Самостоятельная работа: Интерполяционная формула Гаусса

Иоганн Карл Фридрих Гаусс (30 апреля 1777 , Брауншвейг - 23 февраля 1855 , Гёттинген ) немецкий математик , механик , физик , астроном и геодезист . Считается одним из величайших математиков всех времён, «королём математиков»[3] .

Дата добавления на сайт: 27 февраля 2025
Кыргызский Национальный Университет ИМ. Ж. Баласагына

CPC
на тему: Интерполяционная формула Гаусса

Выполнил: ст.гр. “ПМиИбк-14”
Туляев Т.T.
Преподаватель кафедры “МИиК”
Назарбаев Ф.Т.

Введение

Иоганн Карл Фридрих Гаусс (30 апреля 1777 , Брауншвейг - 23 февраля 1855 , Гёттинген ) немецкий математик , механик , физик , астроном и геодезист . Считается одним из величайших математиков всех времён, «королём математиков»[3] . Лауреат медали Копли (1838), иностранный член Шведской (1821) и Российской (1824) Академий наук, английского Королевского общества .
Интерполяционные формулы, формулы, дающие приближённое выражение функции при помощи интерполяции , то есть через интерполяционный многочлен степени , значения которого в заданных точках совпадают со значениями функции в этих точках. Многочлен определяется единственным образом, но в зависимости от задачи его удобно записывать различными по виду формулами.

Первая и вторая интерполяционные формулы Гаусса
интерполяционный формула гаусс
Основным недостатком интерполяционных формул Ньютона является то, что они используют лишь односторонние значения функции. На практике часто оказывается полезным использовать формулы, в которых присутствуют как последующие, так и предыдущие значения функции по отношению к ее начальному значению .
Рассмотрим равноотстоящих узлов , в которых заданы значения некоторой функции Требуется найти полином степени не выше , такой, чтобы выполнялось условие

(1)
Будем искать полином в виде

(2)

Поступая по аналогии с выводом первой интерполяционной формулы Ньютона, для коэффициентов получим следующие выражения

(3)
Введем новую переменную и, подставляя преобразованные выражения для коэффициентов (3) в соотношение (2), получим первую интерполяционную формулу Гаусса (для интерполирования вперёд)

(4)

Разности используемые в этой формуле, образуют нижнюю ломаную линию в диагональной таблице разностей 1 (см. далее)
Если полином искать в виде



то аналогично (4) можно получить вторую интерполяционную формулу Гаусса (для интерполирования назад)

(5)

Разности , используемые в этой формуле, образуют верхнюю ломаную линию в диагональной таблице разностей 1
Формулы Гаусса применяются для интерполирования в середине таблицы вблизи . При этом первая формула Гаусса (4) применяется при , а вторая (5) - при

Таблица 1
Диагональная таблица разностей

<http://virtet.gsu.by/filter/tex/displaytex.php?x> <http://virtet.gsu.by/filter/tex/displaytex.php?y> <http://virtet.gsu.by/filter/tex/displaytex.php?\Delta+y> <http://virtet.gsu.by/filter/tex/displaytex.php?\Delta^2+y> <http://virtet.gsu.by/filter/tex/displaytex.php?\Delta^3+y> <http://virtet.gsu.by/filter/tex/displaytex.php?\Delta^4+y> <http://virtet.gsu.by/filter/tex/displaytex.php?\Delta^5+y> <http://virtet.gsu.by/filter/tex/displaytex.php?\Delta^6+y>
<http://virtet.gsu.by/filter/tex/displaytex.php?x_{-4}> <http://virtet.gsu.by/filter/tex/displaytex.php?y_{-4}>
		<http://virtet.gsu.by/filter/tex/displaytex.php?\Delta+y_{-4}>
<http://virtet.gsu.by/filter/tex/displaytex.php?x_{-3}> <http://virtet.gsu.by/filter/tex/displaytex.php?y_{-3}> <http://virtet.gsu.by/filter/tex/displaytex.php?\Delta^2+y_{-4}>
		<http://virtet.gsu.by/filter/tex/displaytex.php?\Delta+y_{-3}> <http://virtet.gsu.by/filter/tex/displaytex.php?\Delta^3+y_{-4}>
<http://virtet.gsu.by/filter/tex/displaytex.php?x_{-2}> <http://virtet.gsu.by/filter/tex/displaytex.php?y_{-2}> <http://virtet.gsu.by/filter/tex/displaytex.php?\Delta^2+y_{-3}> <http://virtet.gsu.by/filter/tex/displaytex.php?\Delta^4+y_{-4}>
		<http://virtet.gsu.by/filter/tex/displaytex.php?\Delta+y_{-2}> <http://virtet.gsu.by/filter/tex/displaytex.php?\Delta^3+y_{-3}> <http://virtet.gsu.by/filter/tex/displaytex.php?\Delta^5+y_{-4}>
<http://virtet.gsu.by/filter/tex/displaytex.php?x_{-1}> <http://virtet.gsu.by/filter/tex/displaytex.php?y_{-1}> <http://virtet.gsu.by/filter/tex/displaytex.php?\Delta^2+y_{-2}> <http://virtet.gsu.by/filter/tex/displaytex.php?\Delta^4+y_{-3}> <http://virtet.gsu.by/filter/tex/displaytex.php?\Delta^6+y_{-4}>
		<http://virtet.gsu.by/filter/tex/displaytex.php?\color{red}\Delta+y_{-1}> <http://virtet.gsu.by/filter/tex/displaytex.php?+\quad+\\+\searrow> <http://virtet.gsu.by/filter/tex/displaytex.php?\color{red}+\Delta^3+y_{-2}> <http://virtet.gsu.by/filter/tex/displaytex.php?+\quad+\\+\searrow> <http://virtet.gsu.by/filter/tex/displaytex.php?\color{red}+\Delta^5+y_{-3}> <http://virtet.gsu.by/filter/tex/displaytex.php?\quad+\\+\searrow>
<http://virtet.gsu.by/filter/tex/displaytex.php?x_0> <http://virtet.gsu.by/filter/tex/displaytex.php?y_0> <http://virtet.gsu.by/filter/tex/displaytex.php?\color{red}+\Delta^2+y_{-1}> <http://virtet.gsu.by/filter/tex/displaytex.php?\nearrow+\\+\searrow> <http://virtet.gsu.by/filter/tex/displaytex.php?\color{red}+\Delta^4+y_{-2}> <http://virtet.gsu.by/filter/tex/displaytex.php?\nearrow+\\+\searrow> <http://virtet.gsu.by/filter/tex/displaytex.php?\color{red}+\Delta^6+y_{-3}>
		<http://virtet.gsu.by/filter/tex/displaytex.php?\color{red}+\Delta+y_0> <http://virtet.gsu.by/filter/tex/displaytex.php?\nearrow> <http://virtet.gsu.by/filter/tex/displaytex.php?\color{red}+\Delta^3+y_{-1}> <http://virtet.gsu.by/filter/tex/displaytex.php?\nearrow> <http://virtet.gsu.by/filter/tex/displaytex.php?\color{red}+\Delta^5+y_{-2}> <http://virtet.gsu.by/filter/tex/displaytex.php?\nearrow>
<http://virtet.gsu.by/filter/tex/displaytex.php?x_1> <http://virtet.gsu.by/filter/tex/displaytex.php?y_1> <http://virtet.gsu.by/filter/tex/displaytex.php?\Delta^2+y_0> <http://virtet.gsu.by/filter/tex/displaytex.php?\Delta^4+y_{-1}> <http://virtet.gsu.by/filter/tex/displaytex.php?\Delta^6+y_{-2}>
		<http://virtet.gsu.by/filter/tex/displaytex.php?\Delta+y_1> <http://virtet.gsu.by/filter/tex/displaytex.php?\Delta^3+y_0> <http://virtet.gsu.by/filter/tex/displaytex.php?\Delta^5+y_{-1}>
<http://virtet.gsu.by/filter/tex/displaytex.php?x_2> <http://virtet.gsu.by/filter/tex/displaytex.php?y_2> <http://virtet.gsu.by/filter/tex/displaytex.php?\Delta^2+y_1> <http://virtet.gsu.by/filter/tex/displaytex.php?\Delta^4+y_0>
		<http://virtet.gsu.by/filter/tex/displaytex.php?\Delta+y_2> <http://virtet.gsu.by/filter/tex/displaytex.php?\Delta^3+y_1>
<http://virtet.gsu.by/filter/tex/displaytex.php?x_3> <http://virtet.gsu.by/filter/tex/displaytex.php?y_3> <http://virtet.gsu.by/filter/tex/displaytex.php?\Delta^2+y_2>
		<http://virtet.gsu.by/filter/tex/displaytex.php?\Delta+y_3>
<http://virtet.gsu.by/filter/tex/displaytex.php?x_4> <http://virtet.gsu.by/filter/tex/displaytex.php?y_4>

Заключение

Преимущество интерполяционной формулы Гаусса состоит в том, что указанный выбор узлов интерполяции обеспечивает наилучшую оценку остаточного члена по сравнению с любым другим выбором, а упорядоченность узлов по мере их близости к точке интерполяции уменьшает вычислительную погрешность интерполирования.

Список использованных источников

1.
.
. http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/940993
.
Приложение 1

<http://virtet.gsu.by/filter/tex/displaytex.php?x> <http://virtet.gsu.by/filter/tex/displaytex.php?y> <http://virtet.gsu.by/filter/tex/displaytex.php?\Delta+y> <http://virtet.gsu.by/filter/tex/displaytex.php?\Delta^2+y> <http://virtet.gsu.by/filter/tex/displaytex.php?\Delta^3+y> <http://virtet.gsu.by/filter/tex/displaytex.php?\Delta^4+y> <http://virtet.gsu.by/filter/tex/displaytex.php?\Delta^5+y>
0.43	1.63597
		0.09637
0.48	1.73234		0.04815
		0.14452		-0.03608
0.55	1.87686		0.01207		0.06243
		0.15659	<http://virtet.gsu.by/filter/tex/displaytex.php?+\quad+\\+\searrow>0.02635 <http://virtet.gsu.by/filter/tex/displaytex.php?+\quad+\\+\searrow>0.19084
0.62	2.03345		0.03842	<http://virtet.gsu.by/filter/tex/displaytex.php?\nearrow+\\+\searrow>-0.12841
		0.19501	<http://virtet.gsu.by/filter/tex/displaytex.php?\nearrow>-0.10216
0.70	2.22846		-0.06374
		0.13127
0.75	2.35973

(0.645)=2.03345+0.19501*((0.645-0.62)/0.05) -
-(-0.06374*((0.645-0.62)/0.05) *((((0.645-0.62)/0.05)-1)/2) =
=2, 1389225

Приложение 2

<http://virtet.gsu.by/filter/tex/displaytex.php?x> <http://virtet.gsu.by/filter/tex/displaytex.php?y> <http://virtet.gsu.by/filter/tex/displaytex.php?\Delta+y> <http://virtet.gsu.by/filter/tex/displaytex.php?\Delta^2+y> <http://virtet.gsu.by/filter/tex/displaytex.php?\Delta^3+y> <http://virtet.gsu.by/filter/tex/displaytex.php?\Delta^4+y> <http://virtet.gsu.by/filter/tex/displaytex.php?\Delta^5+y>
0.41	2,57418
0.46	2,32513
0.52	2,09336
		-0,23133
0.60	1,86203		0,11856
		-0,11277
0.65	1,74926		-0,01551
		-0,12828
0.72	1,62098

(0,673)= 1,74926+(-1,12828)*(( 0,673-0.65)/0,07)-
(-1,01551*((0,673-0.65)/0,07)*(((( 0,673-0.65)/0,07)-1)/2)=1,712954

Комментарии:

Вы не можете оставлять комментарии. Пожалуйста, зарегистрируйтесь.