Курсовая работа: Группы симметрий правильных многогранников
Правильные многогранники известны человечеству с давних времен. Так, например, недавно в Шотландии при раскопках были обнаружены камни, ограненные в виде всех пяти правильных многогранников. Эти находки относят ко второму тысячелетию до нашей эры.
Дата добавления на сайт: 02 марта 2025
План
Введение
Глава 1. Понятие группы
§1. Определение группы
§2. Разновидности групп
§3. Действие группы на множестве
§4. Группы симметрий
Глава 2. Лемма Бернсайда о количестве орбит
§1. Формулировка и доказательство
§2. Задачи о раскрасках
Заключение
Литература
Введение
Правильные многогранники известны человечеству с давних времен. Так, например, недавно в Шотландии при раскопках были обнаружены камни, ограненные в виде всех пяти правильных многогранников. Эти находки относят ко второму тысячелетию до нашей эры.
Первое письменное упоминание о правильных многогранниках принадлежит грекам. Пифагорейцам были известны тетраэдр, куб и октаэдр. Описание додекаэдра и икосаэдра приписывается Теэтету Афинскому (начало IV в. до н.э.); он же доказал, что других правильных многогранников не существует.
Самый термин «группа» принадлежит французскому математику Галуа - подлинному создателю теории групп. Идеи теории групп «носились» в воздухе задолго до Галуа, и некоторые из ее теорем в наивной форме были доказаны еще Лагранжем. Гениальные работы Галуа оказались непонятыми, и возрождение интереса к ним началось только после книги Жордана «Курс теории перестановок и алгебраических уравнений» (1870г.).
Группы симметрии многогранников изучались многими математиками и кристаллографами. После того, как Лежандр (1833) впервые ввёл математическое понятие симметрии в геометрию, Р.-Ж. Гаюи применил это понятие в кристаллографии. В дальнейшем изучение возможных видов симметрии многогранников было продолжено И.Ф.Х. Гесселем и О.Браве.
Глава 1. Понятие группы
§1. Определение группы
Рассмотрим множество G всех n × n-матриц с вещественными коэффициентами и с отличным от нуля определителем. . Видно, что А, B далее, (АВ) C = А (ВC) и существует выделенная матрица Е такая, что АЕ = = ЕА = А для всех А . Кроме того, у каждой матрицы А имеется «антипод» - обратная матрица , для которой А = А = Е.
Множество G рассматриваемое вместе с законом композиции (бинарной операцией) (А, В) и называемое полной линейной группой степени n над R, можно было бы коротко определить, как подмоноид всех обратимых элементов моноида .
Пусть Х - произвольное множество. Бинарной алгебраической операцией на Х называется произвольное (но фиксированное) отображение декартова квадрата Чаще всего бинарную операцию на Х обозначают каким-нибудь специальным символом:
Бинарная операция на множестве Х называется ассоциативной, если
Множество Х с заданной на нём бинарной ассоциативной операцией называется полугруппой. Полугруппу с единичным (нейтральным) элементом принято называть ещё моноидом.
Как и для всякого множества, мощность моноида М=(М, ) обозначается символом Card M или .
Подмножество полугруппы S с операцией называется подполугруппой, если хдля всех x, у. В этом случае говорят ещё, что подмножество S замкнуто относительно операции (М, ) - моноид, а подмножество не только замкнуто относительно операции , но и содержит единичный элемент, то
Определение. Моноид G, все элементы которого обратимы, называется группой. Другими словами, предполагаются выполненными следующие аксиомы:
(G0) на множестве G определена бинарная операция: (х,у) ху
(G1) операция ассоциативна: (ху)z = х(уz) для всех х, у, z G;
(G2) G обладает нейтральным (единичным) элементом е: хе = ех = х для всех x G
(G3) для каждого элемента x G существует обратный
§2. Разновидности групп
Группа с коммутативной операцией называется коммутативной, а еще чаще - абелевой. Почти всё сказанное выше о моноидах переносится на группы.
Подмножество Н G называется подгруппой в G, если e H; H H и . Подгруппа собственная, если
Приведём несколько примеров групп.
В полной линейной группе G(R) рассмотрим подмножество S(R) матриц с определителем 1:
S(R) = {}.
E . . (R)подгруппа в ; она носит название специальной линейной группы степени п над R. Ее называют еще и унимодулярной группой.
Используя рациональные числа вместо вещественных, мы придем к полной линейной группе степени n над Q и к ее подгруппе S(Q). В свою очередь S(Q) cодержит подгруппу S(Z) целочисленных матриц с определителем 1. S(Z) - также является группой. Частично упорядоченное множество рассмотренных подгрупп группы G(R) изображается диаграммой.
Положив в примерах 1) и 2) n=1, мы придем, во-первых, к мультипликативным группам
вещественных и рациональных чисел. Эти группы бесконечны. Так как в (Z, ∙ , 1) обратимыми элементами являются только 1 и -1, то = {± 1). Далее, S(R) = S(Q) = S(Z) = 1. Но уже при п = 2 группа S(Z) бесконечна: ей принадлежат, например, все матрицы
Бесконечные аддитивные группы:
Циклические группы.
Пусть G - мультипликативная группа (т. е. с операцией умножения), а - ее фиксированный элемент. Если любой элемент g записывается в виде для некоторого n Z, то говорят, что - циклическая группа с образующим а (или циклическая группа, порожденная элементом а). Аналогично циклическая группа определяется в аддитивном случае: . Это, конечно, не означает, что все элементы ап или па попарно различны. Условимся в обозначении и убедимся в справедливости следующего утверждения.
Теорема 1: Каковы бы ни были m, n ,
( соответственно
Доказательство: При неотрицательных m, n. Если
.
При имеем
(или ).
Аналогично рассматривается случай
Равенство (ат)п=атп вытекает из предыдущего и достаточно очевидно из определения степеней.
Простейшим примером циклической группы служит аддитивная группа целых чисел (Z,+, 0), порожденная обычной единицей 1 или 1. Множество {1,-1} является по умножению циклической группой порядка 2.
Пусть снова G - произвольная группа, а - некоторый ее элемент. Имеются две возможности: 1) Все степени элемента а различны, .т. е. . В этом случае говорят, что элемент а имеет бесконечный порядок. 2) Имеются совпадения ат = ап при . Если, например, т > п, то т. е. существуют положительные степени элемента а , равные единичному элементу. Пусть q- наименьший положительный показатель, для которого = е. Тогда говорят, что а - элемент конечного порядка q. В конечной группе G (Card G и естественных науках, часто для обнаружения внутренней симметрии объектов. Внутренняя симметрия обычно связана с инвариантными свойствами; множество преобразований, которые сохраняют это свойство, вместе с операцией композиции, образуют группу, называемую группой симметрии.
В теории Галуа, которая и дала начало понятию группы, группы используются для описания симметрии уравнений, корнями которых являются корни некоторого полиномиального уравнения . Из-за важной роли, которую они играют в этой теории, получили своё название разрешимые группы .
Абелевы группы (т.е. группы, в которых операция коммутативна ) являются основой для построения более сложных объектов абстрактной алгебры, таких как кольца , поля и модули .
Понимание теории групп также очень важно для физики и других естественных наук. В химии группы используются для классификации кристаллических решёток и симметрий молекул . В физике группы используются для описания симметрий, которым подчиняются физические законы. Особенно важны в физике представления групп , в частности, групп Ли, так как они часто указывают путь к «возможным» физическим теориям.
Литература
Богопольский О. В. «Введение в теорию групп» 2002г.
Калужнин Л.А., Сущанский В.И. «Преобразования и перестановки» 1985г.
Кострикин А.И. «Введение в алгебру» 1977г.