Контрольная работа: Ориентация прямой, плоскости в пространстве
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
. Понятие ориентации
. Правые и левые ориентации
. Произведения ориентаций
. Стороны прямой на плоскости и плоскости в пространстве
. Деформации базисов и ориентации
. Заключение
Список литературы
Дата добавления на сайт: 08 февраля 2025
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
. Понятие ориентации
. Правые и левые ориентации
. Произведения ориентаций
. Стороны прямой на плоскости и плоскости в пространстве
. Деформации базисов и ориентации
. Заключение
Список литературы
ВВЕДЕНИЕ
Ориентация - это выбор одного класса систем координат, связанных между собой «положительно» в некотором определенном смысле. Каждая система задает ориентацию, определяет класс, к которому она принадлежит. Все координатные системы делятся на два класса- правые (также используется термины положительные или стандартные) и левые.
Цель работы:
)Ввести понятие «ориентации» вполне строгим образом.
)Дать понятие «одноименным» и «разноименным» ориентациям.
)Научится определять ориентацию прямой, плоскости и пространства.
)Научится определять левую и правую ориентацию.
.Определение ориентации прямой, плоскости и пространства
На прямой α мы можем перемещаться в одном из двух противоположных направлений. Ориентировать прямую - значит выбрать на ней одно из этих двух направлений (Рис.1). Выбор одного из этих направлений называется ориентацией прямой, а прямую с заданной на ней ориентацией мы будем называть ориентированной прямой или осью.
(Бескин Н. М.. Деление отрезка в данном отношении. М.: Наука, 1973, с.5)
Чтобы ввести понятие ориентации вполне строгим образом, нам понадобится понятие \"упорядоченного множества\".
Пусть Х - произвольное множество (с элементами А, В, С …). Заданное на Х отношение (обозначаемое символ 0.
Если |С|, §2 с.15)
2. Правые и левые ориентации
Обратим внимание, что из двух возможных ориентаций прямой, плоскости или пространства чисто внутренним математическим способом нельзя выделить какую-нибудь определенную, Для этого приходится обращаться к соображениям, математике посторонним (скажем, к анатомии человека). Например, на прямой, изображенной на чертеже горизонтальной линией, можно выделить направление «слева направо». Это направление для человека наиболее привычно (в частности, большинство культурных народов пишут в этом направлении) и потому ему присвоено наименование «положительного направления» («положительной ориентации»). Однако следует отчетливо понимать, что фиксация этого направления никакого инвариантного (не зависящего от чертежа) смысла не имеет: поверните чертеж «вверх ногами», и «положительное» направление перейдет в «отрицательное». Не нужно также путать понятие «положительного направления» в этом смысле с понятием «положительного направления по отношению к данной ориентации», которое вполне инвариантно, но зависит от выбора ориентации. На вертикальных прямых принято «положительным» направлением считать направление «снизу вверх».
На плоскости задание ориентации равносильно, как мы знаем, заданию ориентаций расположенных в этой плоскости окружностей, т. е. заданию некоторого «направления вращения» этих окружностей. Наглядно это направление можно описать как направление, в котором следует вращать первый вектор базиса, определяющего данную ориентацию плоскости, чтобы кратчайшим путем совместить его со вторым вектором этого базиса (в этой формулировке предполагается, что векторы базиса имеют одинаковые длины и отложены от одной точки). При этом «положительной» ориентацией принято считать ориентацию, соответствующую вращению «против часовой стрелки». Это соглашение, конечно, также не инвариантно: посмотрите на плоскость с другой стороны, и «положительная» ориентация окажется «отрицательной».
Если посмотреть на правую руку со стороны ладони, то большой и указательный пальцы будут образовывать базис, ориентированный «против часовой стрелки». На этом основании ориентация плоскости «против часовой стрелки» обычно называется правой ориентацией, а противоположная ее ориентация - левой.
Аналогично, в пространстве правой ориентацией называется ориентация, определенная «базисом», состоящим из большого, указательного и среднего пальцев правой руки, а противоположная ориентация называется левой. Здесь, к сожалению, нет общепринятого соглашения, какую ориентацию считать «положительной». Большинство авторов (и я в том числе) считаю «положительной» правую ориентацию. Однако во многих (особенно старых) учебниках за положительную ориентацию принимается левая ориентация.
Заметим, что термин «правая» и «левая» по отношению к ориентациям пространства имеют уже инвариантный смысл, поскольку «посмотреть на пространство с другой стороны» мы не можем. Тем не менее, определить их внутренним математическим способом нельзя.
3. Произведения ориентаций
Пусть b1 и b2- две ориентированные прямые на плоскости. Предполагая, что эти прямые не параллельны, выберем на каждой из них положительно ориентированный базис. Пусть это будет вектор b1 на прямой b1 и вектор b2 на прямой b2. Так как векторы b1 и b2 по условию не коллинеарны, они составляют некоторый базис на плоскости. Оказывается, что ориентация плоскости, определенная базисом b, b 2, не зависит от выбора векторов bl, b2 и определяется исключительно ориентациями прямых b1 и b2(взятых в данном порядке).
Действительно, пусть b\'1 и b\'2 - другие положительно ориентированные базисы прямых а1 и а2. Тогда b\'1 = kl bl и b\'2 = k2 b2, где k1> 0 и k2> 0. Поэтому матрица перехода от базиса b1 b2к базису b\'1 и b\'2 имеет вид
и ее определитель k1k2 положителен.
Следовательно, базис b\'1,b\'2 определяет ту же ориентацию плоскости, что и базис b1 b2.
Таким образом, для задания ориентации плоскости достаточно задать ориентации двух не параллельных прямых этой плоскости.
(В. Н. Задорожный, Высшая математика для технических университетов. Аналитическая геометрия с.45)
Определение 1. Построенная ориентация плоскости называется произведением данных ориентаций прямых b1 и b2 и обозначается символом o1o2, где o1- ориентация прямой b1, а o2 - ориентация прямой b2
Очевидно, что
2o1≠-o1o2
и
(-o1)o2=o1(-o2)=-o1o2
При перестановке прямых b1 и b2 или при смене ориентации одной из них результирующая ориентация плоскости переходит в противоположную.
Отсюда, в частности, вытекает, что для любой ориентации о плоскости и любой ориентации о2 прямой b2существует такая ориентация o1 прямой b1, что o=o1o2.
Действительно, выберем произвольно некоторую ориентацию o\'1 прямой а1 и построим ориентацию о\'1о2.Если окажется, что o = o\'1o2, то все в порядке: ol=o\'1. Если же о1о2≠о, то обязательно о\'1 о2≠-о и потому о 1=-о\'1.
Пусть теперь b и П - ориентированные прямая и плоскость в пространстве (с ориентациями оb и oп соответственно).
Предполагая прямую a и плоскость П не параллельными, рассмотрим ориентацию пространства, определенную базисом b1, b2, bз, где b1- некоторый положительно ориентированный базис прямой b, а b2, b3 - некоторый положительно ориентированный базис плоскости П.
Если b\'1=klb1- другой положительно ориентированный базис прямой b (так что k1>0), а b\'2 = k2b2+ k\'2b3, b\'3 =k\'3a2+ k3a3- другой положительно ориентированный базис плоскости П
, то базис b1, b2, b3 пространства связан с базисом b1 b2, b3 матрицей перехода
определитель, которой равен k1
и потому положителен.Следовательно, ориентация пространства, определенная базисом b1, b2, b3, не зависит от выбора базисов b1и b2, b3и определяется исключительно данными ориентациями оb и оп прямой b и плоскости П.
Таким образом, для задания ориентации пространства достаточно задать ориентации произвольной прямой и произвольной не параллельной ей плоскости.
Определение 2. Построенная ориентация пространства называется произведением ориентаций оb и oп и обозначается символом oboп.
Аналогично определяется ориентация опоb (задаваемая базисом b2, b3, b1). Впрочем, ясно, что она совпадает с ориентацией оbоп:
Оп Оb = Оb Оп.
Далее, очевидно, что
(-Ob)Oп =Ob(-Oп)=- Оb Оп
откуда, как и выше, вытекает, что для любой ориентации o пространства и любой ориентации оb прямой b (любой ориентации оп плоскости П) существует такая ориентация oп плоскости П (ориентация оb прямой а), что o = oboп
Аналогичным образом определяется произведение o1o2o3 ориентаций трех прямых, b1 ,b2 ,b3 обладающих тем свойством, что параллельные им прямые, проходящие через одну точку, не лежат в одной плоскости (такие прямые называются прямыми общего положения).Впрочем, это произведение сводится к уже определенным произведениям:
1o2o3= o1 (o2o3).
Таким образом, для задания ориентации пространства достаточно задать ориентации трех прямых общего положения (взятых в данном порядке).
Заметим, что при четной перестановке прямых b1 ,b2 ,b3 ориентация o1o2o3 не меняется, а при нечетной - переходит в противоположную.
4. Стороны прямой на плоскости и плоскости в пространстве
Как известно, любая прямая а на плоскости разбивает эту плоскость на две полуплоскости: точки А и В плоскости, не принадлежащие прямой
, тогда и только тогда принадлежат одной полуплоскости, когда отрезок 
не пересекает прямую .Аналогично, любая плоскость П в пространстве разбивает пространство на два полупространства, причем две точки А, В, не принадлежащие плоскости, тогда и только и тогда принадлежат одному полупространству, когда отрезок
не пересекает плоскость.Определение 1. Говорят, что у прямой
в плоскости (или у плоскости П в пространстве) выбрана сторона, если выбрана одна из полуплоскостей, на которые прямая разбивает плоскость (соответственно, если выбрано одно из полупространств, на которые плоскость П разбивает пространство). Выбранная полуплоскость (полупространство) или соответствующая сторона называется при этом положительной, а другая полуплоскость (полупространство) - отрицательной.Пусть е - произвольный вектор, не параллельный прямой а (плоскости П). Выбрав на прямой α (плоскости П) произвольную точку О, отложим от нее вектор
, т. е. построим направленный отрезок 
= е. Если точка Е окажется при этом в положительной полуплоскости (положительном полупространстве), то мы будем говорить, что вектор 
направлен в положительную сторону прямой α(плоскости П). Это определение нуждается, конечно, в проверке, корректности, т. е. в доказательстве независимости полуплоскости (полупространства), содержащей точку Е, от выбора точки О. Другими словами, мы должны доказать, что если для точек О и О\' прямой а (плоскости П) и точек Е и Е\', не принадлежащих этой прямой (этой плоскости), имеет место равенство = 
, то точки Е и Е\' принадлежат одной полуплоскости(одному полупространству).Пусть это не так, т. е. пусть отрезок
пересекается с прямой α (плоскостью П). Ясно, что это возможно тогда и только тогда, когда прямые OO\' и ЕЕ\' пересекаются. С другой стороны, поскольку векторы и 
равны, эти прямые должны быть параллельны (причем совпадать они не могут). Полученное противоречие доказывает, что точки Еи Е\' принадлежат одной и той же полуплоскости (полупространству).Предложение 1. Пусть е и е\'- два коллинеарных вектора, не параллельных прямой α (плоскости П), и пусть вектор
направлен в положительную сторону прямой α(плоскости П). Вектор 
тогда и только тогда обладает тем же свойством, когда отношение е\': е положительно.Доказательство. Пусть е =
и е\'= 
, где О- некоторая точка прямой (плоскости П). Точки Еи Е\' тогда и только тогда лежат в разных полуплоскостях (полупространствах), когда отрезок ЕЕ\' пересекается с прямой (плоскостью П). Но прямая ЕЕ\' имеет с прямой α (плоскостью П) одну-единственную точку пересечения О. Следовательно, точки Еи Е\' тогда и только тогда лежат в разных полуплоскостях (полупространствах), когда отрезок 
содержит точку О, т. е. когда 
(в ориентации прямой ЕЕ\', в которой Е.. Богданова К. Ю.. Учебник физики для 11 класса , §2 с.15.
. Ссылка .
. В. Н. Задорожный, Высшая математика для технических университетов. Аналитическая геометрия с.45.
. Ссылка .