Текст работы

Содержание

Введение
1. Теоретические основы изучения показательной и логарифмической функций в школьном курсе математики
1.1 Анализ учебников
.2 Основные понятия, связанные с понятиями показательной и логарифмической функций в школьном курсе математики
.3 Анализ результатов ЕГЭ 2012-2013 гг.
. Решение задач с использованием логарифмической и показательной функции в школьном курсе математики
.1 Обзор задач и упражнений на решение показательной логарифмической функций в школьном курсе математики
.2 Методика решения типовых задач, связанных с показательной и логарифмической функциями, в школьном курсе математики
.3 Подбор задач на нахождение и использование показательной и логарифмической функций в школьном курсе математики
Заключение
Список использованных источников

Введение

Изучение различных преобразований выражений и формул занимает значительную часть учебного времени в курсе школьной математики. Простые преобразования, опирающиеся на свойства арифметических операций, производятся уже в начальной школе и в IV-V классах. Но основная нагрузка по формированию умений и навыков выполнения преобразований приходится на школьный курс алгебры. Связано это как с быстрым увеличением числа и разнообразия совершаемых преобразований, так и с усложнением деятельности по их доказательству и выяснению условий применимости, с выделением и изучением понятий, преобразований. Данная исследовательская работа в области алгебры и начала анализа на тему "Изучение показательной и логарифмической функции в школьном курсе математики".
Большой вклад в разработку данной темы внес математик и механик - Леонард Эйлер. Близкое к современному понимание логарифмирования - как операции, обратной возведению в степень - впервые появилось у Валлиса и Иоганна Бернулли , а окончательно было узаконено Эйлером . В книге "Введение в анализ бесконечных" Эйлер дал современные определения показательной и логарифмической функций, привёл разложение их в степенные ряды, особо отметил роль натурального логарифма. Эйлеру принадлежит и заслуга распространения логарифмической функции на комплексную область.
Неслучайно то, что показательная функция играет важную роль в математике, её используют как математическую модель для большого класса процессов в области физики и экономики. Также в нахождении закономерностей этих процессов используется логарифмическая функция. Без изучения этих функций школьный курс математики имел бы меньшую значимость не только в математическом образовании, но и в формировании мышления учащихся, в осуществлении связи обучения математики с жизнью.
Первый раздел данной работы описывает основы изучения показательной и логарифмической функций в школьном курсе математики, так же включает анализ учебников и результатов ЕГЭ 2012-2013 гг. по исследуемой теме, рассматривается непосредственно сама показательная и логарифмическая функции.
Второй раздел включает решение примеров и задач с использованием показательной и логарифмической функций.
Объект исследования: процесс изучения показательной и логарифмической функций в школьном курсе математики.
Предмет исследования: содержание и методы изучения показательной и логарифмической функций в школьном курсе математики.
Цель исследования: проанализировать содержание и методы обучения, систематизировать задачи по теме материала "Показательная и логарифмическая функции".
На основании объекта и цели исследования следует рассмотреть следующие задачи:
.провести теоретический анализ школьных учебников, интернет-источников, педагогической и методической литературы по теме исследования;
.рассмотреть основные понятия, утверждения, типовые задачи, связанные с показательной и логарифмической функциями в школьном курсе математики;
.рассмотреть различные методики решения типовых задач;
.выполнить подбор и систематизацию задач на нахождение и использование показательной и логарифмической функций в школьном курсе математики.
Теоретическая значимость работы заключается в получении знаний, способствующих изучению различных сторон математических понятий показательной и логарифмической функций.
Практическая значимость исследования определяется тем, что учебные материалы, направлены на повышение уровня знаний понятий при изучении темы "Показательная и логарифмическая функции".

1. Теоретические основы изучения показательной и логарифмической функций в школьном курсе математики

.1 Анализ учебников

Проанализируем учебники по Алгебре и начала математического анализа таких авторов, как Колмогоров А.Н. и Мордкович А.Г.
В учебнике для 10-11 классов 2008 года общеобразовательных учреждений под редакцией А.Н. Колмогорова, авторы которого: А.Н. Колмогорова, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын, Б.М. Ивлев, С.И. Шварцбург, изучение темы "Показательная и логарифмическая функции" начинается в 11 классе.
Учебник Колмогорова А.Н. поможет старшеклассникам, подготовится к экзаменам и получит основу знаний для поступления в ВУЗ. Учебник написан на высоком научном уровне, основные теоретические положения иллюстрируются конкретными примерами. Каждый пункт книги содержит образцы решения типичных задач, соответствующих обязательному уровню подготовки по данной теме, и более трудные задачи для учащихся, хорошо и отлично усвоивших пройденный материал. Вопросы и задачи на повторение, которыми заканчивается четвертая глава учебника, позволят учащимся проконтролировать свои знания и умения, а также могут быть использованы учителем при проведении итогового опроса или зачета. Упражнения для повторения всего темы помещены в главе "Задачи на повторение", а задачи повышенной трудности содержит заключительная глава [5, с. 1].
Анализ содержания учебника для 10-11 классов 2009 года общеобразовательных учреждений (базовый уровень) А.Г. Мордковича показал, что материал дает цельное и полное представление о показательной и логарифмической функции. Отличительные особенности учебника - более доступное для школьников изложение материала по сравнению с традиционными учебными пособиями, наличие большого числа примеров с подробными решениями. Параграфы имеют повествовательный стиль, легкий и доступный для всех учащихся, хорошо и полно раскрывается теория. Построение всего курса осуществляется на основе приоритетности функционально-графической линии. Данный учебник отвечает требованиям обязательного минимума содержания образования [6, с. 1].

.2 Основные понятия, связанные с понятиями показательной и логарифмической функций в школьном курсе математики

Функцию вида

,

где и 1, называют показательной функцией.
Основные свойства показательной функции

:

:

1)=
2)

)возрастает
)непрерывна;
при 0 1 изображен на рисунке 1.


Рисунок 1 График функции , где > 1
График функции , где изображен на рисунке 2.


Рисунок 2 График функции , где

Кривую, изображенную на рисунке 1 или 2, называют экспонентой. Впрочем, экспонентой называют и саму показательную функцию . Так что термин "экспонента" используется в двух смыслах: и для наименования показательной функции, и для названия графика показательной функции. Обратите внимание на геометрическую особенность графика показательной функции : ось х является горизонтальной асимптотой графика функции при , если и при , если .
Школьники часто путают термины: "степенная функция" и "показательная функция". Сравните:
,,,- это примеры степенных функций.
- это примеры показательных функций.
Вообще
математика показательный логарифмический функция
,

где - конкретное число, - степенная функция (аргумент х содержится в основании степени);

,

где - конкретное число (положительное и отличное от 1), называется показательной функцией (аргумент х содержится в показателе степени).
А такую "экзотическую" функцию, как , не считают ни показательной, ни степенной (ее иногда называют показательно-степенной).
Основные свойства показательной функции
.Если , то равенство справедливо тогда и только тогда, когда
.Если , то неравенство справедливо тогда и только тогда, когда (рис. 3); неравенство справедливо тогда и только тогда, когда .


Рисунок 3 График функции
.Если , то равенство справедливо тогда и только тогда, когда
.Если , то неравенство справедливо тогда и только тогда, когда (рис. 4); неравенство справедливо тогда и только тогда, когда .


Рисунок 4 График функции

Показательными уравнениями называют уравнения вида , где - положительное число, отличное от 1, и уравнения сводящиеся к этому виду.
Основные свойства:
.Показательное уравнение (где , ) равносильно уравнению
.Показательными неравенствами называют неравенства вида , где а - положительное число, отличное от 1, и неравенства, сводящиеся к этому виду.
.Если , то показательное неравенство равносильно неравенству того же смысла: Если , то показательное неравенство равносильно неравенству противоположного смысла: f
Логарифмом положительного числа по положительному и отличному от 1 основанию называют показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число .
Свойства логарифма:

)
)
)
)

Логарифм по основанию обычно называют десятичным логарифмом и обозначают как .
Функция её свойства и график.
График функции симметричен графику функции относительно прямой
В соответствии с рисунком 5 схематически изображены графики функций и в случае, когда .


Рисунок 5 График функции

Свойства функции ,

) =

) не является ни четной, ни нечетной;
3) возрастает на (0; +);
) не ограничена сверху, не ограничена снизу;
) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
) непрерывна;

)

) выпукла вверх.
На рисунке 6 схематически изображены графики функций и в случае, когда


Рисунок 6 График функции

Свойства функции ,

)

) не является ни четной, ни нечетной;
) убывает на (0; +);
) не ограничена сверху, не ограничена снизу;
) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
) непрерывна;

)

) выпукла вниз.
Отметим, что ось является вертикальной асимптотой графика логарифмической функции и в случае, когда , и в случае, когда 0 Номер заданияВ5В7Средний процент выполнения заданий8458Миним.7353Максим.9163
Наилучшие результаты по выполнению заданий первой части учащиеся нашего края показали при выполнении задания В5. Хуже всего выпускники 2012 года справились с выполнением заданий В7, это можно увидеть на рисунке 2. При выполнении заданий повышенного и высокого уровне сложности выпускники 2012 года показали лучше результат по заданию С3 и хуже справились с решением задания С5. На рисунке 3 приведен средний балл выполнения заданий 2ой части.


Рисунок 2 Процент выполнения заданий 1-й части ЕГЭ-2012 по математике


Рисунок 3 Средний балл выполнения заданий 2-й части ЕГЭ-2012 по математике

Все варианты КИМ включали задание на тождественное преобразование выражений, содержащих степени и логарифмы (В7). В каждом варианте ЕГЭ-2012 содержалось только одно задание непосредственно на преобразование выражений. При выполнении этого задания учащимся необходимо было применить основное тригонометрическое тождество с учетом знаков тригонометрических функций по четвертям. Средний процент выполнения этого задания оставил 58%. Следует отметить, что в 2011 году с таким же заданием в среднем справилось 55% выпускников края.
При решении других заданий первой части преобразований выражений не требовалось. Однако элементом решения задачи С3 и С5 было преобразование логарифмических, показательных и степенных выражений. В вариантах КИМ-2012 из всех видов уравнений, рассматриваемых в школьном курсе математики, в первой части работы были представлены только логарифмические уравнения (задания В5). Средний процент выполнения этих заданий составил 84,3%. При этом задания "Найдите корень уравнения наши выпускники выполнили на 73%, задание "Найдите корень уравнения на 91%. Идея решения этих уравнений совершенно одинакова, разница лишь в проводимых вычислениях [7, с. 1-26].
Теперь сравним результаты выполнения заданий В5, В7, С3, С5, приведенные в таблицах 2 и 3.

Таблица 2 Результаты выполнения учащимися заданий В5, В7 КИМов ЕГЭ за два года


Таблица 3 Результаты выполнения учащимися заданий С3, С5 КИМов ЕГЭ за два года

Год	Количество баллов	С3	С5
2012	0	87	96
2013		85,7	92,6
2012	1	9	3
2013		8,2	2,9
2012	2	1	0
2013		0,7	1,6
2012	3	3	0
2013		5,4	0,9
2012	4		1
2013			2

Задачи второй части остаются по-прежнему очень сложными для выпускников, о чем свидетельствуют статистические данные. При подготовке учащихся к сдаче ЕГЭ по математике целесообразно познакомить их с опубликованными вариантами работ, критериями оценивания заданий С3 и С5, а так же вести исчерпывающий разбор типичных ошибок, выявлять их природу и происхождение, так как без этого нельзя обеспечить эффективные средства исправления и предупреждения ошибок в будущем.

2. Решение задач с использованием логарифмической и показательной функции в школьном курсе математики

.1 Обзор задач и упражнений на решение показательной логарифмической функций в школьном курсе математики

. Решите уравнения и неравенства:

) ;

Ответ: [1, с. 239].

) ;

Ответ: [1, с. 240].

3)

Ответ: [1, с. 243].

4)

Ответ: [1, с. 244].

. Решите уравнение



Ответ: [1, с. 245].
. Решите систему уравнений



Ответ: [1, с. 246].
. Решите неравенство



Ответ: [1, с. 248].
. Вычислите:

а) ;

Ответ: [1, с. 250].

б) ;

Ответ: [1, с. 251].

в)

Ответ: [1, с. 251].
. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции на заданном промежутке:

а)

Ответ: [1, с. 254].

;

Ответ: [1, с. 254].
.Постройте график функции



Ответ: смотрите рисунок 1 [1, с. 256].


Рисунок 1- График функций

.Известно, что положительные числа связаны соотношением . Выразить () через логарифмы по основанию чисел
Ответ:

[1, с. 259].

9.Решите уравнение



Ответ: [1, с. 264].

.Решите уравнение

Ответ: [1, с. 265].

.Решите неравенство

Ответ: [1, с. 269].
.Провести касательную к графику функции в точке ;
Ответ: [1, с. 272].
.Вычислить значение производной функции в точке
Ответ: [1, с. 278].
.Исследовать на экстремум функцию

;

Ответ: [1, с. 279].

2.2 Методика решения типовых задач, связанных с показательной и логарифмической функциями, в школьном курсе математики

1.Решите уравнение

.

Решение. Построив в одной системе координат графики функций , замечаем, что они имеют одну общую точку Значит, уравнение имеет единственный корень [1, с. 256].
2.Решите уравнение

[10, с. 1].

Решение. Здесь есть возможность и левую и правую части уравнения представить в виде степени с основанием . В самом деле:

1)
)
)
4)

Таким образом, заданное уравнение мы преобразовали к виду



Далее получаем:



3.Решите неравенство

[10, с. 4].

Решение. Заданное неравенство равносильно неравенству противоположного смысла



Найдем корни квадратного трехчлена

:
,

Значит, неравенство
4.Вычислить [1, с. 260].
Решение. Пусть Тогда, по определению логарифма, . Решая это показательное уравнение, последовательно находим:



5.Найдите наименьшее и наибольшее значения функции на заданном промежутке

[10, с. 5].

Решение. Функция непрерывная и убывающая, поскольку основание этой логарифмической функции, т.е. число , меньше Следовательно, своих наибольшего и наименьшего значений функция достигает на концах заданного отрезка




6.Вычислите [10, с. 6].
Решение. Поработаем с показателем степени:



Теперь заданное числовое выражение мы можем записать в виде .
Далее находим:

.

Остается вспомнить, что Значит,



7.Решить систему уравнений



Решение. Преобразуем первое уравнение системы к более простому виду:






Преобразуем второе уравнение системы к более простому виду:




Решим полученную систему уравнений



Подставив вместо во второе уравнение системы, получим:



Из соотношения находим соотношение:



Осталось сделать проверку найденных пар с помощью условий, которые задают область допустимых значений переменных эти условия мы находим, анализируя исходную систему уравнений. Пара ( удовлетворяет условиям, а пара не удовлетворяет.
Ответ: (
8.Решите систему неравенств

.

Решение.
Неравенство запишем в виде

(

Относительно неравенство имеет вид: , откуда получаем:

(,


Значит,

,

Второе неравенство системы определено при



то есть при и При допустимых значениях значений переменной получаем:

, .

С учетом области допустимых значений переменной получаем решение второго неравенства системы:



Сравним и . Так как , то

,

следовательно,



.
Ответ: [11, с.1].

2.3 Подбор задач на нахождение и использование показательной и логарифмической функций в школьном курсе математики

.Решите неравенства:

а) [10, с. 6]
б) [10, с. 3].

.Решите уравнения:

а) [9, с. 5].
б)

найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [10, с. 2].
.Найдите корни уравнений:

а) [10, с. 8].
б) [10, с. 7].

.Решите системы неравенств:

а)
б) .
) [9, с. 1].
Подведем некоторые итоги. Можно выделить три основных метода решения примеров и задач:
1)Функционально-графический метод. Он основан на использовании графических иллюстраций или каких-либо свойств функций.
2)Метод уравнивания показателей. Он основан на теореме о том, что уравнение равносильно уравнению , где - положительное число, отличное от 1.
3)Метод введения новой переменной.

Заключение

В данной курсовой работе по теме "Логарифмическая и показательная функции" было рассмотрено введение данного материала в школьный курс алгебры и начала анализа. Логарифмическая и показательная функции часто используются для решения различных задач. В ЕГЭ на исследуемую тему отведено четыре задания, два из которых из первой части и два из второй. Задания бывают смешанного типа, где знание показательной и логарифмической функции поможет решить их. Показательная функция является математической моделью для большого класса процессов в области физики и экономики. Поэтому изучение данной темы играет важную роль в школьном курсе математики для школьников.
Следует отметить, что была изучена научно методическая литература таких авторов, как Колмогорова А.Н. и Мордковича А.Г., способствующая усвоению материала темы "Логарифмическая и показательная функции". Приведены примеры смешанного типа. Подробно разобраны типовые задачи по теме материала и выделены три основных метода решения:
)функционально-графический метод;
)метод уравнения показателей;
)метод введения новой переменной.
В процессе исследования:
-Проведен сравнительный анализ теоретических основ изучения показательной и логарифмической функций в школьном курсе математики;
-Проанализирован результаты ЕГЭ 2012-2013 гг. по данной теме;
-Приведены примеры и задачи, способствующие изучению материала темы " Логарифмическая и показательная функции".
Подведя итоги можно сказать, что поставленные задачи решены, цель исследования достигнута.

Список использованных источников

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа: учебник для учащихся 1011 классов. - 10-е изд. - М., 2009. С. 232273.
. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. Алгебра и начала математического анализа: учебник для 1011 классов. 17-е изд. М., 2008. С. 201-261.
. Башмаков М.И. Алгебра и начала математического анализа: учебник для учащихся 1011 классов. - 2-е изд. - М., 1992. С. 185 303.
. Образовательный сайт SLOWO.ws, 2006-2013.
URL: http://slovo.ws/urok/algebra/10/014/001.html (16.03.2014).
. Образовательный сайт NASHOL.COM, 2007-2014.
URL:http://nashol.com/2012061365602/algebra-i-nachala-matematicheskogo-analiza-10-11-klass-kolmogorov-a-n-abramov-u-p-2008.html (17.03.2014).
. Образовательный сайт NASHOL.COM, 2007-2014.
URL:http://nashol.com/20100414357/algebra-i-nachala-analiza-10-11-klassi-uchebnik-mordkovich-a-g-2001.html (17.03.2014).
Краснодарский краевой институт дополнительного профессионального педагогического образования, 2007-2014.
URL: http://kkidppo.ru/metodicheskiy-analiz-ege-2012 (02.04.14).
8. Краснодарский краевой институт дополнительного профессионального педагогического образования, 2007-2014.
URL:http://kkidppo.ru/metodicheskiy-analiz-ege-2013 (02.04.14).
. Образовательный сайт YOUR TUTOR репетитор математики и физики / статья Селиверстова Сергея Валерьевича, 2011-2013.
URL: http://yourtutor.info/решение-систем-неравенств-репетитор
10. Федеральный институт педагогических измерений / Открытый банк заданий ЕГЭ / Математика, 2004-2014.
URL: http://www.fipi.ru/os11/xmodules/qprint/afrms.php?proj= (31.03.14).
11. Федеральный институт педагогических измерений, 2004-2014.
URL: http://www.fipi.ru/view/sections/92/docs/ (31.03.14).
. Столяр А.А. Методы обучения математике: пособие для учителей средней школы, 1966.
. Стефанова Н.Л., Подходова Н.С. Методика и технология обучения математике. Курс лекции: пособие для вузов. - М., 2005.