Главная
Добавить работу на сайт
Регистрация
  
Главная страница >> Реферат >> Математика и статистика >> Основные элементарные функции, их свойства и графики

Реферат: Основные элементарные функции, их свойства и графики

Основные элементарные функции, их свойства и графики.


Дата добавления на сайт: 01 мая 2025
Заказать курсовую работу
Заказать реферат и др.
Скачать данную работу
Основные элементарные функции, их свойства и графики.
.
Степенная функция с нечетным положительным показателем.
Рассмотрим степенную функцию Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 1) при нечетном положительном показателе степени, то есть, а = 1, 3, 5, ….
На рисунке ниже приведены графики степенныхфнукций Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 2) – черная линия, Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 3) – синяя линия, Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 4) – красная линия, Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 5) – зеленая линия. При а = 1 имеем линейную функцию y = x - частный случай степенной.
Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 6)
Свойства степенной функции с нечетным положительным показателем.
Область определения: Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 7).
Область значений: Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 8).
Функция нечетная, так как Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 9).
Функция возрастает при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 10).
Функция выпуклая при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 11) и вогнутая при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 12) (кроме линейной функции).
Точка (0;0) является точкой перегиба (кроме линейной функции).
Асимптот нет.
Функция проходит через точки (-1;-1), (0;0), (1;1).

К началу страницы
Степенная функция с нечетным отрицательным показателем.
Посмотрите на графики степенной функции Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 13) при нечетных отрицательных значениях показателя степени, то есть, при а = -1, -3, -5, …
Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 14)
На рисунке в качестве примеров показаны графики степенных функций Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 15) – черная линия, Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 16) – синяя линия, Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 17) – красная линия, Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 18) – зеленая линия. При а = -1имеем обратную пропорциональность (гиперболу) - частный случай степенной функции.
Свойства степенной функции с нечетным отрицательным показателем.
Область определения: Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 19).При x = 0 имеем разрыв второго рода, так как Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 20) приа = -1, -3, -5, …. Следовательно, прямая x = 0 является вертикальной асимптотой.
Область значений: Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 21).
Функция нечетная, так как Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 22).
Функция убывает при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 23).
Функция выпуклая при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 24) и вогнутая при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 25).
Точек перегиба нет.
Горизонтальной асимптотой является прямая y = 0, так какОсновные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 26)при а = -1, -3, -5, ….
Функция проходит через точки (-1;-1), (1;1).

К началу страницыСтепенная функция с четным положительным показателем.
Рассмотрим степенную функцию Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 27) с четным положительным показателем степени, то есть, при а = 2, 4, 6, ….
В качестве примера приведем графики степенных функций Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 28) – черная линия, Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 29) – синяя линия, Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 30) – красная линия. При а = 2 имеем квадратичную функцию –квадратичную параболу – частный случай степенной функции.
Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 31)
Свойства степенной функции с четным положительным показателем.
Область определения: Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 32).
Область значений: Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 33).
Функция четная, так как Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 34).
Функция возрастает при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 35), убывает при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 36).
Функция вогнутая при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 37).
Точек перегиба нет.
Асимптот нет.
Функция проходит через точки (-1;1), (0;0), (1;1).

К началу страницы
Степенная функция с четным отрицательным показателем.
Перейдем к степенной функции Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 38) при а = -2, -4, -6, …
Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 39)
На рисунке изображены графики степенных функций Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 40) – черная линия, Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 41) – синяя линия, Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 42) – красная линия.
Свойства степенной функции с четным отрицательным показателем.
Область определения: Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 43).При x = 0 имеем разрыв второго рода, так как Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 44) приа = -2, -4, -6, …. Следовательно, прямая x = 0 является вертикальной асимптотой.
Область значений: Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 45).
Функция четная, так как Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 46).
Функция возрастает при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 47), убывает при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 48).
Функция вогнутая при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 49).
Точек перегиба нет.
Горизонтальной асимптотой является прямая y = 0, так какОсновные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 50)при а=-2, -4, -6, ….
Функция проходит через точки (-1;1), (1;1).

К началу страницы
Степенная функция с рациональным показателем.
Рассмотрим графики степенной функции Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 51), если Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 52) и а – несократимая рациональная дробь с четным знаменателем (например, а = 1/4 или 3/8). (Про важность несократимости рациональной дроби написано в замечании к этому пункту).
Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 53)
На рисунке в качестве примера показаны графики степенных функций Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 54) – черная линия, Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 55) – синяя линия, Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 56) – красная линия.
Свойства степенной функции с положительным рациональным показателем меньшим единицы.
Область определения: Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 57).
Область значений: Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 58).
Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.
Функция возрастает при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 59).
Функция выпуклая при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 60).
Точек перегиба нет.
Асимптот нет.
Функция проходит через точки (0;0), (1;1).
Замечание.
Если Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 61) и а – иррациональное число (например, Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 62)), то вид графика степенной функции аналогичен виду графиков, изображенных в этом пункте, свойства степенной функции с иррациональным показателем абсолютно схожи.

К началу страницы
Рассмотрим степенную функцию Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 63) когда Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 64), а также числитель и знаменатель рациональной дроби в показателе степени представляет собой нечетные числа, причем сама дробь несократима (например, 1/3 или 5/7).
Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 65)
На рисунке представлены графики степенных функций Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 66) – синяя линия, Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 67) – красная линия.
Свойства степенной функции с положительным рациональным показателем меньшим единицы.
Область определения: Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 68).
Область значений: Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 69).
Функция нечетная, так как Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 70).
Функция возрастает при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 71).
Функция вогнутая при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 72) и выпуклая при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 73).
Точка (0;0) является точкой перегиба.
Асимптот нет.
Функция проходит через точки (-1;-1), (0;0), (1;1).

К началу страницы
Сейчас остановимся на степенной функции Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 74), у которой Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 75) и числитель рациональной дроби в показателе степени представляет собой четное число, а знаменатель - нечетное число и сама дробь несократима (например, 2/3 или 6/7).
Графики степенной функции Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 76) при а = 2/5 и а = 6/7 имеют вид (Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 77) – синяя линия, Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 78) – красная линия):
Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 79)
Свойства степенной функции для этого случая.
Область определения: Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 80).
Область значений: Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 81).
Функция четная, так как Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 82).
Функция возрастает при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 83), убывает при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 84).
Функция выпуклая при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 85).
Точек перегиба нет.
Асимптот нет.
Функция проходит через точки (-1;1), (0;0), (1;1).

К началу страницы
Рассмотрим степенную функцию Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 86), когда Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 87) и а – несократимая рациональная дробь с четным знаменателем (например, а = 7/4 или 11/8).
Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 88)
В качестве примера на рисунке изображены графики степенных функций Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 89) – черная линия, Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 90) – красная линия, Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 91) – синяя линия.
Свойства степенной функции с положительным рациональным показателем большим единицы.
Область определения: Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 92).
Область значений: Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 93).
Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.
Функция возрастает при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 94).
Функция вогнутая при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 95), если Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 96); при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 97), если Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 98).
Точек перегиба нет.
Асимптот нет.
Функция проходит через точки (0;0), (1;1).
Замечание.
Если Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 99) и а – иррациональное число (например, корень четвертой степени из 19,23), то вид графика степенной функции с иррациональным показателем аналогичен виду графиков, показанных в этом пункте, свойства абсолютно схожи.

К началу страницы
Перейдем к степенной функции, когда Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 100), а числитель и знаменатель рациональной дроби в показателе степени представляет собой нечетные числа, причем сама дробь несократима (например, 7/3 или 25/7).
Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 101)
В качестве примера приведены графики степенных функций Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 102) – синяя линия, Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 103) – красная линия.
Свойства степенной функции с положительным рациональным показателем большим единицы.
Область определения: Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 104).
Область значений: Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 105).
Функция нечетная, так как Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 106).
Функция возрастает при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 107).
Функция вогнутая при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 108) и выпуклая при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 109).
Точка (0;0) является точкой перегиба.
Асимптот нет.
Функция проходит через точки (-1;-1), (0;0), (1;1).

К началу страницы
Разберемся со степенной функцией, если Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 110) и числитель рациональной дроби в показателе степени представляет собой четное число, а знаменатель - нечетное число, а сама дробь несократима (например, 8/3 или 16/7).
Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 111)
На рисунке изображены графики степенных функций Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 112) – синяя линия, Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 113) – красная линия.
Свойства степенной функции с положительным рациональным показателем большим единицы.
Область определения: Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 114).
Область значений: Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 115).
Функция четная, так как Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 116).
Функция возрастает при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 117), убывает при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 118).
Функция вогнутая при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 119).
Точек перегиба нет.
Асимптот нет.
Функция проходит через точки (-1;1), (0;0), (1;1).

К началу страницы
Рассмотрим степенную функцию Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 120) для случая, когда Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 121) и а – несократимая рациональная дробь с четным знаменателем (например, а = -1/2 или -5/8).
Для наглядности приведем графики степенных функций Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 122) – красная линия, Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 123) – синяя линия, Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 124) – черная линия.
Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 125)
Свойства степенной функции с отрицательным рациональным показателем.
Область определения: Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 126).Поведение на границе области определения Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 127) при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 128) и а – рациональная дробь. Следовательно, х = 0 является вертикальной асимптотой.
Область значений: Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 129).
Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.
Функция убывает при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 130).
Функция вогнутая при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 131).
Точек перегиба нет.
Горизонтальной асимптотой является прямая y = 0.
Функция проходит через точку (1;1).
Замечание.
Если Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 132) и а – иррациональное число (например, минус корень четвертой степени из0,21), то для этого случая вид графика степенной функции аналогичен виду графиков, рассмотренных в этом пункте, свойства такой степенной функции совпадают со свойствами, перечисленными выше.

К началу страницы
Переходим к степенной функции Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 133), кгода Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 134) а числитель и знаменатель рациональной дроби в показателе степени представляет собой нечетные числа, причем сама дробь несократима (к примеру, -1/3 или -5/7).
Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 135)
В качестве примера построены графики степенных функций Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 136) – синяя линия, Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 137) – красная линия.
Свойства степенной функции с отрицательным рациональным показателем.
Область определения: Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 138).Поведение на границе области определения Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 139) при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 140) и а – несократимая рациональная дробь с нечетным числителем и знаменателем.Следовательно, х = 0 является вертикальной асимптотой.
Область значений: Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 141).
Функция нечетная, так как Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 142).
Функция убывает при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 143).
Функция выпуклая при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 144) и вогнутая при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 145).
Точек перегиба нет.
Горизонтальной асимптотой является прямая y = 0.
Функция проходит через точки (-1;-1), (1;1).

К началу страницы
Сейчас поговорим о степенной функции Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 146), если Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 147) и если числитель рациональной дроби в показателе степени представляет собой четное число, а знаменатель - нечетное число, а сама дробь несократима (например, -2/3 или -6/7).
Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 148)
На рисунке показаны графики степенных функций Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 149) – синяя линия, Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 150) – красная линия.
Свойства степенной функции с отрицательным рациональным показателем.
Область определения: Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 151).Поведение на границе области определения Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 152) при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 153) и а – несократимая рациональная дробь с четным числителем и нечетным знаменателем.Следовательно, х = 0 является вертикальной асимптотой.
Область значений: Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 154).
Функция четная, так как Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 155).
Функция возрастает при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 156), убывает при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 157).
Функция вогнутая при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 158).
Точек перегиба нет.
Горизонтальной асимптотой является прямая y = 0.
Функция проходит через точки (-1;1), (1;1).

К началу страницы
Переходим к степенной функции Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 159) для случая, когда Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 160) и а – несократимая рациональная дробь с четным знаменателем (например, а = -3/2 или -21/8).
Для примера покажем графики степенных функций Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 161) – красная линия, Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 162) – синяя линия и Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 163) – черная линия.
Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 164)
Свойства степенной функции с отрицательным рациональным показателем.
Область определения: Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 165).Поведение на границе области определения Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 166) при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 167) и а – рациональная дробь с четным знаменателем. Следовательно, х = 0 является вертикальной асимптотой.
Область значений: Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 168).
Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.
Функция убывает при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 169).
Функция вогнутая при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 170).
Точек перегиба нет.
Горизонтальной асимптотой является прямая y = 0.
Функция проходит через точку (1;1).
Замечание.
Если Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 171) и а – иррациональное число (например, минус корень квадратный из семи), то вид графика такой степенной функции аналогичен виду графиков, показанных в этом пункте, свойства абсолютно схожи.

К началу страницы
Рассмотрим степенную функцию Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 172), когда Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 173), числитель и знаменатель рациональной дроби в показателе степени представляет собой нечетные числа, а сама дробь несократима (к примеру, -5/3 или -25/7).
Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 174)
В качестве примера на рисунке изображены графики степенныхфункци Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 175) – синяя линия, Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 176) – красная линия.
Свойства степенной функции с отрицательным рациональным показателем.
Область определения: Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 177).Поведение на границе области определения Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 178) при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 179) и а – несократимая рациональная дробь с нечетным и числителем и знаменателем.Следовательно, х = 0 является вертикальной асимптотой.
Область значений: Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 180).
Функция нечетная, так как Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 181).
Функция убывает при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 182).
Функция выпуклая при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 183) и вогнутая при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 184).
Точек перегиба нет.
Горизонтальной асимптотой является прямая y = 0.
Функция проходит через точки (-1;-1), (1;1).

К началу страницы
Разберемся со степенной функцией Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 185), когда Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 186), числитель рациональной дроби в показателе степени представляет собой четное число, а знаменатель - нечетное число и сама дробь несократима (например, -6/5 или -24/7).
Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 187)
На иллюстрации взяты графики степенных функций Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 188) – синяя линия, Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 189) – красная линия.
Свойства степенной функции с отрицательным рациональным показателем.
Область определения: Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 190).Поведение на границе области определения Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 191) при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 192) и а – несократимая рациональная дробь с четным числителем и нечетным знаменателем.Следовательно, х = 0 является вертикальной асимптотой.
Область значений: Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 193).
Функция четная, так как Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 194).
Функция возрастает при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 195), убывает при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 196).
Функция вогнутая при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 197).
Точек перегиба нет.
Горизонтальной асимптотой является прямая y = 0.
Функция проходит через точки (-1;1), (1;1).

К началу страницы
При а = 0 и Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 198) имеем функцию Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 199) - это прямая из которой исключена точка (0;1). При а = 0 и х = 0 условимся не придавать функции никакого числового значения.

К началу страницыПоказательная функция.
Одной из основных элементарных функций является показательная функция.
График показательной функции Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 200), где Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 201) и Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 202) принимает различный вид в зависимости от значения основания а. Разберемся в этим.
Сначала рассмотрим случай, когда основание показательной функции принимает значение от нуля до единицы, то есть, Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 203).
Для примера приведем графики показательной функции при а = 1/2 – синяя линия, a = 5/6 – красная линия. Аналогичный вид имеют графики показательной функции при других значениях основания из интервала Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 204).
Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 205)
Свойства показательной функции с основанием меньшим единицы.
Областью определения показательной функции является все множество действительнйх чисел: Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 206).
Область значений: Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 207).
Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть, она общего вида.
Показательная функция, основание которой меньше единицы, убывает на всей области определения.
Функция вогнутая при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 208).
Точек перегиба нет.
Горизонтальной асимптотой является прямая y = 0 при х стремящемся к плюс бесконечности.
Функция проходит через точку (0;1).

К началу страницы
Переходим к случаю, когда основание показательной функции больше единицы, то есть, Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 209).
В качестве иллюстрации приведем графики показательных функций Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 210) – синяя линия иОсновные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 211) – красная линия. При других значениях основания, больших единицы, графики показательной функции будут иметь схожий вид.
Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 212)
Свойства показательной функции с основанием большим единицы.
Область определения показательной функции: Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 213).
Область значений: Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 214).
Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.
Показательная функция, основание которой больше единицы, возрастает при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 215).
Функция вогнутая при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 216).
Точек перегиба нет.
Горизонтальной асимптотой является прямая y = 0 при х стремящемся к минус бесконечности.
Функция проходит через точку (0;1).

К началу страницыЛогарифмическая функция.
Следующей основной элементарной функцией является логарифмическая функция Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 217), где Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 218), Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 219). Логарифмическая функция определена лишь для положительных значений аргумента, то есть, при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 220).
График логарифмической функции принимает различный вид в зависимости от значения основания а.
Начнем со случая, когда Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 221).
Для примера приведем графики логарифмической функции при а = 1/2 – синяя линия, a = 5/6– красная линия. При других значениях основания, не превосходящих единицы, графики логарифмической функции будут иметь схожий вид.
Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 222)
Свойства логарифмической функции с основанием меньшим единицы.
Область определения логарифмической функции: Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 223). При х стремящемся к нулю справа, значения функции стремятся к плюс бесконечности.
Область значений: Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 224).
Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.
Логарифмическая функция убывает на всей области определения.
Функция вогнутая при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 225).
Точек перегиба нет.
Горизонтальных асимптот нет.
Функция проходит через точку (1;0).

К началу страницы
Перейдем к случаю, когда основание логарифмической функции больше единицы (Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 226)).
Покажем графики логарифмических функций Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 227) – синяя линия, Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 228) – красная линия. При других значениях основания, больших единицы, графики логарифмической функции будут иметь схожий вид.
Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 229)
Свойства логарифмической функции с основанием большим единицы.
Область определения: Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 230). При х стремящемся к нулю справа, значения функции стремятся к минус бесконечности.
Областю значений логарифмической функции является все множество действительных чисел, то есть, интервал Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 231).
Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.
Функция возрастает при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 232).
Функция выпуклая при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 233).
Точек перегиба нет.
Горизонтальных асимптот нет.
Функция проходит через точку (1;0).

К началу страницыТригонометрические функции, их свойства и графики.
Все тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс и котангенс) относятся к основным элементарным функциям. Сейчас мы рассмотрим их графики и перечислим свойства.
Тригонометрическим функциям присуще понятие периодичности (повторяемости значений функции при различных значениях аргумента, отличных друг от друга на величину периода Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 234), где Т - период), поэтому, в список свойств тригонометрических функций добавлен пункт «наименьший положительный период». Также для каждой тригонометрической функции мы укажем значения аргумента, при которых соответствующая функция обращается в ноль.
Теперь разберемся со всеми тригонометрическими функциями по-порядку.
Функция синус y = sin(x).
Изобразим график функции синус, его называют "синусоида".
Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 235)
Свойства функции синус y = sinx.
Областью определения функции синус является все множество действительных чисел, то есть, функция y = sinx определена при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 236).
Наименьший положительный период функции синуса равен двум пи: Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 237).
Функция обращается в ноль при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 238), где Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 239), Z – множество целых чисел.
Функция синус принимает значения из интервала отминус единицы до единицы включительно, то есть, ее область значений есть Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 240).
Функция синус - нечетная, так как Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 241).
Функция убывает при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 242),возрастает при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 243).
Функция синус имеет локальные максимумы в точках Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 244),локальные минимумы в точках Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 245).
Функция y = sinx вогнутая при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 246),выпуклая при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 247).
Координаты точек перегиба Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 248).
Асимптот нет.

К началу страницыФункция косинус y = cos(x).
График функции косинус (его называют "косинусоида") имеет вид:
Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 249)
Свойства функции косинус y = cosx.
Область определения функции косинус: Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 250).
Наименьший положительный период функции y = cosx равен двум пи: Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 251).
Функция обращается в ноль при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 252), где Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 253), Z – множество целых чисел.
Область значений функции косинус представляет интервал отминус единицы до единицы включительно: Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 254).
Функция косинус - четная, так как Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 255).
Функция убывает при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 256),возрастает при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 257).
Функция y = cosx имеет локальные максимумы в точках Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 258),локальные минимумы в точках Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 259).
Функция вогнутая при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 260),выпуклая при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 261).
Координаты точек перегиба Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 262).
Асимптот нет.

К началу страницыФункция тангенс y = tg(x).
График функции тангенс (его называют "тангенсоида") имеет вид:
Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 263)
Свойства функции тангенс y = tgx.
Область определения функции тангенс: Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 264), где Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 265), Z – множество целых чисел.Поведение функции y = tgx на границе области определения Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 266)Следовательно, прямые Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 267), где Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 268), являются вертикальными асимптотами.
Наименьший положительный период функции тангенс Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 269).
Функция обращается в ноль при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 270), где Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 271), Z – множество целых чисел.
Область значений функции y = tgx: Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 272).
Функция тангенс - нечетная, так как Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 273).
Функция возрастает при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 274).
Функция вогнутая при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 275),выпуклая при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 276).
Координаты точек перегиба Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 277).
Наклонных и горизонтальных асимптот нет.

К началу страницыФункция котангенс y = ctg(x).
Изобразим график функции котангенс (его называют "котангенсоида"):
Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 278)
Свойства функции котангенс y = ctgx.
Область определения функции котангенс: Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 279), где Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 280), Z – множество целых чисел.Поведение на границе области определения Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 281)Следовательно, прямые Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 282), где Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 283) являются вертикальными асимптотами.
Наименьший положительный период функции y = ctgx равен пи: Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 284).
Функция обращается в ноль при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 285), где Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 286), Z – множество целых чисел.
Область значений функции котангенс: Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 287).
Функция нечетная, так как Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 288).
Функция y = ctgx убывает при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 289).
Функция котангенс вогнутая при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 290),выпуклая при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 291).
Координаты точек перегиба Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 292).
Наклонных и горизонтальных асимптот нет.

К началу страницыОбратные тригонометрические функции, их свойства и графики.
Обратные тригонометрические функции (арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс) являются основным элементарным функциями. Часто из-за приставки "арк" обратные тригонометрические функции называют аркфункциями. Сейчас мы рассмотрим их графики и перечислим свойства.
Функция арксинус y = arcsin(x).
Изобразим график функции арксинус:
Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 293)
Свойства функции арксинус y = arcsin(x).
Областью определения функции арксинус является интервал отминус единицы до единицы включительно: Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 294).
Область значений функции y = arcsin(x): Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 295).
Функция арксинус - нечетная, так как Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 296).
Функция y = arcsin(x) возрастает на всей области определения, то есть, при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 297).
Функция вогнутая при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 298), выпуклая при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 299).
Точка перегиба (0; 0), она же ноль функции.
Асимптот нет.

К началу страницыФункция арккосинус y = arccos(x).
График функции арккосинус имеет вид:
Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 300)
Свойства функции арккосинус y = arccos(x).
Область определения функции арккосинус: Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 301).
Область значений функции y = arccos(x): Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 302).
Функция не является ни четной ни нечетной, то есть, она общего вида.
Функция арккосинус убывает на всей области определения, то есть, при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 303).
Функция вогнутая при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 304), выпуклая при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 305).
Точка перегиба Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 306).
Асимптот нет.

К началу страницыФункция арктангенс y = arctg(x).
График функции арктангенс имеет вид:
Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 307)
Свойства функции арктангенс y = arctg(x).
Область определения функции y = arctg(x): Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 308).
Область значений функции арктангенс: Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 309).
Функция арктангенс - нечетная, так как Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 310).
Функция возрастает на всей области определения, то есть, при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 311).
Функция арктангенс вогнутая при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 312), выпуклая при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 313).
Точка перегиба (0; 0), она же ноль функции.
Горизонтальными асимптотами являются прямые Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 314) при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 315) и Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 316) при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 317). На чертеже они показаны зеленым цветом.

К началу страницыФункция арккотангенс y = arcctg(x).
Изобразим график функции арккотангенс:
Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 318)
Свойства функции арккотангенс y = arcctg(x).
Областью определения функции арккотангенс является все множество действительных чисел: Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 319).
Область значений функции y = arcctg(x): Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 320).
Функция арккотангенс не является ни четной ни нечетной, то есть, она общего вида.
Функция убывает на всей области определения, то есть, при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 321).
Функция вогнутая при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 322), выпуклая при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 323).
Точка перегиба Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 324).
Горизонтальными асимптотами являются прямые Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 325) при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 326) (на чертеже показана зеленым цветом) и y = 0 при Основные элементарные функции, их свойства и графики (рис. 327).

Комментарии:

Вы не можете оставлять комментарии. Пожалуйста, зарегистрируйтесь.
▲ ▼