Главная
Добавить работу на сайт
Регистрация
  
Главная страница >> Курсовая работа >> Математика и статистика >> Наближені методи обчислення визначених інтегралів

Курсовая работа: Наближені методи обчислення визначених інтегралів

Зміст
Вступ
Розділ 1. Наближені методи обчислення визначених інтегралів
.1 Основні поняття та визначення. Постановка задачі
.2 Формула прямокутників обчислення визначених інтегралів
.3 Метод (формула) трапеції обчислення визначених інтегралів
.4 Параболічна формула (формула Сімпсона) обчислення визначених інтегралів
Розділ 2. Абсолютні похибки наближеного обчислення визначених інтегралів
.1 Абсолютна похибка формули прямокутників
.2 Абсолютна похибка формули трапеції
.3 Абсолютна похибка параболічної формули (формули Сімпсона)
.4 Приклади
Висновок
Список використаної літератури


Дата добавления на сайт: 03 марта 2025
Заказать курсовую работу
Заказать реферат и др.
Скачать данную работу

КУРСОВА РОБОТА (ПРОЕКТ)
з математики
Тема: Наближені методи обчислення визначених інтегралів

Зміст

Вступ
Розділ 1. Наближені методи обчислення визначених інтегралів
.1 Основні поняття та визначення. Постановка задачі
.2 Формула прямокутників обчислення визначених інтегралів
.3 Метод (формула) трапеції обчислення визначених інтегралів
.4 Параболічна формула (формула Сімпсона) обчислення визначених інтегралів
Розділ 2. Абсолютні похибки наближеного обчислення визначених інтегралів
.1 Абсолютна похибка формули прямокутників
.2 Абсолютна похибка формули трапеції
.3 Абсолютна похибка параболічної формули (формули Сімпсона)
.4 Приклади
Висновок
Список використаної літератури

Вступ

Чисельне інтегрування - одна з найбільш важливих тем обчислювальної математики. При розв’язуванні математичних, інженерних, фізичних задач досить часто виникає потреба обчислювати визначені інтеграли. Лише в небагатьох випадках для їх обчислення можна отримати аналітичні вирази для первісних підінтегральних функцій. Тому в більшості випадків користуються чисельними методами інтегрування. В даній курсовій роботі ми розглянемо наступні наближені методи чисельного інтегрування: метод прямокутників; метод трапецій; метод парабол (Сімпсона).
Актуальність теми курсової роботи полягає в тому, що при розв’язанні низки математичних, фізичних або технічних задач застосовуються визначені інтеграли від функцій, первісні функції яких не виражаються через елементарні функції. Крім того, в окремих задачах доводиться мати справу з визначеними інтегралами, у яких самі підінтегральні функції не являються елементарними. Це приводить до необхідності розробки наближених методів обчислення визначених інтегралів.Предметом дослідження є методи наближеного обчислення визначених інтегралів, первісна яких не може бути представлена у вигляді комплексу елементарних функцій.
Метою роботи є аналіз умов використання та оцінки похибок обчислень при застосуванні найбільш уживаних методів наближеного обчислення визначених інтегралів: метод прямокутників, метод трапеції та метод Сімпсона.
Дана курсова робота складається з вступу, двох розділів, висновку, списку використаної літератури та викладена на 25 сторінках. Перший розділ присвячено загальним поняттям та основним методам обчислення визначених інтегралів. У другому розділі розглядаються абсолютні похибки методів наближеного обчислення визначених інтегралів.
Розділ 1. Наближені методи обчислення визначених інтегралів

.1 Основні поняття та визначення. Постановка задачі

Розглянемо функцію Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 1), що визначена на відрізку Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 2). Нехай функція Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 3) диференційована на відрізку Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 4) і її похідна в кожній точці Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 5)дорівнює Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 6). Тоді функція Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 7) називається первісною функції Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 8) та записується як: Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 9).
Так як (Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 10)=Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 11)=Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 12) для будь-якої сталої С, то можна говорити про множину первісних - множину функцій виду Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 13). Множина первісних Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 14) функції Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 15) називається невизначеним інтегралом функції Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 16) і позначається Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 17):

Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 18)

де Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 19) - значення невизначеного інтегралу, тобто множини первісних функції Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 20):

Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 21)

Розглянемо функцію Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 22), що визначена на відрізку Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 23). Розіб’ємо відрізок Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 24) на n довільних частин точками Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 25) і позначимо Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 26) , Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 27), Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 28).
На кожному відрізку Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 29) візьмемо довільну точку Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 30) і обчислимо в ній значення функції Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 31). Вираз Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 32)Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 33) називається інтегральною сумою функції Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 34). Якщо при Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 35) існує границя Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 36), не залежна ні від способу розбиття відрізку Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 37) точками Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 38), Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 39), ні від вибору точок Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 40), то ця границя називається визначеним інтегралом від функції Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 41)на відрізку Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 42), а сама функція - інтегровною на Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 43), та позначається:
визначений інтеграл сімпсон похибка
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 44)

В основу чисельного інтегрування покладене наближене обчислення площі під кривою, яка описується підінтегральною функцією інтеграла виду:

Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 45)

Нехай потрібно обчислити визначений інтеграл Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 46)від неперервної функції Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 47) Якщо може бути знайдена первісна F(х) підінтегральної функції, то за формулою Ньютона-Лейбніца

Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 48)

Однак, цю цілком зручну формулу на практиці не завжди можна застосувати. Нерідко доводиться мати справу з інтегралами, які не виражаються через елементарні функції, це, наприклад, інтеграли виду:
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 49) Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 50), Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 51), Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 52), Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 53), Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 54), Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 55),…

Також аналізуючи наближенні формули для біномних ймовірностей, ми можемо спостерігати, що у виразі Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 56) обчислення інтеграла ускладнюється тим, що для функції Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 57) не існує первісної в елементарних функціях, тому і вводять функцію Лапласа Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 58), яка табульована.
Тобто якщо для елементарної функції Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 59)первісна функція не є елементарною, то застосування формули Ньютона-Лейбніца не приводить до мети. Так, для елементарної функції Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 60)=Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 61), неперервної на відрізку Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 62) існує первісна F(x) і, отже, за формулою Ньютона-Лейбніца, правильна рівність

Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 63)

Однак значення первісної Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 64) в точках Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 65) і Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 66), а отже, і значення визначеного інтеграла, що стоїть у лівій частині рівності (1), не можна обчислити, оскільки Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 67) не є функцією елементарною.
Якщо ж первісна не може бути знайдена або якщо функція Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 68) задана графічно або таблично, то для обчислення інтеграла використовують наближені формули, точність яких може бути зроблена як завгодно великою.
Наближені методи обчислення визначеного інтеграла в більшості випадків основані на тому, що визначений інтеграл Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 69) чисельно рівний площі криволінійної трапеції, обмеженої кривою Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 70), сегментом Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 71) осі Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 72) і вертикальними прямими, які проходять через точки Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 73) і Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 74). Таким чином, задача про наближене обчислення інтеграла рівносильна задачі про наближене обчислення площі криволінійної трапеції.
Суть наближеного обчислення інтеграла полягає в тому, що крива Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 75)замінюється новою, достатньо "близькою" до неї кривою.
Тоді шукана площа наближено рівна площі криволінійної трапеції, яка обмежена новою кривою.
В якості цієї нової обмежуючої кривої вибирають таку, для якої площа криволінійної трапеції може бути обчислена. В залежності від вибору нової кривої ми отримаємо ту чи іншу наближену формулу інтегрування або метод інтегрування.
Отже, виникає потреба у знаходженні формул для наближеного обчислення визначеного інтеграла.

.2 Формула прямокутників обчислення визначених інтегралів

Нехай Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 76)- неперервна функція на відрізку Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 77). Дістанемо наближене значення інтеграла від функції Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 78)на відрізку Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 79), якщо в цьому інтегралі замість функції Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 80)візьмемо сталу функцію, що дорівнює значенню Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 81)в точці Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 82), тобто

Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 83)

Якщо Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 84) невід’ємна функція на відрізку Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 85), то наближеній рівності (2) можна дати геометричне тлумачення. Саме за наближене значення площі криволінійної трапеції Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 86) (рис. 1.2.1) ми прийняли площу прямокутника Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 87).

Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 88)
рис. 1.2.1

Щоб визначений інтеграл обчислити з більшою точністю, відрізок Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 89) поділимо на n рівних відрізків за допомогою розбиття

Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 90)
Де Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 91)

і, застосувавши до кожного відрізка Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 92) (Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 93)) наближену формулу (2), дістанемо

Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 94)

Наближена рівність

Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 95)

де Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 96) і називається формулою прямокутників.
Приклад 1. Застосовуючи формулу прямокутників обчислити наближене значення відомого інтеграла

Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 97)

де n=10, обчислення провести до 4 знаків після коми.
Розв’язання:
Маємо, що Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 98), обчислимо:

Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 99)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 100)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 101)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 102)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 103)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 104)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 105)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 106)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 107)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 108)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 109)
За формулою прямокутників (4) будемо мати:

Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 110)

Відповідь: Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 111)

.3 Метод (формула) трапеції обчислення визначених інтегралів

Якщо у визначеному інтегралі Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 112) функцію Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 113) замінити лінійною функцією

Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 114)

графік, якої проходить через точки Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 115) і Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 116) (рис. 1.3.1), то дістанемо наближену рівність

Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 117)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 118)
рис. 1.3.1
Якщо Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 119) - неперервна невід’ємна функція на відрізку Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 120), то цій наближеній рівності дати геометричне тлумачення. Саме за наближене значення площі криволінійної трапеції Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 121), ми прийняли площу звичайної трапеції Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 122) (рис. 1.3.1).
Щоб визначений інтеграл обчислити з більшою точністю, відрізок Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 123), як і в методі прямокутників, ділимо на n рівних відрізків (3) і, застосувавши до кожного відрізка Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 124) (Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 125)) формулу (5), дістанемо

Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 126)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 127)

Наближена рівність

Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 128)

де Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 129) і називається формулою трапеції.
Приклад 2. Застосовуючи формулу трапеції обчислити наближене значення відомого інтеграла

Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 130)

де n=10, обчислення провести до 4 знаків після коми.
Розв’язання:
Маємо Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 131), обчислимо:

Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 132)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 133)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 134)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 135)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 136)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 137)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 138)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 139)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 140)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 141)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 142)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 143)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 144)

За формулою (6) маємо:

Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 145)

Відповідь: Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 146)
Два отриманих наближених результати у прикладі 1 та 2 мають приблизно однакову точність - вони відрізняються від дійсного значення менше ніж на 0,0005.

.4 Параболічна формула (формула Сімпсона) обчислення визначених інтегралів

Якщо у визначеному інтегралі Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 147)замість функції Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 148) взяти квадратний тричлен Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 149), графік, якого проходить через три точки Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 150), то дістанемо наближену рівність

Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 151)

Оскільки графік квадратного тричлена Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 152) проходить через точки A, B, і С, то коефіцієнти Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 153) цього тричлена задовольняють рівняння:

Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 154)

Використовуючи ці рівняння, вираз, що стоїть у правій частині формули (7), можна замінити рівним йому виразом
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 155)

Після цього формулу (7) перепишемо у вигляді

Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 156)

Якщо Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 157) - неперервна невід’ємна функція на відрізку Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 158) то наближеній рівності (8) можна дати геометричне тлумачення. Тут за наближене значення площі криволінійної трапеції Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 159) (рис. 1.4.1) ми прийняли площу другої криволінійної трапеції, яка відрізняється від першої тільки тим, що зверху вона обмежена не графіком функції Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 160), а параболою Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 161), яка проходить через точки Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 162), що лежать на кривій Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 163).

Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 164)
рис. 1.4.1
Щоб визначений інтеграл обчислити з більшою точністю, відрізок Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 165) розділимо на 2n рівних відрізків, за допомогою розбиття

Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 166)
де Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 167)
і, застосувавши формулу (8) до кожного відрізка [Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 168), який складається з двох відрізків [Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 169) дістанемо:

Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 170)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 171)

Наближена рівність

Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 172)

де Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 173) називається параболічною формулою або формулою Сімпсона.
Приклад 3. Застосовуючи формулу Сімпсона обчислити наближене значення відомого інтеграла

Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 174)

Розв’язання:
Візьмемо n=2, обчислення проведемо до 5 знаків після коми.
Оскільки Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 175), то маємо:
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 176)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 177)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 178)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 179)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 180)

За формулою (9) маємо:

Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 181)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 182)

Відповідь: ІНаближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 183)(всі п’ять знаків вірні).

Розділ 2. Абсолютні похибки наближеного обчислення визначених інтегралів

.1 Абсолютна похибка формули прямокутників

Для кожної наближеної рівності важливо знати абсолютну похибку. Оцінимо абсолютну похибку в наближеній рівності (4) (формулі прямокутників) при умові, що Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 184) неперервна на відрізку Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 185) Якщо Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 186) для х Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 187), то

Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 188)

Таким чином, абсолютна похибка Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 189) в формулі прямокутників оцінюється за допомогою нерівності

Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 190)

при умові, що Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 191) неперервна на відрізку Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 192) і Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 193)

2.2 Абсолютна похибка формули трапеції

Оцінимо абсолютну похибку в формулі трапеції при умові, що похідна другого порядку Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 194) неперервна на відрізку Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 195) і Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 196)
Для цього розглянемо функцію:

Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 197)

на відрізку Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 198) Не важко помітити, що

Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 199)

Оскільки

Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 200)

Звідси

Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 201)

Таким чином, абсолютна похибка Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 202) в формулі трапецій (6) оцінюється за допомогою нерівності

Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 203)

при умові, що Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 204) неперервна на відрізку Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 205) і Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 206)

2.3 Абсолютна похибка параболічної формули (формули Сімпсона)

Оцінимо абсолютну похибку в цій формулі при умові, що похідна четвертого порядку Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 207) неперервна на відрізку Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 208) і Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 209) для Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 210).
Спочатку оцінимо абсолютну помилку в наближеній рівності (8) (формулі Сімпсона). Для цього розглянемо допоміжні функції:

Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 211)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 212)
Де Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 213)

Зрозуміло, що Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 214) дорівнює різниці лівої і правої частин наближеної рівності (10), так що Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 215) і є абсолютна помилка цієї наближеної рівності.
Продиференціювавши функцію Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 216) три рази і застосувавши теорему Лагранжа про скінченний приріст, дістанемо:

Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 217)

Оскільки Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 218), Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 219), то за теоремою Ролля знайдеться точка t1Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 220) Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 221), в якій Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 222). Зазначивши, що Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 223), за теоремою Ролля маємо Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 224), де Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 225).
Оскільки Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 226), то застосувавши ще раз теорему Ролля, дістанемо Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 227), де Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 228). Звідси Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 229) тобто
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 230)
Отже, Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 231)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 232)

Використовуючи цю оцінку для абсолютної похибки до кожної наближеної рівності

Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 233)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 234)

Дістанемо

Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 235)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 236)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 237)

Таким чином, абсолютна похибка Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 238) в наближеній рівності (9) оцінюється за допомогою нерівності
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 239)

при умові, що Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 240) неперервна на відрізку Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 241) і Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 242). Зазначимо, що коли Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 243) є алгебраїчний многочлен степеня не вище третього, то Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 244), і, отже, Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 245), тобто формула Сімпсона в цьому випадку є не наближеною, а точною.

.4 Приклади

) Обчислимо інтеграл

Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 246)

з точністю до 0,001, використовуючи формулу прямокутників.
Так як для Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 247), то за формулою про оцінку похибки наближеного обчислення для формули прямокутників

Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 248)

при умові, що Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 249) неперервна на відрізку Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 250) і Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 251) якщо взяти n=10, похибка буде Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 252). обчислювати значення функції Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 253) до чотирьох знаків після коми, з точністю до 0,00005. Маємо:

Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 254)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 255)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 256)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 257)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 258)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 259)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 260)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 261)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 262)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 263)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 264)

Звідси

Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 265)

Враховуючи, оцінку похибки і точність Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 266), бачимо, що Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 267) міститься між числами Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 268) іНаближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 269), а відповідно між Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 270). Таким чином, Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 271)
2) Проведемо обчислення того ж інтеграла

Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 272)

за формулою трапеції.
В цьому випадку використаємо формулу оцінки похибки формули трапеції

Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 273)

Спробуємо і тут взяти n=10, але тоді гарантувати можна лиш те, що Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 274). Обчислення проведемо з тією ж точністю, що й раніше. Маємо:

Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 275)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 276)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 277)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 278)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 279)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 280)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 281)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 282)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 283)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 284)

Звідси,

Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 285)

Враховуючи всі похибки, маємо, що Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 286) знаходиться між числами Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 287) і Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 288) тобто, Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 289) іНаближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 290). Отже, Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 291)
3) З допомогою формули Сімпсона, обчислюючи той же інтеграл, який дорівнює Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 292) можна отримати більш точний результат. Так як четверта похідна підінтегральної функції - Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 293), то за формулою абсолютної похибки

Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 294)

При n=5 (тоді число значень функції буде теж саме, що і в попередньому випадку) маємо Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 295). Обчислення проведемо з точністю 0,00005 та до п’яти знаків після коми:

Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 296)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 297)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 298)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 299)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 300)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 301)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 302)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 303)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 304)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 305)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 306)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 307)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 308)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 309)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 310)

Звідси Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 311) міститься між числами
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 312)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 313)
так що будемо мати Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 314)
В дійсності Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 315) і істинна похибка виявляється меншою ніж 0,00005.
4) Обчислимо інтеграл

Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 316)

з точністю до 0,0001 за формулою Сімпсона.
Обчисливши четверту похідну від підінтегральної функції, переконуємося, що її абсолютна величина не перевищує 12, тому

Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 317)

Досить взяти n=5, або Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 318). Оскільки Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 319), то маємо:

Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 320) Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 321)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 322) Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 323)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 324) Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 325)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 326)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 327)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 328)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 329)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 330)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 331)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 332)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 333)

Звідси

Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 334)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 335)
Отже, Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 336)

5) Обчислимо інтеграл

Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 337)

за формулою Сімпсона, при n=5, обчислюючи до 5 знаків після коми.
Оскільки Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 338), то маємо:
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 339) Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 340)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 341) Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 342)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 343) Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 344)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 345)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 346)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 347)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 348)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 349)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 350)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 351)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 352)

Звідси

Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 353)

6) Застосовуючи формулу прямокутників, обчислимо інтеграл:

Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 354)

Обчислення проведемо для n=10 з точністю до 5 знаків після коми. Знайдемо значення підінтегральної функції Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 355) у точках відрізка [0; 1]

Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 356)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 357)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 358)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 359)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 360)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 361)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 362)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 363)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 364)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 365)
Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 366)

Далі обчислимо наближене значення інтеграла, воно дорівнює:

Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 367)

Висновок

У даній роботі було розглянуто методи наближених обчислень визначених інтегралів. Були виведені формули прямокутників, трапеції та парабол (Сімпсона) та формули оцінки абсолютних похибок цих методів. Застосування цих формул показано на прикладах.
Звичайно, що при обчисленні інтегралів за допомогою формул наближеного обчислення визначених інтегралів, ми не отримуємо точного значення, а тільки наближене. Щоб максимально наблизитися до достовірного значення інтеграла потрібно правильно вибрати метод і формулу, по якій будуть вестися обчислення.
Наближене значення інтеграла можна обчислити з будь-якою наперед заданою точністю. Для цього за формулою оцінки похибки визначають на скільки частин потрібно розбити відрізок інтегрування Наближені методи обчислення визначених інтегралів (рис. 368), що дає змогу отримати більш точний результат при обчислені.
Наведені приклади наочно показують, що найбільш точне значення обчислення певних інтегралів дає використання при обчисленні формули Сімпсона. Тобто, порівнюючи формули прямокутників, трапеції та Сімпсона, ми можемо сказати, що формула Сімпсона є найбільш вигідною.
З допомогою виведених формул обчислення абсолютних похибок методів наближеного обчислення визначених інтегралів ми оцінили похибку кожного методу на прикладах.
Хоча чисельні методи й не дають точного значення інтеграла, але вони дуже важливі, тому що не завжди можна вирішити завдання інтегрування аналітичним способом.

Список використаної літератури

1.Бойко Л.Т., Основи чисельних методів: навч. посібник. - Д.: Вид-во ДНУ, 2011. - 244 с.
2.Давидов Н.А., Курс математичного аналізу / Н.А. Давидов. -К.: Вид-во "Вища школа" , 1976. -378 с.
3.Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. - М.: Изд-во „Наука" - „Физматлит", 1979. - 664 с.
.Канторович А. В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. - М.: Изд. Физико-математической литературы, 1962. - 708 с.
5.Конет І.М., Теорія ймовірностей та математична статистика./ Конет І.М. - Кам’янець-Подільський: Кам’янець-Подільський державний педагогічний університет, інформаційно- видавничий відділ, 2009.-214с.
6.Крылов В.И., Вычислительные методы: учебное пособие / В.И. Крылов, В.В. Бобков, П.И. Монастырный. - М.: „Наука", 1976. - Т.1. - 304 с.
7.Крылов В.И., Вычислительные методы: учебное пособие / В.И. Крылов, В.В. Бобков, П.И. Монастырный. - М.: „Наука", 1977. - Т.2. - 399 с.
.Марчук Г.И., Методы вычислительной математики. Схемы, таблицы. - М.: " Наука", 1977. - 456 с.
.Фихтенгольц Г.М., Курс дифференциального и интегрального исчисления. - М.: „Наука", 1970. - Т.2. - 800 с.
.Шнейдер В.Е., Краткий курс высшей математики / В.Е. Шнейдер, А.И. Слуцкий.- М.: „Наука", 1972. - 386 с.

Комментарии:

Вы не можете оставлять комментарии. Пожалуйста, зарегистрируйтесь.
▲ ▼