распределение частот вариационного ряда по данным из таблицы 1

30	|	50	||||	70	||||
31		51	||	71	|||||
32		52	||||	72	||||| |
33	|	53	||||	73	|||
34		54	||||| ||	74	||||
35	|	55	||	75	|
36		56	||||| ||	76	||
37		57	||||	77	|
38		58	||||| |	78
39	|	59	||||	79	|||
40		60	|||||	80	|
41		61	||||| |	81
42	||	62	||||| |	82	|
43		63	||||| |	83	|
44	|	64	||||| ||||	84	|
45	||	65	||	85
46	|||	66	|||	86	|
47	|||	67	|||||	87
48	||	68	||||| ||	88
49	||	69	|||	89	|

Оцифровывая значения частот из таблицы 2 и заменяя пробелы нулями, получаем статистический ряд (см. таблицу 3).

Таблица 3
Статистический ряд по данным из таблицы 2

Хi	mi	Хi	mi	Хi	mi
30	1	50	4	70	4
31	0	51	2	71	5
32	0	52	4	72	6
33	1	53	4	73	3
34	0	54	7	74	4
35	1	55	2	75	1
36	0	56	7	76	2
37	0	57	4	77	1
38	0	58	6	78	0
39	1	59	4	79	3
40	0	60	5	80	1
41	0	61	6	81	0
42	2	62	6	82	1
43	0	63	6	83	1
44	1	64	9	84	1
45	2	65	2	85	0
46	3	66	3	86	1
47	3	67	5	87	0
48	2	68	7	88	0
49	2	69	3	89	1

Полученная картина остаётся всё ещё недостаточно наглядной и компактной для эффективного визуального анализа. Компактность может быть достигнута соответствующей группировкой данных, то есть разбиением всех значений Хi признака Х из таблицы 3 на интервалов длиной ∆Х = (хmах - хmin)/S, где n - объём выборки.
Из таблицы десятичных логарифмов из Приложения 1, находим S = 8,229 ≈ 8.

∆Х = 7,4 ≈ 8,

Таким образом, разбиваем все значения НСВ Х из таблицы 3 на восемь интервалов (групп) длиной 8 каждый, причём правая граница предыдущего интервала служит левой границей следующего. Получаем частичные интервалы по схеме:

Х1 ÷ Х1 + ∆Х = Х2,
Х2 ÷ Х2 + ∆Х = Х3,
…
Х8 ÷ Х8 + ∆Х = Х9.

Таблица 4
Сгруппированное распределение частот по данным рассматриваемого примера

Группа	Середина группы Хс	Фактическая частота mi	Накопленная частота nX
26 ÷ 34	30	2	2
34 ÷ 42	38	4	6
42 ÷ 50	46	17	23
50 ÷ 58	54	37	60
58 ÷ 66	62	40	100
66 ÷ 74	70	37	137
74 ÷ 82	78	9	146
82 ÷ 90	86	4	150
		150

4. Графическое представление распределения частот полученных наблюдений

Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (Хс;mi), где Хс - середина интервала группировки, mi - соответствующая данному интервалу частота.


Рис. А. Полигон частот


Рис. Б. Гистограмма частот
Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников с основаниями длиной ΔХ и высотами mi.
Откладывая по оси ординат соответствующие интервалам группировки накопленные частоты nx, получают так называемую огиву. Нормальное распределение принимает на диаграмме огивы форму s-образной кривой.


Рис. В. Огива

5. Вычисление числовых характеристик распределения выборочных частот

После осуществления выборки дальнейшая работа с данными строится на принципе свёртки информации - получения числовых характеристик распределения.
Одной из основных характеристик распределения, как видно из нашего примера, является тенденция наблюденных значений признака группироваться вокруг центра этого распределения. Эта характеристика называется центральной тенденцией.
Центральная тенденция обычно выражается тремя величинами:
) средней величиной, именуемой средней арифметической выборки или выборочной средней;
) средней величиной, именуемой медианой;
) наиболее часто повторяющейся величиной, именуемой модой.
Эти величины также называют характеристиками положения, так как они показывают расположение полигона частот относительно оси абсцисс.
Когда ряд наблюденных значений хотят охарактеризовать одним значением, целесообразно бывает использовать выборочное среднее арифметическое .
Формула определения выборочной средней на основе данных о распределении частот (таблица 4).

,
- число интервалов разбиения (частичных интервалов),
Хс - середина частичного интервала,- частота частичного интервала.
При некоторых формах распределения (речь идёт об эмпирическом распределении в отличие от теоретического распределения генеральной совокупности) более хорошей характеристикой положения является медиана. К таким распределениям относятся распределения, обладающие значительной асимметрией или очень удлинёнными краями.
Медиана Mе представляет собой значение признака, которое делит пополам распределение всех наблюденных значений, то есть является той точкой, выше и ниже которой лежит равное число наблюдений.
Формула определения медианы на основе распределения частот, т.е. для интервальных статистических рядов:
е = ,
- начало медианного интервала,
ΔХ - длина частичного интервала,- накопленная частота предмедианного интервала,- частота медианного интервала.
Для интервального статистического ряда под модой Мо понимается значение признака в наиболее плотном интервале (так называемом модальном интервале).
Формула определения моды на основе распределения частот

Мо = ,
- начало модального интервала,- частота модального интервала,- частота предмодального интервала,+1 - частота постмодального интервала.
В нашем примере = = 60,72.
Для определения медианы интервального статистического ряда (таблица 4), по определению, необходимо выбрать интервал, в котором находится варианта, делящая ряд пополам. Это легко сделать, используя последний столбец (накопленные частоты).
Медианным интервалом нашего ряда является интервал (58 ÷ 66). Значит,
.
Значение моды
Мо = 58 + 8× = 62.
Рассмотренные выше числовые характеристики служат для описания распределения с точки зрения тенденции наблюденных значений признака группироваться вокруг некоторого их среднего значения.
Наряду с этим всякое распределение характеризуется также рассеянием - отклонением значений наблюденного признака от его среднего значения. Для оценки варьирования (колеблемости) наблюденных значений будем пользоваться только стандартным отклонением.

Таблица 5
Вспомогательная таблица для вычисления числовых характеристик распределения таблицы 4

Хс	mi	Хс mi	Хс -
30	2	60	-30,72	1887,4368	-57982,05850	1781208,83700
38	4	152	-22,72	2064,7936	-46912,11059	1065843,15265
46	17	782	-14,72	3683,5328	-54221,60282	798141,99345
54	37	1998	-6,72	1670,8608	-11228,18458	75453,40035
62	40	2480	1,28	65,5360	83,88608	107,37418
70	37	2590	9,28	3186,3808	29569,61382	274406,01629
78	9	702	17,28	2687,3856	46438,02317	802449,04034
86	4	344	25,28	2556,3136	64623,60781	1633684,80539
Σ	150	9108	…	17802,2400	-29628,82560	6431294,61965

Формула определения стандартного отклонения на основе распределения частот:

.

Для рассматриваемого интервального статистического ряда:
= 10,89.
Форма распределения обычно описывается с помощью характеристик, получивших название асимметрии и эксцесса. Вероятность получения значений, лежащих в пределах некоторого заданного интервала, частично зависит от асимметрии и эксцесса распределения.
Асимметрия, как явствует из названия, показывает, насколько несимметрично распределение, в то время как эксцесс характеризует островершинность или плосковершинность распределения (в точке максимальной частоты). Кривая может обладать большой крутизной и называться в этом случае островершинной, характеризоваться небольшой крутизной и называться плосковершинной или, наконец, иметь среднюю крутизну. Нормальная кривая обладает средней крутизной.
Коэффициент скошенности, или асимметрии, характеризует тенденцию к рассеянию в одном направлении больше, чем в другом.
Коэффициент относительной скошенности, или выборочный коэффициент асимметрии определяется для сгруппированных данных:

.

Разумеется, для симметричного распределения sk = 0. Если значение sk меньше нуля, то большая часть ряда распределения располагается слева от оси ординат; если sk больше нуля, то справа от неё.
В нашем случае= = - 0,15,
что подтверждает сделанный выше вывод.
Эксцесс, напомним, характеризует островершинность распределения. Относительный эксцесс, или выборочный коэффициент эксцесса определяется:

.

Имеем:= - 3 = 0,05.
Для теоретического нормального распределения коэффициенты асимметрии и эксцесса равны нулю.

6. Проверка степени соответствия полученного распределения выборочных частот нормальному распределению

Исчислив на основе данных нашего примера соответствующие им числовые характеристики, мы можем сопоставить полученные значения с параметрами нормально распределённой генеральной совокупности (см. табл. 6). Результаты такого сопоставления говорят о том, что фактические данные близки к теоретическим. Поскольку сопоставление основывалось на выборочных данных, естественно было ожидать некоторого их расхождения с теоретическими.

Таблица 6
Функции результатов наблюдений и приближённые оценки нормально распределённой генеральной совокупности

Выборочная совокупность	Генеральная совокупность
	60,72	μ	60
s	10,89	σ	10
sk	-0,15	α3	00
ex	00,05	α4-3	00

7. Проверка, что выборка осуществлялась по случайному закону

Будем использовать критерий согласия Пирсона

. (1)

Если, как это обычно имеет место,

,

то указанную формулу можно преобразовать к виду более удобному для вычислений

. (2)

Проверяемая гипотеза состоит в том, что выбор 150 изделий из нормальной генеральной совокупности с μ = 60 и σ = 10 был произведён по случайному закону. Так как известны параметры нормальной генеральной совокупности, то критерий χ2 может только проверить случайный характер выборки.
В качестве уровня значимости выберем α = 0,05.
Для того, чтобы получить визуальное представление о степени соответствия нашей выборки нормальной кривой, воспользуемся гистограммой частот 150 изделий (см. рис. Б) с наложенной на неё нормальной кривой с параметрами μ = 60 и σ = 10. Вычисленные значения ординат нормальной кривой приведены в таблице 7.
Таблица 7
Ординаты нормальной кривой: μ=60; σ=10; n=150; ∆Х=8

	Х	Z (x/σ)	T (z2/2)		Yс
28	-32	-3,2	5,12	0,000598	00,29
36	-24	-2,4	2,88	0,056140	02,69
44	-16	-1,6	1,28	0,278040	13,31
52	0-8	-0,8	0,32	0,726150	34,76
60	000	00,0	0	1,000000	47,87
68	008	00,8	0,32	0,726150	34,76
76	016	01,6	1,28	0,278040	13,31
84	024	02,4	2,88	0,056140	02,69
92	032	03,2	5,12	0,000598	00,29

- середина теоретического интервала
Значения вычислены с использованием таблицы 2.1 из Приложения 2. Величины Yс получены путём умножения каждого из этих значений на Y0,

.

Умножение на , а не на вызвано тем, что площадь гистограммы должна быть равна 100, а не 1 и являться суммой площадей прямоугольников с основанием ΔХ.
Увеличение числа интервалов и изменение их границ вызвано симметричностью нормальной кривой относительно μ.
При рассмотрении рис. Г может создаться впечатление, что между нормальной кривой и гистограммой наблюдается несоответствие. Однако при этом следует помнить, что выборка содержит только 150 изделий, и наличие даже существенного расхождения не следует считать слишком неожиданным.
В таблице 8 приведены данные наблюдений с правилами распределения площади под кривой нормального распределения. Фактический процент наблюдения находится путём простого подсчёта частот mi статистического ряда (таблица 3), попадающих в заданные интервалы ± zs и соотнесённых с объёмом выборки n = 150. В нашем случае наблюдается хорошее согласие процентов наблюдений.

Таблица 8
Сопоставление опытных данных с правилами распределения площади под кривой нормального распределения

z	± zs	Теоретический процент наблюдений	Фактический процент наблюдений
1	от 49,83 до 71,61	68,27	70,00
2	от 38,94 до 82,50	95,45	95,33
3	от 28,05 до 93,99	99,73	100,00

Рис. Г. Нормальная кривая и гистограмма 150 изделий, взятых по случайному закону из приближённо нормальной генеральной совокупности (μ = 60, σ = 10)
Теоретические частоты для рассматриваемого распределения 150 изделий, взятых из генеральной совокупности с μ = 60 и σ = 10, приведены в таблице 9. Порядок вычисления объясняют заголовки каждого из столбцов этой таблицы.
Очевидно, что значений 1-го столбца следует выбирать нечётное количество с учётом величины μ так, чтобы серединное значение равнялось значению μ.

Таблица 9
Вычисление теоретических частот для 150 изделий, взятых по случайному закону из приближённо нормальной генеральной совокупности (μ=60; σ=10; n=150;ΔX=8)

		X (- μ)		Интегральные относительные частоты	Первая разность Δ	m* (n·Δ)
…	-∞	-∞	-∞	-0,50000	0,00226	0,34
	32	-28	-2,8	-0,49744
36					0,02019	3,03
	40	-20	-2,0	-0,47725
44					0,09232	13,85
	48	-12	-1,2	-0,38493
52					0,22951	34,43
	56	-4	-0,4	-0,15542
60					0,31084	46,63
	64	4	0,4	0,15542
68					0,22951	34,43
	72	12	1,2	0,38493
76					0,09232	13,85
	80	20	2,0	0,47725
84					0,02019	3,03
	88	28	2,8	0,49744
…					0,00226	0,34
	∞	∞	∞	0,50000
Σ	…	…	…	…	0,99940	149,93

Значения в первой и последней строчках 2, 3 и 4-го столбцов равны соответственно -∞ и +∞, так как нормальное распределение теоретически простирается от -∞ до +∞. Числа, указанные в 5-м столбце, взяты из таблицы 2.3, приведённой в Приложении 2. Наличие знака \"минус\" у первых цифр этого столбца, соответствующих значениям , меньшим нуля, обусловлено тем, что при Хр < μ

< 0.

В 6-м столбце приведены первые разности.

Так, например,

Хс	Первая разность	Относительная частота
52	-0,15542 - (-0,38493)	= 0,22951
60	0,15542 - (-0,15542)	= 0,31084
68	0,38493 - 0,15542	= 0,22951

Вычисленное по формуле (1) значение χ2 приведено в таблице 10. Как следует из этой таблицы, значение χ2 = 1,2433. В этой таблице приведено семь групп (интервалов), то есть на две группы меньше, чем в таблице 9. Сокращение числа групп осуществлено за счёт объединения первых двух, а также двух последних групп. Это сделано потому, что значения m* в первых двух и последних двух группах весьма малы. Очень часто применяется правило, указывающее, что критерий χ2 может применяться в тех случаях, когда каждая теоретическая группа содержит по крайней мере пять наблюденных значений, а общее количество наблюденных значений составляет по крайней мере 50. Введение этих ограничений имеет вполне определённую цель: гарантировать, что распределение наблюденных значений mi относительно значений теоретических частот будет настолько близко к нормальному, что применение при оценке вероятностей таблиц для χ2 будет вполне обоснованным.
Хотя таблица 10 содержит семь групп, имеется только шесть степеней свободы (ν = S - 1 = 7 - 1 = 6), так как на теоретические частоты накладывается одно ограничение: .
В таблице для χ2 из Приложения 3 для ν = 6 находим При этом область принятия будет определяться соотношением χ2 < 12,592, а область отклонения - соотношением χ2 ≥ 12,592.

Таблица 10
Вычисление χ2 для распределения частот при ширине группового интервала, равной 8, и выборке из 150 изделий, взятых по случайному закону из нормальной генеральной совокупности:μ=60; σ =10

Границы теоретических интервалов	m	m*	m - m*	(m - m*)2
-∞ ÷ 40	4	3,37	0,63	0,3969	0,1178
40 ÷ 48	13	13,85	-0,85	0,7225	0,0522
48 ÷ 56	32	34,43	-2,43	5,9049	0,1715
56 ÷ 64	46	46,63	-0,63	0,3969	0,0085
64 ÷ 72	35	34,43	0,57	0,3249	0,0094
72 ÷ 80	15	13,85	1,15	1,3225	0,0955
80 ÷ ∞	5	3,37	1,63	2,6569	0,7884
Всего	150	149,93	0,07	…	1,2433

Так как вычисленное значение χ2 составляет 1,2433, то оно попадает в область принятия, в связи с чем нет оснований для отклонения гипотезы о том, что выборка осуществлялась по случайному закону.

8. Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности

Если параметры распределения неизвестны, но можно считать, что выборка взята по случайному закону, то может возникнуть желание проверить гипотезу о том, что генеральная совокупность является нормальной. При этом снова примем α = 0,05.
Так как параметры распределения неизвестны, используем совместные оценки максимума правдоподобия, исчисленные на основании группировки (таблица 4). Такими оценками являются для μ и s2 для σ2.
По формулам и , находим:

В таблице 11 показано вычисление теоретических частот, а из таблицы 12 по формуле (2) находим χ2 = 0,59.

Таблица 11
Вычисление нормальных частот для 150 изделий, взятых по случайному закону из генеральной совокупности с неизвестными параметрами:=60,72; s=10,89

		X (-)	х /s	Интегральные относительные частоты	Δ	m* (n·Δ)
…	-∞	-∞	-∞	-0,50000	0,02872	004,31
	40	-20,72	-1,903	-0,47128
44					0,09228	013,84
	48	-12,72	-1,168	-0,37900
52					0,21260	031,89
	56	-4,72	-0,433	-0,16640
60					0,28431	042,66
	64	3,28	0,301	0,11791
68					0,23292	034,94
	72	11,28	1,036	0,35083
76					0,11081	016,62
	80	19,28	1,770	0,46164
…					0,03836	005,74
	∞	∞	∞	0,50000
Σ	…	…	…	…	1,00000	150,00

Полученное в этом случае значение χ2 несколько меньше того значения, которое было указано в таблице 10, так как среднее значение и стандартное отклонение теоретического распределения были согласованы (за исключением ошибки группирования) со средним значением и стандартным отклонением выборки. Однако значение χ2 уменьшилось незначительно, то есть и μ достаточно хорошо согласуются между собой, а s и σ не очень сильно отличаются одно от другого.

Таблица 12
Вычисление χ2 для распределения частот при ширине группового интервала, равной 8, и выборке из 150 изделий, взятых по случайному закону из генеральной совокупности с неизвестными параметрами:=60,72; s=10,89

Границы интервалов	m	m*	m2
-∞ ÷ 40	04	04,31	0016	03,71
40 ÷ 48	13	13,84	0169	12,21
48 ÷ 56	32	31,89	1024	32,11
56 ÷ 64	46	42,66	2116	49,60
64 ÷ 72	35	34,94	1225	35,06
72 ÷ 80	15	16,62	0225	13,54
80 ÷ ∞	05	05,74	0025	04,36
Всего	150	150,00	…	150,59

При этой проверке критерий χ2 имеет 4 степени свободы, а 3 степени свободы потеряны, так как согласование наблюденных и теоретических частот осуществлялось из трёх условий:

; ; .

Из 7 групповых частот любые четыре можно взять случайно или произвольно, а выбор 3-х остальных групповых частот нельзя осуществлять произвольно, если наблюденные и теоретические распределения должны иметь одинаковые количество элементов, средние и стандартные отклонения.
Воспользовавшись таблицей из Приложения 3, находим Значит, область принятия определяется соотношением χ2 < 9,488.
Так как вычисленное значение χ2 лежит в области принятия, гипотеза Н0, что генеральная совокупность, из которой взята эта случайная выборка, является нормальной, не отвергается.

9. Проверка предположения, что распределение генеральной совокупности является нормальным

Проверка при помощи критерия χ2 не является окончательной. Даже если значение χ2 невелико, наличие у разностей одного и того же знака может указывать на то, что генеральная совокупность не является нормальной.
Вычисление а3 и а4 или g1 и g2 и проверка их значимости может также указывать на то, что следует осуществить проверку некоторых других гипотез. Если значение или оказывается больше 2, то, может быть, надо проверить согласованность исследуемого распределения с другим распределением, отличным от нормального.
Вычисляем k-статистики Фишера, используя результаты вычислений из таблицы 5.

== ;=
=.

Здесь .
Можно вычислить оценки, аналогичные γ1 = α3 и γ2 = α4 - 3:

g1 = = g2 ==

Заметим, что

sk	- 0,15	g1	- 0,15
ex	0,05	g2	0,09

Значимость и можно проверить путём сравнения с их стандартными ошибками, применяя формулы:

и .

Получим:
и

< 2 и < 2.
Поскольку ни одна из оценок более чем в два раза не превосходит свою стандартную ошибку, имеются все основания говорить о нормальности распределения изделий.

Заключение

χ2-критерий указывает на хорошее согласие (табл. 12), но выборка только одна и необходимо проявить известную осторожность при заключении об удовлетворительности согласия.
Визуальный анализ (см. рис. Г) не показывает существенного расхождения между нормальной кривой и гистограммой.
В целом нет оснований отбрасывать гипотезу о нормальном распределении в пользу какой-то иной теоретической модели, то есть, нет сомнений в правильности хода производственного процесса.

Перечень ссылок

1.Введение в теорию алгоритмов [Электронный ресурс]. - Электронные текстовые данные. - Режим доступа: http://th-algoritmov.narod.ru/1.htm
.Алферова З.В. Теория алгоритмов. - М.: Издательство \"Статистика\", 2010. - 164 с.
.Марков А.А. Теория алгоритмов./ А.А. Марков, Н.М. Нагорный - М.: Наука, 2014. -217 с.: ил.

Приложения

Приложение 1. Таблица десятичных логарифмов

По определению логарифмом данного числа называют показатель степени, в которую надо возвести некоторое постоянное число (называемое основанием), чтобы получить данное число (называемое антилогарифмом). Так, например, 102=100, и мы можем написать, что log10100 = lg100 = 2 (логарифм числа 100 при основании 10 равен 2). В этом примере 10 является основанием, 2 - логарифмом (числа 100), а 100 является антилогарифмом (числа 2).
Каждый логарифм состоит из целого числа, называемого характеристикой, и десятичной дроби, называемой мантиссой. Когда в lgn антилогарифм n ≥ 1, характеристика положительна и численно равна числу знаков, стоящих слева от запятой, минус единица. Таким образом, логарифм числа 24 равен 1,38021.

n	0	n	0	n	0	n	0	n	0
15	17609	35	54407	55	74036	75	87506	95	97772
16	20412	36	55630	56	74819	76	88081	96	98227
17	23045	37	56820	57	75587	77	88649	97	98677
18	25527	38	57978	58	76343	78	89209	98	99123
19	27875	39	59106	59	77085	79	89763	99	99564
20	30103	40	60206	60	77815	80	90309	100	00000
21	32222	41	61278	61	78533	81	90849	110	04139
22	34242	42	62325	62	79239	82	91381	115	06070
23	36173	43	63347	63	79934	83	91908	120	07918
24	38021	44	64345	64	80618	84	92428	125	09691
25	39794	45	65321	65	81291	85	92942	130	11394
26	41497	46	66276	66	81954	86	93450	135	13033
27	43136	47	67210	67	82607	87	93952	140	14613
28	44716	48	68124	68	83251	88	94448	145	16137
29	46240	49	69020	69	83885	89	94939	150	17609
30	47712	50	69897	70	84510	90	95424	155	19033
31	49136	51	70757	71	85126	91	95904	160	20412
32	50515	52	71600	72	85733	92	96379	165	21748
33	51851	53	72428	73	86332	93	96848	170	23045
34	53148	54	73239	74	86923	94	97313	175	24304

Приложение 2

Таблицы функции нормального распределения

В таблице 2.1 указаны значения е-z, необходимые для вычисления ординат кривой f(z).
В таблице 2.2 указаны ординаты нормальных кривых для фиксированных значений z.
В таблице 2.3 приведены величины площадей, заключённых между средним и заданным значением Х (или между 0 и заданным значением z)

.

На приведённом ниже рисунке F(z) изображена в виде заштрихованной площади.



Таблица 2.1. Величины е-z

z	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0,0	1,000000	0,990050	0,980199	0,970446	0,960789	0,951229	0,941765	0,932394	0,923116	0,913931
0,1	0,904837	0,895834	0,886920	0,878095	0,869358	0,860708	0,852144	0,843665	0,835270	0,826959
0,2	0,818731	0,810584	0,802519	0,794534	0,786628	0,778801	0,771052	0,763379	0,755784	0,748264
0,3	0,740818	0,733447	0,726149	0,718924	0,711770	0,704688	0,697676	0,690734	0,683861	0,677057
0,4	0,670320	0,663650	0,657047	0,650509	0,644036	0,637628	0,631284	0,625002	0,618783	0,612626
0,5	0,606531	0,600496	0,594521	0,588605	0,582748	0,576950	0,571209	0,565525	0,559898	0,554327
0,6	0,548812	0,543351	0,537944	0,532592	0,527292	0,522046	0,516851	0,511709	0,506617	0,501576
0,7	0,496585	0,491644	0,486752	0,481909	0,477114	0,472367	0,467666	0,463013	0,458406	0,453845
0,8	0,449329	0,444858	0,440432	0,436049	0,431711	0,427415	0,423162	0,418952	0,414783	0,410656
0,9	0,406570	0,402524	0,398519	0,394554	0,390628	0,386741	0,382893	0,379083	0,375311	0,371577
1,0	0,367879	0,364219	0,360595	0,357007	0,353455	0,349938	0,346456	0,343009	0,339596	0,336216
1,1	0,332871	0,329559	0,326280	0,323033	0,319819	0,316637	0,313486	0,310367	0,307279	0,304221
1,2	0,301194	0,298197	0,295230	0,292293	0,289384	0,286505	0,283654	0,280832	0,278037	0,275271
1,3	0,272532	0,269820	0,267135	0,264477	0,261846	0,259240	0,256661	0,254107	0,251579	0,249075
1,4	0,246597	0,244143	0,241714	0,239309	0,236928	0,234570	0,232236	0,229925	0,227638	0,225373
1,5	0,223130	0,220910	0,218712	0,216536	0,214381	0,212248	0,210136	0,208045	0,205975	0,203926
1,6	0,201897	0,199888	0,197899	0,195930	0,193980	0,192050	0,190139	0,188247	0,186374	0,184520
1,7	0,182684	0,180866	0,179066	0,177284	0,175520	0,173774	0,172045	0,170333	0,168638	0,166960
1,8	0,165299	0,163654	0,162026	0,160414	0,158817	0,157237	0,155673	0,154124	0,152590	0,151072
1,9	0,149569	0,148080	0,146607	0,145148	0,143704	0,142274	0,140858	0,139457	0,138069	0,136695
2,0	0,135335	0,133989	0,132655	0,131336	0,130029	0,128735	0,127454	0,126186	0,124930	0,123687
2,1	0,122456	0,121238	0,120032	0,118837	0,117655	0,116484	0,115325	0,114178	0,113042	0,111917
2,2	0,110803	0,109701	0,108609	0,107528	0,106459	0,105399	0,104350	0,103312	0,102284	0,101266
2,3	0,100259	0,099261	0,098274	0,097296	0,096328	0,095369	0,094420	0,093481	0,092551	0,091630
2,4	0,090718	0,089815	0,088922	0,088037	0,087161	0,086294	0,085435	0,084585	0,083743	0,082910
2,5	0,082085	0,081268	0,080460	0,079659	0,078866	0,078082	0,077305	0,076536	0,075774	0,075020
2,6	0,074274	0,073535	0,072803	0,072078	0,071361	0,070651	0,069948	0,069252	0,068563	0,067881
2,7	0,067206	0,066537	0,065875	0,065219	0,064570	0,063928	0,063292	0,062662	0,062039	0,061421
2,8	0,060810	0,060205	0,059606	0,059013	0,058426	0,057844	0,057269	0,056699	0,056135	0,055576
2,9	0,055023	0,054476	0,053934	0,053397	0,052866	0,052340	0,051819	0,051303	0,050793	0,050287
3,0	0,049787	0,049292	0,048801	0,048316	0,047835	0,047359	0,046888	0,046421	0,045959	0,045502
3,1	0,045049	0,044601	0,044157	0,043718	0,043283	0,042852	0,042426	0,042004	0,041586	0,041172
3,2	0,040762	0,040357	0,039955	0,039557	0,039164	0,038774	0,038388	0,038006	0,037628	0,037254
3,3	0,036883	0,036516	0,036153	0,035793	0,035437	0,035084	0,034735	0,034390	0,034047	0,033709
3,4	0,033373	0,033041	0,032712	0,032387	0,032065	0,031746	0,031430	0,031117	0,030807	0,030501
z	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
3,5	0,030197	0,029897	0,029599	0,029305	0,029013	0,028725	0,028439	0,028156	0,027876	0,027598
3,6	0,027324	0,027052	0,026783	0,026516	0,026252	0,025991	0,025733	0,025476	0,025223	0,024972
3,7	0,024724	0,024478	0,024234	0,023993	0,023754	0,023518	0,023284	0,023052	0,022823	0,022596
3,8	0,022371	0,022148	0,021928	0,021710	0,021494	0,021280	0,021068	0,020858	0,020651	0,020445
3,9	0,020242	0,020041	0,019841	0,019644	0,019448	0,019255	0,019063	0,018873	0,018686	0,018500
4,0	0,018316	0,018133	0,017953	0,017774	0,017597	0,017422	0,017249	0,017077	0,016907	0,016739
4,1	0,016573	0,016408	0,016245	0,016083	0,015923	0,015764	0,015608	0,015452	0,015299	0,015146
4,2	0,014996	0,014846	0,014699	0,014552	0,014408	0,014264	0,014122	0,013982	0,013843	0,013705
4,3	0,013569	0,013434	0,013300	0,013168	0,013037	0,012907	0,012778	0,012651	0,012525	0,012401
4,4	0,012277	0,012155	0,012034	0,011914	0,011796	0,011679	0,011562	0,011447	0,011333	0,011221
4,5	0,011109	0,010998	0,010889	0,010781	0,010673	0,010567	0,010462	0,010358	0,010255	0,010153
4,6	0,010052	0,009952	0,009853	0,009755	0,009658	0,009562	0,009466	0,009372	0,009279	0,009187
4,7	0,009095	0,009005	0,008915	0,008826	0,008739	0,008652	0,008566	0,008480	0,008396	0,008312
4,8	0,008230	0,008148	0,008067	0,007987	0,007907	0,007828	0,007750	0,007673	0,007597	0,007521
4,9	0,007447	0,007372	0,007299	0,007227	0,007155	0,007083	0,007013	0,006943	0,006874	0,006806
5,0	0,006738	0,006671	0,006605	0,006539	0,006474	0,006409	0,006346	0,006282	0,006220	0,006158
5,1	0,006097	0,006036	0,005976	0,005917	0,005858	0,005799	0,005742	0,005685	0,005628	0,005572
5,2	0,005517	0,005462	0,005407	0,005354	0,005300	0,005248	0,005195	0,005144	0,005092	0,005042
5,3	0,004992	0,004942	0,004893	0,004844	0,004796	0,004748	0,004701	0,004654	0,004608	0,004562
5,4	0,004517	0,004472	0,004427	0,004383	0,004339	0,004296	0,004254	0,004211	0,004169	0,004128
5,5	0,004087	0,004046	0,004006	0,003966	0,003927	0,003887	0,003849	0,003810	0,003773	0,003735
5,6	0,003698	0,003661	0,003625	0,003589	0,003553	0,003518	0,003483	0,003448	0,003414	0,003380
5,7	0,003346	0,003313	0,003280	0,003247	0,003215	0,003183	0,003151	0,003120	0,003089	0,003058
5,8	0,003028	0,002997	0,002968	0,002938	0,002909	0,002880	0,002851	0,002823	0,002795	0,002767
5,9	0,002739	0,002712	0,002685	0,002658	0,002632	0,002606	0,002580	0,002554	0,002529	0,002504
6,0	0,002479	0,002454	0,002430	0,002405	0,002382	0,002358	0,002334	0,002311	0,002288	0,002265
6,1	0,002243	0,002221	0,002198	0,002177	0,002155	0,002133	0,002112	0,002091	0,002070	0,002050
6,2	0,002029	0,002009	0,001989	0,001969	0,001950	0,001930	0,001911	0,001892	0,001873	0,001855
6,3	0,001836	0,001818	0,001800	0,001782	0,001764	0,001747	0,001729	0,001712	0,001695	0,001678
6,4	0,001662	0,001645	0,001629	0,001612	0,001596	0,001581	0,001565	0,001549	0,001534	0,001519
6,5	0,001503	0,001488	0,001474	0,001459	0,001444	0,001430	0,001416	0,001402	0,001388	0,001374
6,6	0,001360	0,001347	0,001333	0,001320	0,001307	0,001294	0,001281	0,001268	0,001256	0,001243
6,7	0,001231	0,001219	0,001207	0,001195	0,001183	0,001171	0,001159	0,001148	0,001136	0,001125
6,8	0,001114	0,001103	0,001092	0,001081	0,001070	0,001059	0,001049	0,001038	0,001028	0,001018
6,9	0,001008	0,000998	0,000988	0,000978	0,000968	0,000959	0,000949	0,000940	0,000930	0,000921
z	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
7,0	0,000912	0,000903	0,000894	0,000885	0,000876	0,000867	0,000859	0,000850	0,000842	0,000833
7,1	0,000825	0,000817	0,000809	0,000801	0,000793	0,000785	0,000777	0,000769	0,000762	0,000754
7,2	0,000747	0,000739	0,000732	0,000725	0,000717	0,000710	0,000703	0,000696	0,000689	0,000682
7,3	0,000676	0,000669	0,000662	0,000656	0,000649	0,000643	0,000636	0,000630	0,000624	0,000617
7,4	0,000611	0,000605	0,000599	0,000593	0,000587	0,000581	0,000576	0,000570	0,000564	0,000559
7,5	0,000553	0,000548	0,000542	0,000537	0,000531	0,000526	0,000521	0,000516	0,000511	0,000505
7,6	0,000500	0,000495	0,000491	0,000486	0,000481	0,000476	0,000471	0,000467	0,000462	0,000457
7,7	0,000453	0,000448	0,000444	0,000439	0,000435	0,000431	0,000426	0,000422	0,000418	0,000414
7,8	0,000410	0,000406	0,000402	0,000398	0,000394	0,000390	0,000386	0,000382	0,000378	0,000374
7,9	0,000371	0,000367	0,000363	0,000360	0,000356	0,000353	0,000349	0,000346	0,000342	0,000339
8,0	0,000335	0,000332	0,000329	0,000326	0,000322	0,000319	0,000316	0,000313	0,000310	0,000307
8,1	0,000304	0,000301	0,000298	0,000295	0,000292	0,000289	0,000286	0,000283	0,000280	0,000277
8,2	0,000275	0,000272	0,000269	0,000267	0,000264	0,000261	0,000259	0,000256	0,000254	0,000251
8,3	0,000249	0,000246	0,000244	0,000241	0,000239	0,000236	0,000234	0,000232	0,000229	0,000227
8,4	0,000225	0,000223	0,000220	0,000218	0,000216	0,000214	0,000212	0,000210	0,000208	0,000206
8,5	0,000203	0,000201	0,000199	0,000197	0,000195	0,000194	0,000192	0,000190	0,000188	0,000186
8,6	0,000184	0,000182	0,000180	0,000179	0,000177	0,000175	0,000173	0,000172	0,000170	0,000168
8,7	0,000167	0,000165	0,000163	0,000162	0,000160	0,000158	0,000157	0,000155	0,000154	0,000152
8,8	0,000151	0,000149	0,000148	0,000146	0,000145	0,000143	0,000142	0,000141	0,000139	0,000138
8,9	0,000136	0,000135	0,000134	0,000132	0,000131	0,000130	0,000128	0,000127	0,000126	0,000125
9,0	0,000123	0,000122	0,000121	0,000120	0,000119	0,000117	0,000116	0,000115	0,000114	0,000113
9,1	0,000112	0,000111	0,000109	0,000108	0,000107	0,000106	0,000105	0,000104	0,000103	0,000102
9,2	0,000101	0,000100	0,000099	0,000098	0,000097	0,000096	0,000095	0,000094	0,000093	0,000092
9,3	0,000091	0,000091	0,000090	0,000089	0,000088	0,000087	0,000086	0,000085	0,000084	0,000084
9,4	0,000083	0,000082	0,000081	0,000080	0,000079	0,000079	0,000078	0,000077	0,000076	0,000076
9,5	0,000075	0,000074	0,000073	0,000073	0,000072	0,000071	0,000070	0,000070	0,000069	0,000068
9,6	0,000068	0,000067	0,000066	0,000066	0,000065	0,000064	0,000064	0,000063	0,000063	0,000062
9,7	0,000061	0,000061	0,000060	0,000059	0,000059	0,000058	0,000058	0,000057	0,000057	0,000056
9,8	0,000055	0,000055	0,000054	0,000054	0,000053	0,000053	0,000052	0,000052	0,000051	0,000051
9,9	0,000050	0,000050	0,000049	0,000049	0,000048	0,000048	0,000047	0,000047	0,000046	0,000046
10,0	0,000045	0,000045	0,000045	0,000044	0,000044	0,000043	0,000043	0,000042	0,000042	0,000041
10,1	0,000041	0,000041	0,000040	0,000040	0,000039	0,000039	0,000039	0,000038	0,000038	0,000038
10,2	0,000037	0,000037	0,000036	0,000036	0,000036	0,000035	0,000035	0,000035	0,000034	0,000034
10,3	0,000034	0,000033	0,000033	0,000033	0,000032	0,000032	0,000032	0,000031	0,000031	0,000031
10,4	0,000030	0,000030	0,000030	0,000030	0,000029	0,000029	0,000029	0,000028	0,000028	0,000028

Таблица 2.2
Ординаты нормальных кривых для фиксированных значений z

z	f(z)	z	f(z)	z	f(z)	z	f(z)	z	f(z)
0,01	0,398922	0,51	0,350292	1,01	0,239551	1,51	0,127583	2,01	0,052919
0,02	0,398862	0,52	0,348493	1,02	0,237132	1,52	0,125665	2,02	0,051864
0,03	0,398763	0,53	0,346668	1,03	0,234714	1,53	0,123763	2,03	0,050824
0,04	0,398623	0,54	0,344818	1,04	0,232297	1,54	0,121878	2,04	0,049800
0,05	0,398444	0,55	0,342944	1,05	0,229882	1,55	0,120009	2,05	0,048792
0,06	0,398225	0,56	0,341046	1,06	0,227470	1,56	0,118157	2,06	0,047800
0,07	0,397966	0,57	0,339124	1,07	0,225060	1,57	0,116323	2,07	0,046823
0,08	0,397668	0,58	0,337180	1,08	0,222653	1,58	0,114505	2,08	0,045861
0,09	0,397330	0,59	0,335213	1,09	0,220251	1,59	0,112704	2,09	0,044915
0,10	0,396953	0,60	0,333225	1,10	0,217852	1,60	0,110921	2,10	0,043984
0,11	0,396536	0,61	0,331215	1,11	0,215458	1,61	0,109155	2,11	0,043067
0,12	0,396080	0,62	0,329184	1,12	0,213069	1,62	0,107406	2,12	0,042166
0,13	0,395585	0,63	0,327133	1,13	0,210686	1,63	0,105675	2,13	0,041280
0,14	0,395052	0,64	0,325062	1,14	0,208308	1,64	0,103961	2,14	0,040408
0,15	0,394479	0,65	0,322972	1,15	0,205936	1,65	0,102265	2,15	0,039550
0,16	0,393868	0,66	0,320864	1,16	0,203571	1,66	0,100586	2,16	0,038707
0,17	0,393219	0,67	0,318737	1,17	0,201214	1,67	0,098925	2,17	0,037878
0,18	0,392531	0,68	0,316593	1,18	0,198863	1,68	0,097282	2,18	0,037063
0,19	0,391806	0,69	0,314432	1,19	0,196520	1,69	0,095657	2,19	0,036262
0,20	0,391043	0,70	0,312254	1,20	0,194186	1,70	0,094049	2,20	0,035475
0,21	0,390242	0,71	0,310060	1,21	0,191860	1,71	0,092459	2,21	0,034701
0,22	0,389404	0,72	0,307851	1,22	0,189543	1,72	0,090887	2,22	0,033941
0,23	0,388529	0,73	0,305627	1,23	0,187235	1,73	0,089333	2,23	0,033194
0,24	0,387617	0,74	0,303389	1,24	0,184937	1,74	0,087796	2,24	0,032460
0,25	0,386668	0,75	0,301137	1,25	0,182649	1,75	0,086277	2,25	0,031740
0,26	0,385683	0,76	0,298872	1,26	0,180371	1,76	0,084776	2,26	0,031032
0,27	0,384663	0,77	0,296595	1,27	0,178104	1,77	0,083293	2,27	0,030337
0,28	0,383606	0,78	0,294305	1,28	0,175847	1,78	0,081828	2,28	0,029655
0,29	0,382515	0,79	0,292004	1,29	0,173602	1,79	0,080380	2,29	0,028985
0,30	0,381388	0,80	0,289692	1,30	0,171369	1,80	0,078950	2,30	0,028327
0,31	0,380226	0,81	0,287369	1,31	0,169147	1,81	0,077538	2,31	0,027682
0,32	0,379031	0,82	0,285036	1,32	0,166937	1,82	0,076143	2,32	0,027048
0,33	0,377801	0,83	0,282694	1,33	0,164740	1,83	0,074766	2,33	0,026426
0,34	0,376537	0,84	0,280344	1,34	0,162555	1,84	0,073407	2,34	0,025817
0,35	0,375240	0,85	0,277985	1,35	0,160383	1,85	0,072065	2,35	0,025218
0,36	0,373911	0,86	0,275618	1,36	0,158225	1,86	0,070740	2,36	0,024631
0,37	0,372548	0,87	0,273244	1,37	0,156080	1,87	0,069433	2,37	0,024056
0,38	0,371154	0,88	0,270864	1,38	0,153948	1,88	0,068144	2,38	0,023491
0,39	0,369728	0,89	0,268477	1,39	0,151831	1,89	0,066871	2,39	0,022937
0,40	0,368270	0,90	0,266085	1,40	0,149727	1,90	0,065616	2,40	0,022395
0,41	0,366782	0,91	0,263688	1,41	0,147639	1,91	0,064378	2,41	0,021862
0,42	0,365263	0,92	0,261286	1,42	0,145564	1,92	0,063157	2,42	0,021341
0,43	0,363714	0,93	0,258881	1,43	0,143505	1,93	0,061952	2,43	0,020829
0,44	0,362135	0,94	0,256471	1,44	0,141460	1,94	0,060765	2,44	0,020328
0,45	0,360527	0,95	0,254059	1,45	0,139431	1,95	0,059595	2,45	0,019837
0,46	0,358890	0,96	0,251644	1,46	0,137417	1,96	0,058441	2,46	0,019356
0,47	0,357225	0,97	0,249228	1,47	0,135418	1,97	0,057304	2,47	0,018885
0,48	0,355533	0,98	0,246809	1,48	0,133435	1,98	0,056183	2,48	0,018423
0,49	0,353812	0,99	0,244390	1,49	0,131468	1,99	0,055079	2,49	0,017971
0,50	0,352065	1,00	0,241971	1,50	0,129518	2,00	0,053991	2,50	0,017528
z	f(z)	z	f(z)	z	f(z)	z	f(z)	z	f(z)
2,51 2,52 2,53 2,54 2,55	0,017095 0,016670 0,016254 0,015848 0,015449	3,01 3,02 3,03 3,04 3,05	0,004301 0,004173 0,004049 0,003928 0,003810	3,51 3,52 3,53 3,54 3,55	0,000843 0,000814 0,000785 0,000758 0,000732	4,01 4,02 4,03 4,04 4,05	0,000129 0,000124 0,000119 0,000114 0,000109	4,51 4,52 4,53 4,54 4,55	0,000015 0,000015 0,000014 0,000013 0,000013
2,56 2,57 2,58 2,59 2,60	0,015060 0,014678 0,014305 0,013940 0,013583	3,06 3,07 3,08 3,09 3,10	0,003695 0,003584 0,003475 0,003370 0,003267	3,56 3,57 3,58 3,59 3,60	0,000706 0,000681 0,000657 0,000634 0,000612	4,06 4,07 4,08 4,09 4,10	0,000105 0,000101 0,000097 0,000093 0,000089	4,56 4,57 4,58 4,59 4,60	0,000012 0,000012 0,000011 0,000011 0,000010
2,61 2,62 2,63 2,64 2,65	0,013234 0,012892 0,012558 0,012232 0,011912	3,11 3,12 3,13 3,14 3,15	0,003167 0,003070 0,002975 0,002884 0,002794	3,61 3,62 3,63 3,64 3,65	0,000590 0,000569 0,000549 0,000529 0,000510	4,11 4,12 4,13 4,14 4,15	0,000086 0,000082 0,000079 0,000076 0,000073	4,61 4,62 4,63 4,64 4,65	0,000010 0,000009 0,000009 0,000008 0,000008
2,66 2,67 2,68 2,69 2,70	0,011600 0,011295 0,010997 0,010706 0,010421	3,16 3,17 3,18 3,19 3,20	0,002707 0,002623 0,002541 0,002461 0,002384	3,66 3,67 3,68 3,69 3,70	0,000492 0,000474 0,000457 0,000441 0,000425	4,16 4,17 4,18 4,19 4,20	0,000070 0,000067 0,000064 0,000061 0,000059	4,66 4,67 4,68 4,69 4,70	0,000008 0,000007 0,000007 0,000007 0,000006
2,71 2,72 2,73 2,74 2,75	0,010143 0,009871 0,009606 0,009347 0,009094	3,21 3,22 3,23 3,24 3,25	0,002309 0,002236 0,002165 0,002096 0,002029	3,71 3,72 3,73 3,74 3,75	0,000409 0,000394 0,000380 0,000366 0,000353	4,21 4,22 4,23 4,24 4,25	0,000057 0,000054 0,000052 0,000050 0,000048	4,71 4,72 4,73 4,74 4,75	0,000006 0,000006 0,000006 0,000005 0,000005
2,76	0,008846	3,26	0,001964	3,76	0,000340	4,26	0,000046	4,76	0,000005
2,77	0,008605	3,27	0,001901	3,77	0,000327	4,27	0,000044	4,77	0,000005
2,78	0,008370	3,28	0,001840	3,78	0,000315	4,28	0,000042	4,78	0,000004
2,79	0,008140	3,29	0,001780	3,79	0,000303	4,29	0,000040	4,79	0,000004
2,80	0,007915	3,30	0,001723	3,80	0,000292	4,30	0,000039	4,80	0,000004
2,81	0,007697	3,31	0,001667	3,81	0,000281	4,31	0,000037	4,81	0,000004
2,82	0,007483	3,32	0,001612	3,82	0,000271	4,32	0,000035	4,82	0,000004
2,83	0,007274	3,33	0,001560	3,83	0,000260	4,33	0,000034	4,83	0,000003
2,84	0,007071	3,34	0,001508	3,84	0,000251	4,34	0,000032	4,84	0,000003
2,85	0,006873	3,35	0,001459	3,85	0,000241	4,35	0,000031	4,85	0,000003
2,86	0,006679	3,36	0,001411	3,86	0,000232	4,36	0,000030	4,86	0,000003
2,87	0,006491	3,37	0,001364	3,87	0,000223	4,37	0,000028	4,87	0,000003
2,88	0,006307	3,38	0,001319	3,88	0,000215	4,38	0,000027	4,88	0,000003
2,89	0,006127	3,39	0,001275	3,89	0,000207	4,39	0,000026	4,89	0,000003
2,90	0,005953	3,40	0,001232	3,90	0,000199	4,40	0,000025	4,90	0,000002
2,91	0,005782	3,41	0,001191	3,91	0,000191	4,41	0,000024	4,91	0,000002
2,92	0,005616	3,42	0,001151	3,92	0,000184	4,42	0,000023	4,92	0,000002
2,93	0,005454	3,43	0,001112	3,93	0,000177	4,43	0,000022	4,93	0,000002
2,94	0,005296	3,44	0,001075	3,94	0,000170	4,44	0,000021	4,94	0,000002
2,95	0,005143	3,45	0,001038	3,95	0,000163	4,45	0,000020	4,95	0,000002
2,96	0,004993	3,46	0,001003	3,96	0,000157	4,46	0,000019	4,96	0,000002
2,97	0,004847	3,47	0,000969	3,97	0,000151	4,47	0,000018	4,97	0,000002
2,98	0,004705	3,48	0,000936	3,98	0,000145	4,48	0,000017	4,98	0,000002
2,99	0,004567	3,49	0,000904	3,99	0,000139	4,49	0,000017	4,99	0,000002
3,00	0,004432	3,50	0,000873	4,00	0,000134	4,50	0,000016	5,00	0,000001

Таблица 2.3
Площади нормальных кривых для фиксированных значений z

z	0,00	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09
0,0	0,00000	0,00399	0,00798	0,01197	0,01595	0,01994	0,02392	0,02790	0,03188	0,03586
0,1	0,03983	0,04380	0,04776	0,05172	0,05567	0,05962	0,06356	0,06749	0,07142	0,07535
0,2	0,07926	0,08317	0,08706	0,08095	0,09483	0,09871	0,10257	0,10642	0,11026	0,11409
0,3	0,11791	0,12172	0,12552	0,12930	0,13307	0,13683	0,14058	0,14431	0,14803	0,15173
0,4	0,15542	0,15910	0,16276	0,16640	0,17003	0,17364	0,17724	0,18082	0,18439	0,18793
0,5	0,19146	0,19497	0,19847	0,20194	0,20540	0,20884	0,21226	0,21566	0,21904	0,22240
0,6	0,22575	0,22907	0,23237	0,23564	0,23891	0,24215	0,24537	0,24857	0,25175	0,25490
0,7	0,25804	0,26115	0,26424	0,26730	0,27035	0,27337	0,27637	0,27935	0,28230	0,28524
0,8	0,28814	0,29103	0,29389	0,29673	0,29955	0,30234	0,30511	0,30785	0,31057	0,31327
0,9	0,31594	0,31859	0,32121	0,32381	0,32639	0,32894	0,33147	0,33398	0,33646	0,33891
1,0	0,34134	0,34375	0,34614	0,34849	0,35083	0,35314	0,35543	0,35769	0,35993	0,36214
1,1	0,36433	0,36650	0,36864	0,37076	0,37286	0,37493	0,37698	0,37900	0,38100	0,38298
1,2	0,38493	0,38686	0,38877	0,39065	0,39251	0,39435	0,39617	0,39796	0,39973	0,40147
1,3	0,40320	0,40490	0,40658	0,40824	0,40988	0,41198	0,41309	0,41466	0,41621	0,41774
1,4	0,41924	0,42073	0,42220	0,42364	0,42507	0,42647	0,42785	0,42922	0,40356	0,43189
1,5	0,43319	0,43448	0,43574	0,43699	0,43822	0,43943	0,44062	0,44179	0,44295	0,44408
1,6	0,44520	0,44630	0,44738	0,44845	0,44950	0,45053	0,45154	0,45254	0,45352	0,45449
1,7	0,45543	0,45637	0,45728	0,45818	0,45907	0,45994	0,46080	0,46164	0,46246	0,46327
1,8	0,46407	0,46485	0,46562	0,46638	0,46712	0,46784	0,46856	0,46926	0,46995	0,47062
1,9	0,47128	0,47193	0,47257	0,47320	0,47381	0,47441	0,47500	0,47558	0,47615	0,47670
2,0	0,47725	0,47784	0,47831	0,47882	0,47932	0,47982	0,48030	0,48077	0,48124	0,48169
2,1	0,48214	0,48257	0,48300	0,48341	0,48382	0,48422	0,48461	0,48500	0,48537	0,48574
2,2	0,48610	0,48645	0,48679	0,48713	0,48745	0,48778	0,48809	0,48840	0,48870	0,48899
2,3	0,48928	0,48956	0,48983	0,49010	0,49036	0,49061	0,49086	0,49111	0,49134	0,49158
2,4	0,49180	0,49202	0,49224	0,49245	0,49266	0,49286	0,49305	0,49324	0,49343	0,49361
2,5	0,49379	0,49396	0,49413	0,49430	0,49446	0,49461	0,49477	0,49492	0,49506	0,49520
2,6	0,49534	0,49547	0,49560	0,49573	0,49585	0,49598	0,49609	0,49621	0,49632	0,49643
2,7	0,49653	0,49664	0,49674	0,49683	0,49693	0,49702	0,49711	0,49720	0,49728	0,49736
2,8	0,49744	0,49752	0,49760	0,49767	0,49774	0,49781	0,49788	0,49795	0,49801	0,49807
2,9	0,49813	0,49819	0,49825	0,49831	0,49836	0,49841	0,49846	0,49851	0,49856	0,49861
3,0	0,49865	0,49869	0,49874	0,49878	0,49882	0,49886	0,49889	0,49893	0,49896	0,49900
3,1	0,49903	0,49906	0,49910	0,49913	0,49992	0,49918	0,49921	0,49924	0,49926	0,49929
3,2	0,49931	0,49934	0,49936	0,49938	0,49940	0,49942	0,49944	0,49946	0,49948	0,49950
3,3	0,49952	0,49953	0,49955	0,49957	0,49958	0,49960	0,49961	0,49962	0,49964	0,49965
3,4	0,49966	0,49968	0,49969	0,49970	0,49971	0,49972	0,49973	0,49974	0,49975	0,49976
3,5	0,49977	0,49978	0,49978	0,49979	0,49980	0,49981	0,49981	0,49982	0,49983	0,49983
3,6	0,49984	0,49985	0,49985	0,49986	0,49986	0,49987	0,49987	0,49988	0,49988	0,49989
3,7	0,49989	0,49990	0,49990	0,49990	0,49991	0,49991	0,49992	0,49992	0,49992	0,49992
3,8	0,49993	0,49993	0,49993	0,49994	0,49994	0,49994	0,49994	0,49995	0,49995	0,49995
3,9	0,49995	0,49995	0,49996	0,49996	0,49996	0,49996	0,49976	0,49996	0,49997	0,49997
4,0	0,49997	…	…	…	…	…	…	…	…	…
4,5	0,499997	…	…	…	…	…	…	…	…	…
5,0	0,4999997	…	…	…	…	…	…	…	…	…

Приложение 3

Значения χ2 для фиксированных значений вероятностей и заданных степеней свободы
Таблица даёт значения Q(χ2/ν), то есть вероятности получения значения χ2, равного или превышающего выборочное значение.
Таблица даёт величину зачернённой площади.

ν			Вероятность
	0,999	0,995	0,99	0,98	0,975	0,95	0,90	0,80	0,75	0,70	0,50
1	0,05157	0,04393	0,03157	0,03628	0,03982	0,00393	0,0158	0,0642	0,102	0,148	0,455
2	0,00200	0,0100	0,0201	0,0404	0,0506	0,103	0,211	0,446	0,575	0,713	1,386
3	0,0243	0,0717	0,115	0,185	0,216	0,352	0,584	1,005	1,213	1,424	2,366
4	0,0908	0,207	0,297	0,429	0,484	0,711	1,064	1,649	1,923	2,195	3,357
5	0,210	0,412	0,554	0,752	0,831	1,145	1,610	2,343	2,675	3,000	4,351
6	0,381	0,676	0,872	1,134	1,237	1,635	2,204	3,070	3,455	3,828	5,348
7	0,598	0,989	1,239	1,564	1,690	2,167	2,833	3,822	4,255	4,671	6,346
8	0,857	1,344	1,646	2,032	2,180	2,733	3,490	4,594	5,071	5,527	7,344
9	1,152	1,735	2,088	2,532	2,700	3,325	4,168	5,380	5,899	6,393	8,343
10	1,479	2,156	2,558	3,059	3,247	3,940	4,865	6,179	6,737	7,267	9,342
11	1,834	2,603	3,053	3,609	3,816	4,575	5,578	6,989	7,584	8,148	10,341
12	2,214	3,074	3,571	4,178	4,404	5,226	6,304	7,807	8,438	9,034	11,340
13	2,617	3,565	4,107	4,765	5,009	5,892	7,042	8,634	9,299	9,926	12,340
14	3,041	4,075	4,660	5,368	5,629	6,571	7,790	9,467	10,165	10,821	13,339
15	3,483	4,601	5,229	5,985	6,262	7,261	8,547	10,307	11,036	11,721	14,339
16	3,942	5,142	5,812	6,614	6,908	7,962	9,312	11,152	11,912	12,624	15,338
17	4,416	5,697	6,408	7,255	7,564	8,672	10,085	12,002	12,792	13,531	16,338
18	4,905	6,265	7,015	7,906	8,231	9,390	10,865	12,857	13,675	14,440	17,338
19	5,407	6,844	7,633	8,567	8,907	10,117	11,651	13,716	14,562	15,352	18,338
20	5,921	7,434	8,260	9,237	9,591	10,851	12,443	14,578	15,452	16,266	19,337
21	6,447	8,034	8,897	9,915	10,283	11,591	13,240	15,445	16,344	17,182	20,337
22	6,983	8,643	9,542	10,600	10,982	12,338	14,041	16,314	17,240	18,101	21,337
23	7,529	9,260	10,196	11,293	11,688	13,091	14,848	17,187	18,137	19,021	22,337
24	8,085	9,886	10,856	11,992	12,401	13,848	15,659	18,062	19,037	19,943	23,337
25	8,649	10,520	11,524	12,697	13,120	14,611	16,473	18,940	19,939	20,867	24,337
26	9,222	11,160	12,198	13,409	13,884	15,379	17,292	19,820	20,843	21,792	25,336
27	9,803	11,808	12,879	14,125	14,573	16,151	18,114	20,703	21,749	22,719	26,336
28	10,391	12,461	13,565	14,847	15,308	16,928	18,939	21,588	22,657	23,647	27,336
29	10,986	13,121	14,256	15,574	16,047	17,708	19,768	22,475	23,567	24,577	28,336
30	11,588	13,787	14,953	16,306	16,791	18,493	20,599	23,364	24,478	25,508	29,336

Для больших ν

,

где zQ является нормальным отклонением, отсекающим соответствующие края нормального распределения. Таким образом, когда zQ = 1,96, мы получаем значения χ2 для Q = 0,975 и Q = 0,025, или Р = 0,025 и Р = 0,975.

ν			Вероятность
	0,30	0,25	0,20	0,10	0,05	0,025	0,02	0,01	0,005	0,001
1	1,074	1,323	1,642	2,706	3,841	5,024	5,412	6,635	7,879	10,827
2	2,408	2,773	3,219	4,605	5,991	7,378	7,824	9,210	10,597	13,815
3	3,665	4,108	4,642	6,251	7,815	9,348	9,837	11,345	12,838	16,268
4	4,878	5,385	5,989	7,779	9,488	11,143	11,668	13,277	14,860	18,465
5	6,064	6,626	7,289	9,236	11,070	12,832	13,388	15,086	16,750	20,517
6	7,231	7,841	8,558	10,645	12,592	14,449	15,033	16,812	18,548	22,457
7	8,383	9,037	9,803	12,017	14,067	16,013	16,622	18,475	20,278	24,332
8	9,524	10,219	11,030	13,362	15,507	17,535	18,168	20,090	21,955	26,125
9	10,656	11,389	12,242	14,684	16,919	19,023	19,679	21,666	23,589	27,877
10	11,781	12,549	13,442	15,987	18,307	20,483	21,161	23,209	25,188	29,588
11	12,899	13,701	14,631	17,275	19,675	21,920	22,618	24,725	26,757	31,264
12	14,011	14,845	15,812	18,549	21,026	23,337	24,054	26,217	28,300	32,909
13	15,119	15,984	16,985	19,812	22,362	24,736	25,472	27,688	29,819	34,528
14	16,222	17,117	18,151	21,064	23,685	26,119	26,873	29,141	31,319	36,123
15	17,322	18,245	19,311	22,307	24,996	27,488	28,259	30,578	32,801	37,697
16	18,418	19,369	20,465	23,542	26,296	28,845	29,633	32,000	34,267	39,252
17	19,511	20,489	21,615	24,769	27,587	30,191	30,995	33,409	35,718	40,790
18	20,601	21,605	22,760	25,989	28,869	31,526	32,346	34,805	37,156	42,312
19	21,689	22,718	23,900	27,204	30,144	32,852	33,687	36,191	38,582	43,820
20	22,775	23,828	25,038	28,412	31,410	34,170	35,020	37,566	39,997	45,315
21	23,858	24,935	26,171	29,615	32,671	35,479	36,343	38,932	41,401	46,797
22	24,939	26,039	27,301	30,813	33,924	36,781	37,659	40,289	42,796	48,268
23	26,018	27,141	28,429	32,007	35,172	38,076	38,968	41,638	44,181	49,728
24	27,096	28,241	29,553	33,196	36,415	39,364	40,270	42,980	45,558	51,179
25	28,172	29,339	30,675	34,382	37,652	40,646	41,566	44,314	46,928	52,620
26	29,246	30,434	31,795	35,563	38,885	41,923	42,856	45,642	48,290	54,052
27	30,319	31,528	32,912	36,741	40,113	43,194	44,140	46,963	49,645	55,476
28	31,391	32,620	34,027	37,916	41,337	44,461	45,419	48,278	50,993	56,893
29	32,461	33,711	35,139	39,087	42,557	45,722	46,693	49,588	52,336	58,302
30	33,530	34,800	36,250	40,256	43,773	46,979	47,962	50,892	53,672	59,703

Для очень больших ν

.

Приложение 4

Греческий алфавит

Α α	альфа	Ν ν	ню
Β β	бета	Ξ ξ	кси
Γ γ	гамма	Ο ο	омикрон
Δ δ	дельта	Π π	пи
Ε ε	эпсилон	Ρ ρ	ро
Ζ ζ	дзета	Σ σ	сигма
Η η	эта	Τ τ	тау
Θ θ	тета	Υ υ	ипсилон
Ι ι	йота	Φ φ	фи
Κ κ	каппа	Χ χ	хи
Λ λ	ламбда	Ψ ψ	пси
Μ μ	мю	Ω ω	омега

Комментарии:

Вы не можете оставлять комментарии. Пожалуйста, зарегистрируйтесь.