Текст работы

Основные элементарные функции, их свойства и графики.
.
Степенная функция с нечетным положительным показателем.
Рассмотрим степенную функцию  при нечетном положительном показателе степени, то есть, а = 1, 3, 5, ….
На рисунке ниже приведены графики степенныхфнукций  – черная линия,  – синяя линия,  – красная линия,  – зеленая линия. При а = 1 имеем линейную функцию y = x - частный случай степенной.

Свойства степенной функции с нечетным положительным показателем.
Область определения: .
Область значений: .
Функция нечетная, так как .
Функция возрастает при .
Функция выпуклая при  и вогнутая при  (кроме линейной функции).
Точка (0;0) является точкой перегиба (кроме линейной функции).
Асимптот нет.
Функция проходит через точки (-1;-1), (0;0), (1;1).

К началу страницы
Степенная функция с нечетным отрицательным показателем.
Посмотрите на графики степенной функции  при нечетных отрицательных значениях показателя степени, то есть, при а = -1, -3, -5, …

На рисунке в качестве примеров показаны графики степенных функций  – черная линия,  – синяя линия,  – красная линия,  – зеленая линия. При а = -1имеем обратную пропорциональность (гиперболу) - частный случай степенной функции.
Свойства степенной функции с нечетным отрицательным показателем.
Область определения: .При x = 0 имеем разрыв второго рода, так как  приа = -1, -3, -5, …. Следовательно, прямая x = 0 является вертикальной асимптотой.
Область значений: .
Функция нечетная, так как .
Функция убывает при .
Функция выпуклая при  и вогнутая при .
Точек перегиба нет.
Горизонтальной асимптотой является прямая y = 0, так какпри а = -1, -3, -5, ….
Функция проходит через точки (-1;-1), (1;1).

К началу страницыСтепенная функция с четным положительным показателем.
Рассмотрим степенную функцию  с четным положительным показателем степени, то есть, при а = 2, 4, 6, ….
В качестве примера приведем графики степенных функций  – черная линия,  – синяя линия,  – красная линия. При а = 2 имеем квадратичную функцию –квадратичную параболу – частный случай степенной функции.

Свойства степенной функции с четным положительным показателем.
Область определения: .
Область значений: .
Функция четная, так как .
Функция возрастает при , убывает при .
Функция вогнутая при .
Точек перегиба нет.
Асимптот нет.
Функция проходит через точки (-1;1), (0;0), (1;1).

К началу страницы
Степенная функция с четным отрицательным показателем.
Перейдем к степенной функции  при а = -2, -4, -6, …

На рисунке изображены графики степенных функций  – черная линия,  – синяя линия,  – красная линия.
Свойства степенной функции с четным отрицательным показателем.
Область определения: .При x = 0 имеем разрыв второго рода, так как  приа = -2, -4, -6, …. Следовательно, прямая x = 0 является вертикальной асимптотой.
Область значений: .
Функция четная, так как .
Функция возрастает при , убывает при .
Функция вогнутая при .
Точек перегиба нет.
Горизонтальной асимптотой является прямая y = 0, так какпри а=-2, -4, -6, ….
Функция проходит через точки (-1;1), (1;1).

К началу страницы
Степенная функция с рациональным показателем.
Рассмотрим графики степенной функции , если  и а – несократимая рациональная дробь с четным знаменателем (например, а = 1/4 или 3/8). (Про важность несократимости рациональной дроби написано в замечании к этому пункту).

На рисунке в качестве примера показаны графики степенных функций  – черная линия,  – синяя линия,  – красная линия.
Свойства степенной функции с положительным рациональным показателем меньшим единицы.
Область определения: .
Область значений: .
Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.
Функция возрастает при .
Функция выпуклая при .
Точек перегиба нет.
Асимптот нет.
Функция проходит через точки (0;0), (1;1).
Замечание.
Если  и а – иррациональное число (например, ), то вид графика степенной функции аналогичен виду графиков, изображенных в этом пункте, свойства степенной функции с иррациональным показателем абсолютно схожи.

К началу страницы
Рассмотрим степенную функцию  когда , а также числитель и знаменатель рациональной дроби в показателе степени представляет собой нечетные числа, причем сама дробь несократима (например, 1/3 или 5/7).

На рисунке представлены графики степенных функций  – синяя линия,  – красная линия.
Свойства степенной функции с положительным рациональным показателем меньшим единицы.
Область определения: .
Область значений: .
Функция нечетная, так как .
Функция возрастает при .
Функция вогнутая при  и выпуклая при .
Точка (0;0) является точкой перегиба.
Асимптот нет.
Функция проходит через точки (-1;-1), (0;0), (1;1).

К началу страницы
Сейчас остановимся на степенной функции , у которой  и числитель рациональной дроби в показателе степени представляет собой четное число, а знаменатель - нечетное число и сама дробь несократима (например, 2/3 или 6/7).
Графики степенной функции  при а = 2/5 и а = 6/7 имеют вид ( – синяя линия,  – красная линия):

Свойства степенной функции для этого случая.
Область определения: .
Область значений: .
Функция четная, так как .
Функция возрастает при , убывает при .
Функция выпуклая при .
Точек перегиба нет.
Асимптот нет.
Функция проходит через точки (-1;1), (0;0), (1;1).

К началу страницы
Рассмотрим степенную функцию , когда  и а – несократимая рациональная дробь с четным знаменателем (например, а = 7/4 или 11/8).

В качестве примера на рисунке изображены графики степенных функций  – черная линия,  – красная линия,  – синяя линия.
Свойства степенной функции с положительным рациональным показателем большим единицы.
Область определения: .
Область значений: .
Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.
Функция возрастает при .
Функция вогнутая при , если ; при , если .
Точек перегиба нет.
Асимптот нет.
Функция проходит через точки (0;0), (1;1).
Замечание.
Если  и а – иррациональное число (например, корень четвертой степени из 19,23), то вид графика степенной функции с иррациональным показателем аналогичен виду графиков, показанных в этом пункте, свойства абсолютно схожи.

К началу страницы
Перейдем к степенной функции, когда , а числитель и знаменатель рациональной дроби в показателе степени представляет собой нечетные числа, причем сама дробь несократима (например, 7/3 или 25/7).

В качестве примера приведены графики степенных функций  – синяя линия,  – красная линия.
Свойства степенной функции с положительным рациональным показателем большим единицы.
Область определения: .
Область значений: .
Функция нечетная, так как .
Функция возрастает при .
Функция вогнутая при  и выпуклая при .
Точка (0;0) является точкой перегиба.
Асимптот нет.
Функция проходит через точки (-1;-1), (0;0), (1;1).

К началу страницы
Разберемся со степенной функцией, если  и числитель рациональной дроби в показателе степени представляет собой четное число, а знаменатель - нечетное число, а сама дробь несократима (например, 8/3 или 16/7).

На рисунке изображены графики степенных функций  – синяя линия,  – красная линия.
Свойства степенной функции с положительным рациональным показателем большим единицы.
Область определения: .
Область значений: .
Функция четная, так как .
Функция возрастает при , убывает при .
Функция вогнутая при .
Точек перегиба нет.
Асимптот нет.
Функция проходит через точки (-1;1), (0;0), (1;1).

К началу страницы
Рассмотрим степенную функцию  для случая, когда  и а – несократимая рациональная дробь с четным знаменателем (например, а = -1/2 или -5/8).
Для наглядности приведем графики степенных функций  – красная линия,  – синяя линия,  – черная линия.

Свойства степенной функции с отрицательным рациональным показателем.
Область определения: .Поведение на границе области определения  при  и а – рациональная дробь. Следовательно, х = 0 является вертикальной асимптотой.
Область значений: .
Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.
Функция убывает при .
Функция вогнутая при .
Точек перегиба нет.
Горизонтальной асимптотой является прямая y = 0.
Функция проходит через точку (1;1).
Замечание.
Если  и а – иррациональное число (например, минус корень четвертой степени из0,21), то для этого случая вид графика степенной функции аналогичен виду графиков, рассмотренных в этом пункте, свойства такой степенной функции совпадают со свойствами, перечисленными выше.

К началу страницы
Переходим к степенной функции , кгода  а числитель и знаменатель рациональной дроби в показателе степени представляет собой нечетные числа, причем сама дробь несократима (к примеру, -1/3 или -5/7).

В качестве примера построены графики степенных функций  – синяя линия,  – красная линия.
Свойства степенной функции с отрицательным рациональным показателем.
Область определения: .Поведение на границе области определения  при  и а – несократимая рациональная дробь с нечетным числителем и знаменателем.Следовательно, х = 0 является вертикальной асимптотой.
Область значений: .
Функция нечетная, так как .
Функция убывает при .
Функция выпуклая при  и вогнутая при .
Точек перегиба нет.
Горизонтальной асимптотой является прямая y = 0.
Функция проходит через точки (-1;-1), (1;1).

К началу страницы
Сейчас поговорим о степенной функции , если  и если числитель рациональной дроби в показателе степени представляет собой четное число, а знаменатель - нечетное число, а сама дробь несократима (например, -2/3 или -6/7).

На рисунке показаны графики степенных функций  – синяя линия,  – красная линия.
Свойства степенной функции с отрицательным рациональным показателем.
Область определения: .Поведение на границе области определения  при  и а – несократимая рациональная дробь с четным числителем и нечетным знаменателем.Следовательно, х = 0 является вертикальной асимптотой.
Область значений: .
Функция четная, так как .
Функция возрастает при , убывает при .
Функция вогнутая при .
Точек перегиба нет.
Горизонтальной асимптотой является прямая y = 0.
Функция проходит через точки (-1;1), (1;1).

К началу страницы
Переходим к степенной функции  для случая, когда  и а – несократимая рациональная дробь с четным знаменателем (например, а = -3/2 или -21/8).
Для примера покажем графики степенных функций  – красная линия,  – синяя линия и  – черная линия.

Свойства степенной функции с отрицательным рациональным показателем.
Область определения: .Поведение на границе области определения  при  и а – рациональная дробь с четным знаменателем. Следовательно, х = 0 является вертикальной асимптотой.
Область значений: .
Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.
Функция убывает при .
Функция вогнутая при .
Точек перегиба нет.
Горизонтальной асимптотой является прямая y = 0.
Функция проходит через точку (1;1).
Замечание.
Если  и а – иррациональное число (например, минус корень квадратный из семи), то вид графика такой степенной функции аналогичен виду графиков, показанных в этом пункте, свойства абсолютно схожи.

К началу страницы
Рассмотрим степенную функцию , когда , числитель и знаменатель рациональной дроби в показателе степени представляет собой нечетные числа, а сама дробь несократима (к примеру, -5/3 или -25/7).

В качестве примера на рисунке изображены графики степенныхфункци  – синяя линия,  – красная линия.
Свойства степенной функции с отрицательным рациональным показателем.
Область определения: .Поведение на границе области определения  при  и а – несократимая рациональная дробь с нечетным и числителем и знаменателем.Следовательно, х = 0 является вертикальной асимптотой.
Область значений: .
Функция нечетная, так как .
Функция убывает при .
Функция выпуклая при  и вогнутая при .
Точек перегиба нет.
Горизонтальной асимптотой является прямая y = 0.
Функция проходит через точки (-1;-1), (1;1).

К началу страницы
Разберемся со степенной функцией , когда , числитель рациональной дроби в показателе степени представляет собой четное число, а знаменатель - нечетное число и сама дробь несократима (например, -6/5 или -24/7).

На иллюстрации взяты графики степенных функций  – синяя линия,  – красная линия.
Свойства степенной функции с отрицательным рациональным показателем.
Область определения: .Поведение на границе области определения  при  и а – несократимая рациональная дробь с четным числителем и нечетным знаменателем.Следовательно, х = 0 является вертикальной асимптотой.
Область значений: .
Функция четная, так как .
Функция возрастает при , убывает при .
Функция вогнутая при .
Точек перегиба нет.
Горизонтальной асимптотой является прямая y = 0.
Функция проходит через точки (-1;1), (1;1).

К началу страницы
При а = 0 и  имеем функцию  - это прямая из которой исключена точка (0;1). При а = 0 и х = 0 условимся не придавать функции никакого числового значения.

К началу страницыПоказательная функция.
Одной из основных элементарных функций является показательная функция.
График показательной функции , где  и  принимает различный вид в зависимости от значения основания а. Разберемся в этим.
Сначала рассмотрим случай, когда основание показательной функции принимает значение от нуля до единицы, то есть, .
Для примера приведем графики показательной функции при а = 1/2 – синяя линия, a = 5/6 – красная линия. Аналогичный вид имеют графики показательной функции при других значениях основания из интервала .

Свойства показательной функции с основанием меньшим единицы.
Областью определения показательной функции является все множество действительнйх чисел: .
Область значений: .
Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть, она общего вида.
Показательная функция, основание которой меньше единицы, убывает на всей области определения.
Функция вогнутая при .
Точек перегиба нет.
Горизонтальной асимптотой является прямая y = 0 при х стремящемся к плюс бесконечности.
Функция проходит через точку (0;1).

К началу страницы
Переходим к случаю, когда основание показательной функции больше единицы, то есть, .
В качестве иллюстрации приведем графики показательных функций  – синяя линия и – красная линия. При других значениях основания, больших единицы, графики показательной функции будут иметь схожий вид.

Свойства показательной функции с основанием большим единицы.
Область определения показательной функции: .
Область значений: .
Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.
Показательная функция, основание которой больше единицы, возрастает при .
Функция вогнутая при .
Точек перегиба нет.
Горизонтальной асимптотой является прямая y = 0 при х стремящемся к минус бесконечности.
Функция проходит через точку (0;1).

К началу страницыЛогарифмическая функция.
Следующей основной элементарной функцией является логарифмическая функция , где , . Логарифмическая функция определена лишь для положительных значений аргумента, то есть, при .
График логарифмической функции принимает различный вид в зависимости от значения основания а.
Начнем со случая, когда .
Для примера приведем графики логарифмической функции при а = 1/2 – синяя линия, a = 5/6– красная линия. При других значениях основания, не превосходящих единицы, графики логарифмической функции будут иметь схожий вид.

Свойства логарифмической функции с основанием меньшим единицы.
Область определения логарифмической функции: . При х стремящемся к нулю справа, значения функции стремятся к плюс бесконечности.
Область значений: .
Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.
Логарифмическая функция убывает на всей области определения.
Функция вогнутая при .
Точек перегиба нет.
Горизонтальных асимптот нет.
Функция проходит через точку (1;0).

К началу страницы
Перейдем к случаю, когда основание логарифмической функции больше единицы ().
Покажем графики логарифмических функций  – синяя линия,  – красная линия. При других значениях основания, больших единицы, графики логарифмической функции будут иметь схожий вид.

Свойства логарифмической функции с основанием большим единицы.
Область определения: . При х стремящемся к нулю справа, значения функции стремятся к минус бесконечности.
Областю значений логарифмической функции является все множество действительных чисел, то есть, интервал .
Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.
Функция возрастает при .
Функция выпуклая при .
Точек перегиба нет.
Горизонтальных асимптот нет.
Функция проходит через точку (1;0).

К началу страницыТригонометрические функции, их свойства и графики.
Все тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс и котангенс) относятся к основным элементарным функциям. Сейчас мы рассмотрим их графики и перечислим свойства.
Тригонометрическим функциям присуще понятие периодичности (повторяемости значений функции при различных значениях аргумента, отличных друг от друга на величину периода , где Т - период), поэтому, в список свойств тригонометрических функций добавлен пункт «наименьший положительный период». Также для каждой тригонометрической функции мы укажем значения аргумента, при которых соответствующая функция обращается в ноль.
Теперь разберемся со всеми тригонометрическими функциями по-порядку.
Функция синус y = sin(x).
Изобразим график функции синус, его называют "синусоида".

Свойства функции синус y = sinx.
Областью определения функции синус является все множество действительных чисел, то есть, функция y = sinx определена при .
Наименьший положительный период функции синуса равен двум пи: .
Функция обращается в ноль при , где , Z – множество целых чисел.
Функция синус принимает значения из интервала отминус единицы до единицы включительно, то есть, ее область значений есть .
Функция синус - нечетная, так как .
Функция убывает при ,возрастает при .
Функция синус имеет локальные максимумы в точках ,локальные минимумы в точках .
Функция y = sinx вогнутая при ,выпуклая при .
Координаты точек перегиба .
Асимптот нет.

К началу страницыФункция косинус y = cos(x).
График функции косинус (его называют "косинусоида") имеет вид:

Свойства функции косинус y = cosx.
Область определения функции косинус: .
Наименьший положительный период функции y = cosx равен двум пи: .
Функция обращается в ноль при , где , Z – множество целых чисел.
Область значений функции косинус представляет интервал отминус единицы до единицы включительно: .
Функция косинус - четная, так как .
Функция убывает при ,возрастает при .
Функция y = cosx имеет локальные максимумы в точках ,локальные минимумы в точках .
Функция вогнутая при ,выпуклая при .
Координаты точек перегиба .
Асимптот нет.

К началу страницыФункция тангенс y = tg(x).
График функции тангенс (его называют "тангенсоида") имеет вид:

Свойства функции тангенс y = tgx.
Область определения функции тангенс: , где , Z – множество целых чисел.Поведение функции y = tgx на границе области определения Следовательно, прямые , где , являются вертикальными асимптотами.
Наименьший положительный период функции тангенс .
Функция обращается в ноль при , где , Z – множество целых чисел.
Область значений функции y = tgx: .
Функция тангенс - нечетная, так как .
Функция возрастает при .
Функция вогнутая при ,выпуклая при .
Координаты точек перегиба .
Наклонных и горизонтальных асимптот нет.

К началу страницыФункция котангенс y = ctg(x).
Изобразим график функции котангенс (его называют "котангенсоида"):

Свойства функции котангенс y = ctgx.
Область определения функции котангенс: , где , Z – множество целых чисел.Поведение на границе области определения Следовательно, прямые , где  являются вертикальными асимптотами.
Наименьший положительный период функции y = ctgx равен пи: .
Функция обращается в ноль при , где , Z – множество целых чисел.
Область значений функции котангенс: .
Функция нечетная, так как .
Функция y = ctgx убывает при .
Функция котангенс вогнутая при ,выпуклая при .
Координаты точек перегиба .
Наклонных и горизонтальных асимптот нет.

К началу страницыОбратные тригонометрические функции, их свойства и графики.
Обратные тригонометрические функции (арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс) являются основным элементарным функциями. Часто из-за приставки "арк" обратные тригонометрические функции называют аркфункциями. Сейчас мы рассмотрим их графики и перечислим свойства.
Функция арксинус y = arcsin(x).
Изобразим график функции арксинус:

Свойства функции арксинус y = arcsin(x).
Областью определения функции арксинус является интервал отминус единицы до единицы включительно: .
Область значений функции y = arcsin(x): .
Функция арксинус - нечетная, так как .
Функция y = arcsin(x) возрастает на всей области определения, то есть, при .
Функция вогнутая при , выпуклая при .
Точка перегиба (0; 0), она же ноль функции.
Асимптот нет.

К началу страницыФункция арккосинус y = arccos(x).
График функции арккосинус имеет вид:

Свойства функции арккосинус y = arccos(x).
Область определения функции арккосинус: .
Область значений функции y = arccos(x): .
Функция не является ни четной ни нечетной, то есть, она общего вида.
Функция арккосинус убывает на всей области определения, то есть, при .
Функция вогнутая при , выпуклая при .
Точка перегиба .
Асимптот нет.

К началу страницыФункция арктангенс y = arctg(x).
График функции арктангенс имеет вид:

Свойства функции арктангенс y = arctg(x).
Область определения функции y = arctg(x): .
Область значений функции арктангенс: .
Функция арктангенс - нечетная, так как .
Функция возрастает на всей области определения, то есть, при .
Функция арктангенс вогнутая при , выпуклая при .
Точка перегиба (0; 0), она же ноль функции.
Горизонтальными асимптотами являются прямые  при  и  при . На чертеже они показаны зеленым цветом.

К началу страницыФункция арккотангенс y = arcctg(x).
Изобразим график функции арккотангенс:

Свойства функции арккотангенс y = arcctg(x).
Областью определения функции арккотангенс является все множество действительных чисел: .
Область значений функции y = arcctg(x): .
Функция арккотангенс не является ни четной ни нечетной, то есть, она общего вида.
Функция убывает на всей области определения, то есть, при .
Функция вогнутая при , выпуклая при .
Точка перегиба .
Горизонтальными асимптотами являются прямые  при  (на чертеже показана зеленым цветом) и y = 0 при .