Курсовая работа: Интегральное определение логарифма и его исторические корни

В данной курсовой работе будет рассмотрено интегральное определение логарифма и его исторические корни.

Дата добавления на сайт: 03 марта 2025

КУРСОВАЯ РАБОТА
Интегральное определение логарифма и его исторические корни
Содержание

Введение
Глава 1. Исторические аналоги некоторых современных определений логарифма
§1 Характеристика Европейской математики 17 века
§2 Логарифмы как средство вычислений
п.1 Определение логарифма Иоста Бюрги
п.2 Определение логарифма Джона Непера
§3 Интегральные методы 17 века
§4 Грегуар де Сен-Венсан: нахождение площади под гиперболой
§5 Метод Николая Меркатора нахождения площади под гиперболой
Глава 2. Некоторые современные определения логарифмов
§1 Об историко - генетическом методе
§2 Логарифм как показатель степени
§3 Введение логарифма в школьном курсе математики как площадь под гиперболой
§4 Интегральное определение логарифма
Заключение
Список литературы

Введение

В данной курсовой работе будет рассмотрено интегральное определение логарифма и его исторические корни.
Логарифм - число, применение которого позволяет упростить многие сложные операции арифметики. Использование в вычислениях вместо чисел их логарифмов позволяет заменить умножение более простой операцией сложения, деление - вычитанием, возведение в степень - умножением и извлечение корней - делением. Логарифмы были придуманы для ускорения и упрощения вычислений.
В период математики переменных величин в связи с появлением функциональных представлений и развитием интегрального и дифференциального исчисления появилась возможность по другому подойти к определению логарифма.
Объект исследования - история логарифмов.
Предмет - история интегрального определения логарифма.
Цель курсовой работы: найти исторические аналоги интегрального определения и сравнить с современными.
Задачи:
.изучить литературу по данной теме;
.рассмотреть определения логарифма у Джона Непера и Иоста Бюрги;
.найти исторические аналоги интегрального определения логарифма;
.привести определения логарифма как показателя степени; интегральное определение логарифма, вывести свойства и сравнить их;
.сравнить исторические и современные определения логарифмов;
.изучить возможность введения логарифма в школьном курсе математики как площади под гиперболой;
.познакомиться с историко-генетическим методом;
.рассмотреть возможность введения логарифма историко-генетическим методом в школьном курсе математики;
.структурировать материал по главам и параграфам.
Гипотеза: возможно вводить логарифмы в школьном курсе математики как площадь под гиперболой, опираясь на исторические корни этого определения.
Курсовая работа состоит из двух глав. В первой главе прослеживается исторические аналоги некоторых современных определений логарифма. Вторая глава описывает некоторые современные определения логарифма и возможность применения историко-генетического метода при введении этого понятия.

Глава1. Исторические аналоги некоторых современных определений логарифма

§1 Характеристика Европейской математики 16-17 века

На протяжении 16 века быстро возрастало количество приближенных вычислений, прежде всего в астрономии. Совершенствование инструментов, исследование планетных движений и другие работы потребовали колоссальных, иногда многолетних, расчетов. Астрономам грозила реальная опасность утонуть в невыполненных расчетах. Трудности возникли и в других областях, например, в финансовом и страховом деле нужны были таблицы сложных процентов для различных значений процента. Главную трудность представляли умножение, деление многозначных чисел, особенно тригонометрических величин.
С 17 в. начинается существенно новый период развития математики. Круг количественных отношений и пространственных форм, изучаемых теперь математикой, уже не исчерпывается числами, величинами и геометрическими фигурами. В основном это было обусловлено явным введением в математику идей движения и изменения. Уже в алгебре в скрытом виде содержится идея зависимости между величинами (значение суммы зависит от значений слагаемых и т. д.). Однако чтобы охватить количественные отношения в процессе их изменения, надо было самые зависимости между величинами сделать самостоятельным объектом изучения. Поэтому на первый план выдвигается понятие функции, играющее в дальнейшем такую же роль основного и самостоятельного предмета изучения, как ранее понятия величины или числа.
Изучение переменных величин и функциональных зависимостей приводит к далее к основным понятиям математического анализа, вводящим в математику в явном виде идею бесконечного, к понятиям предела, производной, дифференциала и интеграла. Создается анализ бесконечно малых, в первую очередь в виде дифференциального исчисления и интегрального исчисления, позволяющий связывать конечные изменения переменных величин с их поведением в непосредственной близости отдельных принимаемых или значений. Основные законы механики и физики записываются в форме дифференциальных уравнений, и задача интегрирования этих уравнений выдвигается в качестве одной из важнейших задач математики. Разыскание неизвестных функций, определенных условиями другого рода (условиями минимума или максимума некоторых связанных с ними величин), составляет предмет вариационного исчисления.
Таким образом, наряду с уравнениями, в которых неизвестными являются числа, появляются уравнения, в которых неизвестны и подлежат определению функции.

§2 Логарифмы как средство вычислений

Первые идеи логарифмического вычисления в их грубейшей форме возникли из сопоставления членов геометрической прогрессии с арифметической прогрессией их порядковых номеров или же чисел, им пропорциональных.
Следы такого сопоставления восходят к древности и довольно ясно выражены в одном месте Архимедова «Псаммита». Это небольшой арифметический трактат. Почти сто лет назад «Псаммит» был переведен на русский язык Ф. Петрушевским (в 1824 г.). Но эта книга представляет библиографическую редкость, а язык перевода, в общем довольно точного, слишком тяжел и архаичен.
И в своем «Псаммите» Архимед выражается так: „Если будет дан ряд чисел в непрерывной пропорции (т. е., по нашей терминологии, находящихся в геометрической прогрессии), начиная от единицы, и если два члена его перемножить, то произведение будет членом того - же ряда, настолько удаленным от большего множителя, на - сколько меньший удален от единицы; он же будет удален от единицы одним членом меньше против того, насколько удалены от нас оба множителя вместе\".
При современных обозначениях смысл этого места можно передать так: если с геометрической прогрессией 1, α, α²,αᵌ,... сопоставить арифметическую прогрессию порядковых номеров её членов 1, 2, 3, 4,..., то произведение двух членов первой аᵐ и аⁿ будет членом той же прогрессии, порядковый номер которого равен сумме порядковых номеров множителей без единицы, т. е. m+n-1.
Это, хотя и простое, но важное замечание Архимеда не осталось незамеченным и повторяется почти во всех значительных сочинениях XV и XVI столетий с тем лишь улучшением более позднего происхождения, что за порядковые номера членов геометрической прогрессии принимаются числа 0, 1, 2, 3,... или им пропорциональные. Так, у французского математика Chuquet в его сочинении 1484 года LeTripаrty сnlascicncecles Nombres\" мы находим, в виде примеров, сопоставление прогрессий 0, 1, 2, 3,... или 0, 1, 2, 3,…. 1, 2, 4, 8,… 1, 3, 9, 27,… с вполне ясным указанием на то, что произведению двух членов геометрической прогрессии отвечает в арифметической прогрессии член, равный сумме тех, которые отвечают множителям.
Похожие замечания, которые были у Архимеда встречаются и у других авторов.

п.1 Определение логарифма Бюрги
Швейцарец Иост Бюрги (1552-1632) был высококвалифицированным механиком и часовых дел мастером, математику он изучил самостоятельно. Он состоял придворным часовщиком, а также мастером астрономических инструментов сначала в Касселе, затем с 1603 г. в Праге, где сблизился с Кеплером. Мы не знаем, когда в точности Бюрги приступил к созданию своих таблиц, но, вероятно, они были готовы около 1610 г. Бюрги долго медлил с их изданием, и они вышли в свет уже после двух трудов Непера; за эту задержку Кеплер впоследствии порицал своего друга. Книга Бюрги озаглавлена «Таблицы арифметической и геометрической прогрессий, вместе с основательным наставлением, как их нужно понимать и с пользой применять во всяческих вычислениях»
Бюрги - об этом он писал сам - исходил из соображений о соответствии между умножением в геометрической прогрессии и сложением в арифметической, которые он почерпнул, правда, не у Штифеля (так как не знал латыни), а у других авторов, писавших по-немецки. Задача состояла в выборе прогрессии со знаменателем, достаточно близким к единице с тем чтобы ее члены следовали друг за другом с интервалами, достаточно малыми для практических вычислений. Бюрги взял знаменатель 1,0001 и сопоставил числа 0, 10, 20,..., 10n,... арифметической прогрессии с членами геометрической 10000000, 100010000, 100020001,..., 108·1,0001ⁿ,... Первые числа, напечатанные красной краской, называются красными, вторые напечатаны черной краской и называются черными. Красные числа являются логарифмами черных, разделенных на 108, при основании . Множитель 108 введен для того, чтобы по возможности долго избегать дробей. Так как таблицы расположены по красным числам, то они представляют собой таблицы антилогарифмов (термин, введенный в этом смысле Валлисом, 1693). Поэтому для умножения и деления черных чисел чаще всего нужна интерполяция. Вычислены черные числа с девятью верными цифрами.
Красные числа следуют с интервалом в десять, за одним исключением. Таблица черных чисел начинается с 108, и Бюрги заканчивает ее черным числом 108, для которого с помощью интерполяции вычисляет «полное красное число» 230270,022. Это число применяется при делении a/b, когда аb, Бюрги вычитает из красного числа для a красное число для b и находит черное число, соответствующее результату; полученное число дает восемь десятичных знаков дроби a/b.
Таблицы Бюрги не получили значительного распространения. Они не могли конкурировать с таблицами Непера, более удобными и к тому же к 1620 г. уже широко известными.

п.2 Определение логарифма Непера
К открытию логарифмов Непер пришел не позднее 1594 г., но лишь двадцать лет спустя опубликовал свое «Описание удивительной таблицы логарифмов» 1614, содержавшее определение неперовых логарифмов, их свойства и таблицы логарифмов синусов и косинусов от 0 до 90° с интервалом в 1\', а также разности этих логарифмов, дающие логарифмы тангенсов. Теоретические выводы и объяснения способа вычисления таблицы он изложил в другом труде, подготовленном, вероятно, до «Описания», но изданном посмертно, в «Построении удивительной таблицы логарифмов», 1619г. В обоих сочинениях Непер рассматривает и некоторые вопросы тригонометрии. Особенно известны удобные для логарифмирования «аналогии», т. е. пропорции Непера, применяемые при решении сферических треугольников по двум сторонам и углу между ними, а также по двум углам и прилежащей к ним стороне.
В отличие от Бюрги, сопоставившего две дискретные прогрессии, Непер с самого начала вводил понятие логарифма для всех значений непрерывно меняющихся тригонометрических величин - синуса и косинуса. При тогдашнем состоянии математики, когда еще не было аналитического аппарата исчисления бесконечно малых, естественным и единственным средством для этого являлось кинематическое определение логарифма. Быть может, здесь не остались без влияния и традиции, восходившие к оксфордской школе XIV в. Исходные определения из «Описания»:
«Опp. 1. Говорят, что линия растет равномерно, когда описывающая ее точка проходит в равные моменты равные промежутки.
Опр.2. Говорят, что линия сокращается пропорционально, когда пробегающая по ней точка в равные моменты отсекает отрезки, сохраняющие постоянно одно и то же отношение к тем линиям, от которых они отсекаются
Опр.3. Говорят, что количества иррациональные, или невыразимые числом, определяются числами с наибольшим приближением, когда они определяются большими числами, отличающимися от истинных значений иррациональных количеств меньше, чем на единицу.
Опр.4. Синхронными движениями называются те, которые происходят вместе и в течение одного и того же времени.
Опр.5 и постулат. Так как существуют движения как более медленные, так и более быстрые, чем всякое данное движение, то отсюда необходимо следует, что существует движение равно быстрое всякому данному (которое определяется как движение ни более медленное, ни более быстрое, чем данное).
Опр.6.Логарифмом всякого синуса называется, наконец, число, определяющее с наибольшим приближением линию, возрастающую равномерно, между тем как линия полного синуса убывает пропорционально до величины данного синуса, причем оба движения синхронны и вначале равно быстры».
Здесь в геометрическом выражении высказаны многие замечательные идеи. Отметим только своеобразную формулировку идеи о непрерывности в третьем определении и обратимся к основному, шестому определению логарифма.
Если изобразить полный синус, т. е. радиус круга, у Непера равный 107, отрезком АВ, а линию синуса - отрезком YB= у, то логарифмом у (обозначим его Lу) будет отрезок ОХ = х, проходимый точкой X, начинающей движение из О с постоянной скоростью v0, за то самое время, в какое точка Y, одновременно выходящая из А с той же начальной скоростью v0, проходит отрезок AY со скоростью, пропорциональной расстоянию, остающемуся до другого конца В, т. е. пропорциональной YB. На языке дифференциального исчисления






.

Как видно, неперов логарифм числа у не есть, как иногда пишут в учебниках анализа, натуральный логарифм этого числа: Ly выражается через ln у линейно. Многие свойства логарифмов Непера поэтому несколько отличаются от свойств логарифмов в нашем смысле слова. Главное, конечно, у них общее: если четыре числа образуют геометрическую пропорцию1:y2=y3:y4 то их логарифмы составляют арифметическую пропорцию1 Ly2 = Ly3 Ly4, т.е. геометрической прогрессии чисел соответствует арифметическая прогрессия логарифмов. Однако, поскольку = 107 ln 107, т. е. L1 не равен нулю, правила действий усложняются: так, например,
(ab) = La + LbL1, L =La Lb + L1

и т. п. В примерах Непера, правда, L1 выпадает, но лишь потому, что в них вычисляются четвертая и средняя пропорциональные, например:

= L (ab) - Lc + L1=La + Lb - Lc.

Нулю равен неперов логарифм числа 107, т. е. полного синуса или радиуса. Этого и добивался Непер, имевший в виду прежде всего тригонометрические вычисления. Поскольку тригонометрические величины рассматривались еще не в отношении к радиусу, а как отрезки, выраженные в тех же единицах, что полный синус, последний входил в формулы и на него часто приходилось умножать и делить. Равенство нулю логарифма полного синуса представляло в таких условиях определенные преимущества. По мере уменьшения натуральных значений синуса неперов логарифм возрастает, а при синусе, равном нулю, обращается в бесконечность. В таблице Непера в строке, в которой в графе синуса обозначен 0, в графе логарифма синуса стоит слово Infinitum- «бесконечность».
Разумеется, Непер не записывал и не интегрировал приведенное выше дифференциальное уравнение, которое выражает кинематическое определение логарифма. Но фактически его прием составления таблиц равносилен приближенному численному решению дифференциального уравнения. Сначала находится весьма малый отрезок, проходимый точкой X, когда точка Y перемещается из начального положения А на расстояние 1, т. е. вычисляется L9999999. Опираясь на представление о мгновенной скорости и сравнивая скорости точек X иY, Непер выводит, что

7-y0,a>0 и a≠1) называют основным логарифмическим тождеством.
Основные свойства логарифмов.:
При любых a>0 и (a≠1) и любых положительных x и y выполнены равенства:

1°
°
°
° .
°

для любого действительного p.
Для доказательства правила 3° воспользуемся основным логарифмическим тождеством:
х=alogaх у=alogaу

перемножая почленно эти равенства, получаем:

ху= alogaх · alogaу =alogaх + logaу
т.е. ху=alogaх + logaу

Следовательно, по определению логарифма



Для доказательства правила 5°воспользуемся тождеством х=alogaх откуда xp =(alogaх)p=aᴾlogaх. Следовательно, по определению



Основное свойство логарифмов широко применяется в ходе преобразования выражений. содержащих логарифмы. Докажем, например, формулу перехода от одного основания логарифма к другому основанию:



Эта формула верна, если обе части имеют смысл, т.е. при х>0, a>0 и a≠1, b>0 и b≠1.
По правилу логарифмирования степени и основному логарифмическому тождеству получаем:


откуда


разделив обе части полученного равенства на , приходим к нужной формуле.
П р и м е р ы:
3 81 = 4, так как 34 = 81; 1/3 27 = - 3, так как (1/3)3 = 33 = 27.

Десятичным логарифмом называется логарифм по основанию 10. Он обозначается lg, т.е. 1оg 10 N = lg N. Логарифмы чисел 10, 100, 1000,... равны соответственно 1, 2, 3,..., Т.е. имеют столько положительных единиц, сколько нулей стоит в логарифмируемом числе после единицы. Логарифмы чисел 0.1, 0.01, 0.001,... равны соответственно -1, -2, -3,..., Т.е. имеют столько отрицательных единиц, сколько нулей стоит в логарифмируемом числе перед единицей (считая и нуль целых). Логарифмы остальных чисел имеют дробную часть, называемую мантиссой. Целая часть логарифма называется характеристикой. Для практического применения десятичные логарифмы наиболее удобны.
Натуральным логарифмом называется логарифм по основанию е. Он обозначается ln, т.е. 1оg е N = ln N. Число е является иррациональным, его приближённое значение 2.718281828. Оно является пределом, к которому стремится число (1 + 1 / n) n при неограниченном возрастании n. Как это ни покажется странным, натуральные логарифмы оказались очень удобными при про ведении различного рода операций, связанных с анализом функций. Вычисление логарифмов по основанию е осуществляется гораздо быстрее, чем по любому другому основанию.
Число е является иррациональным числом - числом, несоизмеримым с единицей, оно не может быть точно выраженным ни целым ни дробным рациональным числом.
Буква е - первая буква латинского слова exponere - выставлять напоказ, отсюда в математике название экспоненциальная - показательная функция. Число е широко применяется в математике, и во всех науках, так или иначе применяющих для своих нужд математические расчеты.

§3. Введение логарифма в школьном курсе математики как площадь под гиперболой

Ту же идею сопоставления арифметической и геометрической прогрессии можно интерпретировать так.
Рассмотрим геометрическую прогрессию, у которой а = 2; q = 1,2.
Строим оси координат и график гиперболы у =



Вдоль оси Ох откладываем от начальной точки О последовательно отрезки:
Величина площади таких фигур не зависит от длины отрезков

…=q=1,2.



Получаем:
площадь на отрезке [1... 1 ] = O.

» » » [1... q] = S;
» » » [1... q²] = 2S;
» » » [1... q³] = 3S;
» » » [1... q] = 4S;
.............................................................
» » » [1... qⁿ] = nS₀;

И здесь имеет место соответствие между геометрической прогрессией
Связь между геометрической прогрессией длин отрезков и арифметической прогрессией площадей можно формулировать cлeдующим образом: возвышению в степень длины отрезка q соответствует умножение площади S на число n. Площадь криволинейной трапеции над отрезком (1,х) оси абсцисс, ограниченная дугой равнобочной гиперболы, представляет собой натуральный логарифм числа x.
Ф.Клейн (1849-1925) принадлежит к числу математиков-классиков обогативших науку новыми идеями и в значительной степени определивших её лицо излагает свою идею введения логарифмов в школе по простому и естественному способу: по его мнению основным принципом должно быть признание квадратуры уже известных кривых правильным источником для введения новых функций. Это соответствует, с одной стороны, историческому положению вещей, а с другой, методу, применяемому в высших частях математики. Следуя этому общему принципу, надо исходить из гиперболы ɳ=и назвать логарифмом х число, измеряющее площадь, которая содержится между кривой и осью абсцисс, а с боков ограничена ординатами боков ограничена ординатами и =х



Передвигая вторую ординату, можно легко на основании геометрической интуиции составить себе качественное представление об изменении этой площади при изменении х и, следовательно, приблизительно построить кривую у= ln х. Чтобы возможно более просто получить функциональное уравнение логарифма, можно, например, исходить из равенства



которое получается при преобразовании cпеременных интегрирования; это равенство говорит, что площадь, заключенная между ординатами 1 и х, равна площади, заключенной между ординатами с и с х, в с раз более удаленными от начала. Этот факт легко сделать весьма наглядным геометрически, если обратить внимание на то, что величина площади должна оставаться неизменной, если передвигать ее под гиперболой и в то же время растягивать в такой же мере, в какой уменьшается высота. Но из этой теоремы вытекает непосредственно теорема сложения!


Этот путь можно применить в школьной практике.

§4 Интегральное определение логарифма

В современных учебниках по высшей математике даётся интегральное определение логарифма, его суть та же что и площади под гиперболой, но присутствует интеграл.
Понятие интеграла позволяет определить некоторые элементарные функции с помощью интеграла. Определим функцию ln x равенством
логарифм вычисление интеграл функция


1.Так как функция f(t)= непрерывна в интервале (0,+∞), то интеграл (1) существует в том же интервале изменения x и, следовательно, интервал (0,+∞) является областью определения функции ln x.
.Функция ln x дифференцируема (и поэтому непрерывна) в каждой точке области определения.

(ln x)\'=

.Функция ln x возрастает в интервале (0,+∞). Это следует из того что в данном интервале, то есть (ln x)\' >0


5. Для любых a > 0 и b>0 ln (a·b)=ln a+ln b. Для доказательства рассмотрим функцию g(x) = ln(ax). Ее производная g(x)\'=, но тогда ln (ах) и ln x являются различными первообразными функции и поэтому
(ах)= ln х + С.

Полагая в этом равенстве x=1, получаем lna =С. Таким образом,
(ах)= ln х + ln a

Очевидно, методом математической индукции это свойство распространяется на любое конечное число слагаемых. Из равенства

ln a=)+lnb

Получаем

)=ln a ̶ ln b

. Для любого xϵ(0,∞) и любого действительного a справедливо равенство

ln(xª)=a ln x

. Множество значений функции ln x есть все множество действительных чисел. В самом деле, в силу непрерывности функции ln x множество её значений есть промежуток, но этот промежуток не ограничен сверху и снизу, так как, например, ln2n =nln2, а ln2-n =-nln2.
Заключение

В данной курсовой работе мы рассмотрели исторические аналоги некоторых современных определений логарифма и современные определения логарифма. Трехсотлетняя практика всех вычислителей вполне доказала, что благодаря логарифмам числовые вычисления были чрезвычайно облегчены.
Таким образом, с точки зрения вычислительной практики, изобретение логарифмов по важности можно смело поставить рядом с другим более древним великим изобретением Индусов- нашей десятичной системой нумерации..
История логарифмов служит одним из бесчисленных подтверждений мысли о взаимоотношении теории и практики, блестяще выраженной великим русским математиком П. Л. Чебышевым: «Практика предлагает вопросы существенно новые для науки и, таким образом, вызывает на изыскание совершенно новых метод. Если теория много выигрывает от новых приложений старой методы или от новых развитей ее, то она еще больше приобретает открытием новых метод, и в этом случае науки находят себе верного руководителя в практике».
Были изучены 17 источников по данной теме. Нашли исторические аналоги интегрального определения логарифма, рассмотрели определения Джона Непера и Иоста Бюрги. Сравнили определения логарифмов как показателя степени, исторические и современные определение. Изучили возможность введения логарифма в школьном курсе математики как площадь под гиперболой. Наша гипотеза подтвердилась и мы убедились что логарифмы в школьном курсе математики можно вводить опираясь на исторические корни этого определения, но так как формат курсовой работы не позволяет этот объёмный вопрос раскрыть полностью, то более полно этот вопрос мы рассмотрим при выполнение дипломной работы. Использование на уроках элементов истории математики повышает интерес учащихся, имеет большое мировоззренческое и общекультурное значение, может оказывать воспитывающее влияние.

Список литературы

1Абельсон И.Б. Рождение логарифмов. М.: ГИТТЛ,- 1948.
Белобородова С.В. Об историко-генетическом методе.
Гиршвальд Л.Я. История открытия логарифмов. Харьков, -1952.
Глейзер Г.И. История математики в школе. -М.: Просвещение, -1964.
Глейзер Г.И. История математики в школе: 7-8 класс - М.: Просвещение.-1982.
Глейзер Г.И. История математики в школе: 9-10 класс - М.: Просвещение. - 1983.
История математики под редакцией А.П. Юшкевича в трёх томах, М.: Наука.
Том 1С древнейших времён до начала нового времени- М.: Наука, -1970.
Том 2 Математика17 столетия.- М.: Наука,- 1970
Том3 Математика18 столетия.- М.: Наука, -1972
11Малыгин К.А. Элементы историзма в преподавании математики в средней школе. - М.:Учпедгиз. - 1958.
12Маркушевич А.И. Площади и логарифмы.- М.: Наука -1979.
Математический энциклопедический словарь. Гл.ред Ю.В. Прохоров.
М.: Сов энциклопедия,1988.
Успенский Я.В. Очерк истории логарифмов. Петраград, -1923.
16Энциклопедический словарь юного математика. - М.: Педагогика. - 1989.
Клейн Ф. Элементарная математики с точки зрения высшей

Комментарии:

Вы не можете оставлять комментарии. Пожалуйста, зарегистрируйтесь.