Главная
Добавить работу на сайт
Регистрация
  
Главная страница >> Реферат >> Математика и статистика >> Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга

Реферат: Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга

Багато років світ вивчає і досліджує різні проблеми. Деякі з них зіграли важливу роль в становленні геометрії. Наприклад, древні геометричні задачі, найбільш відомі з них це задачі на побудову: задача про квадратуру круга, подвоєння куба і трисекція кута.


Дата добавления на сайт: 14 февраля 2025
Заказать курсовую работу
Заказать реферат и др.
Скачать данную работу

Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга

ВСТУП
геометричний куб кут
Багато років світ вивчає і досліджує різні проблеми. Деякі з них зіграли важливу роль в становленні геометрії. Наприклад, древні геометричні задачі, найбільш відомі з них це задачі на побудову: задача про квадратуру круга, подвоєння куба і трисекція кута. Вчені всіх часів приділили цим проблемам багато час, пропонували свої розв’язання. Врешті було доведено, що ці задачі неможливо розв’язати лише за допомогою циркуля та лінійки. З часом змінилася постановка задачі: «довести нерозв’язність» - що було великим кроком вперед. Разом з тим, пропонувалась велика кількість розв’язків за допомогою нетрадиційних інструментів. Все це призвело до виникнення абсолютно нових ідей в геометрії.
Задачі формулюються так:
·Задача про квадратуру круга. Побудувати сторону квадрата, площа якого рівна площі даного круга.
·Задача про подвоєння куба: побудувати ребро куба, об’єм якого вдвічі більший, за об’єм даного.
·Задача про трисекцію кута: розділити довільний кут на три рівні частини.
В даній курсовій роботі ми розглянемо ці задачі, причини їх виникнення і методи їх розв’язання.

РОЗДІЛ І. МЕТОДИ ПОБУДОВ ЗАДАЧ ДАВНИНИ

.ПОДВОЄННЯ КУБА
Побудувати ребро куба, об’єм якого вдвічі більший, за об’єм даного. Якщо Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 1)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 2) - сторона даного куба, Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 3)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 4) - шукана сторона куба, об’єм якого вдвічі більше, ніж об’єм заданого, то

Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 5)

Отже,

Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 6)

Отже, для того, щоб розв'язати задачу досить побудувати вираз Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 7)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 8).
Ця задача є частковим випадком іншої задачі:
Задача. Дано два відрізка Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 9)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 10) і Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 11)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 12). Побудувати два середніх пропорційних, тобто два відрізка Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 13)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 14) і Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 15)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 16), котрі задовольняють рівняння:

Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 17)

З цієї рівності випливає, що

Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 18)
Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 19)

І якщо Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 20)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 21), то
Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 22)
Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 23)
Подвоєння куба потребує побудови виразу Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 24)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 25) або графічного вираження коренів рівняння
Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 26)
Це рівняння третьої степені не має раціональних коренів и тому не є розв’язним в квадратних радикалах. А, отже, вираз Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 27)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 28) не може бути побудований циркулем та лінійкою.
Для вирішення цієї задачі потрібні конічні перерізи або вищі криві, які можуть бути побудовані по точкам або за допомогою нестандартних інструментів.

1.1Побудова за допомогою конічних перерізів

Графічне розв’язання за допомогою конічних перерізів.
)Розглянемо параболи:

Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 29)
Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 30)

координатами точки їх перетину, яка не збігається з початком, будуть числа

Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 31)

2)Побудуємо два конічні перерізи

Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 32)
Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 33)

тоді точка їх перетину, яка не співпадає з початком, має координати:

Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 34)

3)Розглянемо коло

Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 35)
Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 36)

Тоді точка їх перетину, відмінна від початку, має координати

Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 37)

В усіх випадках знаходження середніх пропорційних зводиться до знаходження точок перетину двох конічних перерізів.
Якщо Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 38)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 39), то

Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 40)

Для того, щоб знайти Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 41)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 42) можна використати будь-який зі способів.
Для Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 43)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 44) останній метод є найбільш зручним. В такому випадку рівняння параболи має вигляд

Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 45)

вона не залежить від Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 46)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 47) і її можна побудувати.
Координатами центра в такому випадку будуть числа:

Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 48)

Оскільки коло проходитиме через початок координат, то немає необхідності знаходити її радіус.

1.2Побудова за допомогою конхоїди Нікомеда

Вирішення за допомогою конхоїди Нікомеда.
)Нікомед знайшов криву вищого степеня, яку надзвичайно просто побудувати, а використовуватись може не лише для графічного подвоєння куба, але і для трисекції кута і графічного розв’язання рівнянь третього степеня. Саму криву можна отримати наступним шляхом:
Нехай дано точку Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 49)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 50), довільну пряму Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 51)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 52) і відкладемо на ній від точки Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 53)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 54) її перетину з Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 55)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 56) відрізок Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 57)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 58). Отриманиі таким чином точки при зміні прямої Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 59)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 60) утворюють деяку криву Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 61)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 62) - конахоїду Нікомеда.
Точку Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 63)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 64) називають полюсом кривої, пряму Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 65)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 66) - її основою, а Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 67)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 68) - інтервалом.
Неважко побудувати механізм, за допомогою якого можна було б креслити цю криву.
Нікомед побудував такий механізм, який вважається найдревнішим інструментом для креслення кривих, після циркуля.
2)Виведемо рівняння цієї кривої.
Із подібних трикутників Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 69)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 70) і Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 71)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 72) випливає, що:

Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 73)

або

Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 74)

різносторонні полюси від основи Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 75)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 76).

Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 77)

Положення системи координат при цьому ясно з рисунку. Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 78)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 79) -
Із рівняння видно, що це крива четвертого порядку, має свою точку Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 80)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 81) своєю подвійною точкою і скалдається з двох частин, які мають основу Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 82)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 83) спільною асимптотою. Крива більше того проходить через дві уявні циклічні точки.
)Тепер покажемо як за допомогою цієї кривої визначити обидва середніх пропорційних між двома відрізками Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 84)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 85) і Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 86)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 87).
Два взаємно перпендикулярні відрізки Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 88)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 89) і Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 90)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 91) (з малюнку 1) нехай будуть відповідно рівні Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 92)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 93) і Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 94)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 95). І нехай
Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 96)
Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 97)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 98) буде серединою відрізка Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 99)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 100) і пряма Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 101)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 102) буде перпендикулярна до Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 103)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 104) так, що

Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 105)

Потім проведемо пряму Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 106)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 107) і паралельно їй через точку Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 108)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 109) пряму Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 110)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 111) і інтервал Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 112)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 113), вона перетне пряму Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 114)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 115) в точці Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 116)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 117) і отримаємо точку Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 118)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 119) за допомогою четвертої вершини прямокутника Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 120)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 121).
Тепер за допомогою обчислень неважко довести, що Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 122)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 123) і Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 124)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 125).
Якщо
Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 126)
то
Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 127)
4)Якщо потрібно визначити два середніх пропорційних, то нема необхідності в побудові всієї кривої, а досить накреслити ту частину, яка за припущення містить точки перетину.
Саму точку перетину на практиці зручно знаходити за допомогою паперової смужки, на котру нанести відрізок Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 128)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 129), переміщаючи її певним чином.
Таке знаходження Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 130)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 131) за допомогою паперової смужки ні в яком разі не буде лише приблизним вирішенням задачі.

1.3Побудова за допомогою цисоїди Діоклеса

Розв’язання за за допомогою цисоїди Діоклеса.
)Діоклес знайшов для вирішення задачі криву, яка хоч і не може бути побудована за допомогою такого простого механізму, як конхоїда, але тісно пов’язана з розглядуваною задачею.

Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 132)

Нехай Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 133)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 134) буде ламаним відрізком, що має довжину 1. Проведемо через його кінці перпендикуляри Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 135)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 136) і візьмемо на Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 137)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 138) довільну точку. Цій точці Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 139)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 140) ми на Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 141)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 142) відкладемо таку точку Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 143)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 144), для якої
Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 145)

(Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 146)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 147) приймається за одиницю)
Таким чином, якщо припустити Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 148)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 149), то Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 150)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 151).
Тепер проведемо прямі Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 152)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 153), які перетнуться в точці Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 154)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 155), яка при зміні Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 156)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 157) опише деяку криву, цисоїду Діоклеса.
2)Виведемо рівняння цієї кривої (малюнок 2).
Рівняння прямої Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 158)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 159)

Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 160)

а прямої Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 161)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 162)

Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 163)

Виключивши Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 164)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 165) з обох рівнянь отримаємо

Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 166)

Це і є рівняння цисоїди.
3)Властивість, яка може бути використана для побудови.
Побудуємо на Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 167)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 168) півколо і припустимо, що кут Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 169)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 170). Нехай пряма Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 171)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 172) перетинає півколо не тільки в точці Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 173)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 174), а ще в деякій точці Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 175)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 176), тоді Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 177)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 178).
Для того, щоб довести це, досить тільки показати, що обидва відрізки мають різні за довжиною проекції на прямій Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 179)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 180)
Проекція відрізка Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 181)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 182) на Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 183)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 184) є
Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 185)
Проекція відрізка Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 186)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 187) (абсциса точки Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 188)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 189)) може бути знайдена, якщо в рівнянні припустити Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 190)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 191) і потім визначити Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 192)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 193).
Ми знайдемо, що
Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 194)
що і є доведенням теореми.

1.4Побудова за допомогою двох прямих кутів

Розв’язання за допомогою двох прямих кутів.
Нехай дано дві взаємно перпендикулярні прямі Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 195)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 196), нехай Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 197)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 198) - довільна точка на Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 199)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 200) і Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 201)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 202) - прямокутна ламана лінія, вибрана так, що Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 203)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 204) і Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 205)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 206) лежать на Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 207)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 208), а Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 209)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 210) і Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 211)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 212) - на Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 213)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 214). Тоді:

Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 215)

тобто Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 216)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 217) і Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 218)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 219) будуть двома середніми пропорційними між Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 220)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 221) і Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 222)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 223).
)Якщо Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 224)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 225) і Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 226)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 227) дані, то згідно з вищесказаним, Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 228)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 229) і Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 230)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 231) можна визначити, побудувавши прямокутну ламану лінію Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 232)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 233). Дві вершини її Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 234)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 235) дані, а інші дві Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 236)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 237) мають бути побудовані.

Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 238)

Цього можна домогтись лише наближеними методами, побудувавши криву помилок для точки Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 239)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 240) або Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 241)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 242).
Для цього через Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 243)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 244) проводять довільну пряму 1, в точці її перетину з Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 245)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 246) проводять перпендикуляр 2 і опускають з Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 247)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 248) перпендикуляр на 2. Його очка перетину Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 249)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 250) з прямою 2 це точка кривої помилок.
Аналогічно визначаємо і другу точку Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 251)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 252)
Завжди можна точки Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 253)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 254) і Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 255)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 256) визначити так, щоб вони лежали близько до прямої Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 257)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 258). Тоді криву помилок на цій короткій відстані можна розглядати як майже пряму.
2)Якщо є два рухомі прямі кути, то задача може бути строго розв’язана.
Треба лише обидва прямих кути розташувати на площині рисунка так, щоб вони дотикались вздовж одного катета, і щоб другий катет одного кута проходив через Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 259)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 260), а другий катет другого кута - через Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 261)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 262). Вершина першого кута повинна лежати на Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 263)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 264), а другого на Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 265)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 266).
Правильного розміщення кути досягають після короткого переміщення, в результаті чого виходить строге розв’язання запропонованої задачі.
Якщо
Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 267)
то
Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 268)
Таким чином, якщо
Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 269)
то
Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 270)

2.ТРИСЕКЦІЯ КУТА
геометричний куб кут
Задача про трисекцію кута - ще одна з задач давнини. Поділом кута на три рівні частини також займалось багато математиків. Але і ця задача також не була вирішена за допомогою циркуля та лінійки. Однак, якщо не обмежуватись лише цими інструментами, то задачу можна побудувати. Звичайно, цей розв’язок не буде задовольняти поставлені умови повністю, але це, очевидно, буде певним математичним здобутком.
В ході розв’язання цієї задачі було відкрито цілий ряд дуже важливих та цікавих кривих. Наприклад, спіраль Архімеда..
Хоча трисекція кута в загальному є нерозв’язною задачею за допомогою циркуля та лінійки, існують криві, за допомогою яких цю побудову можна виконати. Наприклад, за допомогою равлика Паскаля, трисектриси, конхоїди Нікомеда, конічних перерізів або спіралі Архімеда.

Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 271)

Нехай
Нехай

Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 272)

та
Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 273)
тоді

Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 274)

при цьому

Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 275)

тобто
Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 276)
З цього випливає простий метод трисекції кута Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 277)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 278), метод яким найпростіше можна виконати за допомогою паперової площини.
Нехай дано Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 279)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 280). Опишемо навколо Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 281)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 282) двільним радіусом Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 283)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 284) коло Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 285)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 286), яка перетне сторони кута в точках Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 287)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 288) і Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 289)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 290).
Нанесемо тепер на край паперової площини відрізок Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 291)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 292), помістимо паперову площину в площину рисунка так, щоб край її проходив через Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 293)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 294), точка Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 295)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 296) лежала на Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 297)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 298) і точка Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 299)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 300) на Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 301)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 302).
Тоді вже
Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 303)
Правильне положення паперової площини вдається знайти з повною строгістю після деякого її переміщення.
Трисекція кута вказаним шляхом виконується строго.
Метод є не тільки корисним, але й теоретично цікавий, так як з нього можна вивести цілий ряд методів трисекції кута.

2.1Побудова за допомогою конхоїди Нікомеда

Трисекція кута за допомогою конхоїди Нікомеда.
Щоб надати паперовій площині Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 304)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 305) правильне положення можна: край її прикладати до Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 306)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 307), точку Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 308)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 309) поміщають на пряму Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 310)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 311) і переміщати паперову площину до тих пір, поки Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 312)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 313) не потрапить на коло Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 314)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 315). При цьому переміщення точки Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 316)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 317) опише конхоїду Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 318)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 319), для якої Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 320)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 321) буде полюсом, Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 322)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 323) - основою, Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 324)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 325) - інтервалом.
Точка перетину Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 326)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 327) з Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 328)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 329) і буде шуканою точкою Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 330)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 331). Звідси випливає застосування конхоїди для трисекції кута.
На рисунку креслять також пряму Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 332)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 333), паралельну до Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 334)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 335).
Нехай тепер даний буде довільний кут Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 336)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 337).
Відкладають на стороні Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 338)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 339) довільний відрізок Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 340)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 341) і отримують таким чином точку Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 342)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 343), як центра, радіусом Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 344)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 345) і будують конхоїду, яка має точку Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 346)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 347) своїм полюсом, пряму Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 348)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 349) - основа, відрізок Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 350)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 351) - інтервалом. Точка Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 352)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 353) перетину цієї конхоїди з колом Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 354)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 355) і визначає третю частину кута Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 356)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 357).
Легко бачити, що для кожного даного кута треба креслити конхоїду, в силу чого цей метод має лише історичний інтерес.

2.2Побудова за допомогою равлика Паскаля

Уявімо тепер паперову поверхня, яка розташована в площині рисунка так, що край її проходить через Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 358)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 359) і точка Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 360)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 361) лежить на колі Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 362)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 363), це можна виконати нескінченною множиною способів. Точка Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 364)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 365) описує при цьому деяку криву Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 366)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 367), так званого равлика Паскаля.
З рисунка ясно, що навпаки, за допомогою равлика Паскаля можна розділити довільний кут на три частини.
Нехай даний нарисований равлик Паскаля. Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 368)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 369) і точка Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 370)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 371).
Якщо потрібно розділити кут на три частини, то проводять пряму Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 372)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 373) так, щоб тук Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 374)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 375) дорівнював даному куту. Якщо тепер проведемо через Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 376)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 377) пряму Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 378)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 379), паралельну до Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 380)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 381), то Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 382)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 383) перетне равлик Паскаля у деякій точці Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 384)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 385), причому, як видно з рисунка,

Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 386)

Отже, за допомогою накресленого равлика Паскаля можна ділити на три рівні частини довільний кут.
Квадратура круга
Різні способи побудови
Задача про квадратуру круга відома вже тисячі років і завжди привертала до себе увагу математиків. Вона формулюється так: побудувати квадрат, площа якого була б рівна площі даного круга.
Довгий час існували сумніви щодо вирішуваності задачі. Ці сумніви підтвердилися ще тим, що грецький геометр Гіппократ зміг перетворити квадрат на деякі «кругові луночки» - частина площини, обмежена дугами двох кіл.

Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 387)
На малюнку зображена «луночка» Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 388)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 389), рівновелика трикутнику Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 390)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 391) (який неважко перетворити в рівновеликий йому квадрат).
Були виказані припущення про невирішуваність задачі за допомогою циркуля та лінійки. Робили спроби довести невирішуваність задачі про квадратуру круга взагалі.
Площа круга радіуса Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 392)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 393) рівна

Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 394)

тобто рівна площі квадрата зі стороною Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 395)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 396), котра будується як середнє пропорційне між відрізками Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 397)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 398) і Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 399)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 400).
Якби було можливо, знаючи радіус круга Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 401)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 402), побудувати відрізок довжиною Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 403)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 404), то такий квадрат легко можна було б побудувати.
И навпаки: якби при даному Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 405)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 406) можна було б побудувати квадрат, рівновеликий кругу, то можна було б побудувати відрізок, рівний довжині кола. Насправді, якщо Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 407)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 408) - сторона квадрата, то Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 409)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 410), отже, Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 411)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 412) і шуканий відрізок будується як четвертий пропорційний відрізок до відрізків Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 413)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 414) і Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 415)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 416).
Отже, задача про квадратуру круга рівносильна до задачі про спрямлення кола, тобто побудови відрізка довжиною Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 417)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 418). При Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 419)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 420) довжина кола дорівнює Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 421)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 422). Таким чином задача про спрямлення кола призвела до вивчення властивостей числа Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 423)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 424).
Як наслідок, було доведено ірраціональність числа Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 425)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 426), але це ще не було вирішенням питання про квадратуру круга.
В ході подальших роздумів, було доведено, що, для побудови шуканого відрізка, потрібно аби Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 427)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 428) було числом алгебраїчним, а не трансцендентним. Що не так.
Таким чином нарешті була вирішена проблема квадратури крута: квадратура круга неможлива за допомогою циркуля та лінійки.
Незважаючи на те, що задача про спрямлення кола і задача про квадратуру круга за допомогою циркуля та лінійки теоретично точно нерозв’язна, існують методи наближеного розв’язання цих задач з достатньою для практичних цілей наближеною точністю.
Якщо розділити коло точками на достатньо велику кількість достатньо малих дуг, то периметр многокутника, для якого ці точки служать послідовно вершинами, може бути прийнятий за довжину кола.
Відомо, що ще Архімед визначив, що Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 429)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 430). При такому припущенні відрізок Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 431)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 432) будується як три цілих і одна сьома діаметра даного кола. Ця побудова дає наближене розв’язання задачі з надлишком, причому відносна похибка не перевищує Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 433)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 434).
Цікавий прийом спрямлення кола за допомогою лище циркуля запропонував італійський геометр Маскероні.
Нехай Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 435)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 436) - центр даного кола, Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 437)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 438) - деяка точка, яка належить даному колу.

Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 439)

Будуємо чотири послідовні вершини правильного вписаного шестикутника Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 440)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 441). Нехай Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 442)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 443) - точка перетину кола Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 444)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 445) і кола Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 446)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 447). Нехай в перетині дуги Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 448)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 449) даного кола з колом Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 450)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 451) утворюється точка Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 452)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 453). Тоді довжина відрізка Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 454)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 455) рівна одній четвертій частині довжини кола з точністю до Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 456)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 457).
Виявляється, що при Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 458)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 459)
Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 460)
Тоді як Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 461)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 462).
Оригінальний прийом спрямлення кола був запропонований польським математиком Коханським. Суть методу ясна з малюнку:

Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 463)

На рисунку Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 464)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 465).
Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 466)
Тобто відрізок Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 467)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 468) дає наближену величину довжини півкола, радіус якого Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 469)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 470).
Спосіб Коханського цікавий тим, що він відтворюється лінійкою і циркулем постійного розхилу.
Простий спосіб спрямлення кола за допомогою циркуля і лінійки запропонував Мюллер. Хід побудови легко простежити по рисунку:

Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 471)
З рисунку: Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 472)Класичні задачі давнини: подвоєння куба трисекція кута квадратура круга (рис. 473)

ВИСНОВОК

Отже, ми розглянули три знамениті задачі давнини. Багато років світ вивчав і досліджув їх. Вони зіграли важливу роль в становленні геометрії. Ми показали, що ці задачі неможливо розв’язати лише за допомогою циркуля та лінійки.
В даній курсовій роботі ми розглянули ці задачі, причини їх виникнення і методи їх розв’язання.
В роботі було розглянуто різні методи наближених побудов задач квадратури круга, трисекції кута та подвоєння куба. Наведено детальні способи побудов нерозв’язних задач. До деяких із них наведено наслідки, задачі, які випливають з побудови даних, нерозв’язних за допомогою циркуля і лінійки, задач.

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

1.Адлер А. теория геометрических построений/Пер.с кем.3-у изд.Л.,1940, 232с.
.Аксенова М.В., Храмов Г.И. Єнциклопедия по математике. М.: Аванта+, 1995, 162с.
3.Аргунов Б.И., Балк М.Б. Геометрические построения на плоскости. 2-е изд. М, 1957, 226с.
.Глейзер Г. И. История математики в школе. - М.: Просвещение, 1964. - С. 324-325.
5.Колесников М. Лобачевский./. Серия «Жизнь замечательных людей». - М.: Молодая гвардия, 1965. - 320 стр. с илл.
.Прасолов В. В.. Три классические задачи на построение. Удвоение куба, трисекция угла, квадратура круга. М.: Наука, 1992. 80 с. Серия «Популярные лекции по математике», выпуск 62.
7.Широков П.А. Краткий очерк основ геометрии Лобачевского./. - М.: Наука, 1983. - 76 стр.
.Щетников А. И. Как были найдены некоторые решения трёх классических задач древности? Математическое образование, № 4 (48), 2008, с. 3-15.Смилга В.П. В погоне за красотой./. Н-п издание. - М.: Молодая гвардия, 1968. - 200 стр. с илл.

Комментарии:

Вы не можете оставлять комментарии. Пожалуйста, зарегистрируйтесь.
▲ ▼