Реферат: Пифагоровы тройки их количество
Требуется знание алгоритма решения диофантовых уравнений (АРДУ) и знание прогрессий многочленов.
Дата добавления на сайт: 14 февраля 2025 | Автор: Белотелов В.А.
Пифагоровы тройки их количество
Белотелов В.А.
г. Заволжье
г.
Требуется знание алгоритма решения диофантовых уравнений (АРДУ) и знание прогрессий многочленов.
ПЧ - простое число.
СЧ - составное число.
Пусть есть число N нечётное. Для любого нечётного числа, кроме единицы, можно составить уравнение.
р 2 + N = q2,
где р + q = N, q - р = 1.
Например, для чисел 21 и 23 уравнениями будут,
+ 21 = 112, 112 + 23 = 122.
Если число N простое, данное уравнение единственное. Если число N составное, тогда можно составить подобных уравнений по числу пар сомножителей представляющих это число, включая 1 х N.
Возьмём число N = 45, -
х 45 = 45, 3 х 15 = 45, 5 х 9 = 45.
+ 45 = 232,
+ 45 = 92,
+ 45 = 72.
Мечталось, а нельзя ли уцепившись за это различие между ПЧ и СЧ найти метод их идентификации.
Введём обозначения;
р 2 + N = q2,
a2 + N = в2.
Изменим нижнее уравнение, -
N = в2 - а2 = (в - а)(в + а).
Сгруппируем величины N по признаку в - а, т.е. составим таблицу.
Числа N были сведены в матрицу, -
Таблица 1
| а\\в-а | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 | 13 |
| 1 | 15 | 35 | 63 | 99 | 143 | 195 |
| 2 | 21 | 45 | 77 | 117 | 165 | 221 |
| 3 | 27 | 55 | 91 | 135 | 187 | 247 |
| 4 | 35 | 65 | 105 | 153 | 209 | 273 |
| 5 | 39 | 75 | 119 | 171 | 231 | 299 |
| 6 | 45 | 85 | 133 | 189 | 253 | 325 |
| 7 | 51 | 95 | 147 | 207 | 275 | 351 |
Именно под эту задачу пришлось разбираться с прогрессиями многочленов и их матрицами. Всё оказалось напрасно, - ПЧ оборону держат мощно. Давайте в таблицу 1 введём столбец, где в - а = 1 (q - р = 1).
Таблица 2
| а\\в-а | 1 | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 | 13 |
| 1 | 3 | 15 | 35 | 63 | 99 | 143 | 195 |
| 2 | 5 | 21 | 45 | 77 | 117 | 165 | 221 |
| 3 | 7 | 27 | 55 | 91 | 135 | 187 | 247 |
| 4 | 9 | 33 | 65 | 105 | 153 | 209 | 273 |
| 5 | 11 | 39 | 75 | 119 | 171 | 231 | 299 |
| 6 | 13 | 45 | 85 | 133 | 189 | 253 | 325 |
| 7 | 15 | 51 | 95 | 147 | 207 | 275 | 351 |
И ещё раз. Таблица 2 получилась в следствии попытки решения задачи об идентификации ПЧ и СЧ. Из таблицы следует, что для любого числа N, существует столько уравнений вида а2 + N = в2, на сколько пар сомножителей можно разбить число N, включая сомножитель 1 х N. Кроме чисел N = ℓ2, где
ℓ - ПЧ. Для N = ℓ2,
где ℓ - ПЧ, существует единственное уравнение р2 + N = q2. О каком дополнительном доказательстве может идти речь, если в таблице перебраны меньшие множители из пар сомножителей, образующих N, от единицы до ∞. Таблицу 2 поместим в сундучок, а сундучок спрячем в чуланчике.
Вернёмся к теме заявленной в названии статьи.
Эта статья является ответом одному профессору - щипачу.
Обратился за помощью, - требовался ряд чисел, который не мог найти в интернете. Напоролся на вопросы типа, - «а за чем?», «а покажи метод». Был в частности задач вопрос, бесконечен ли ряд пифагоровых троек, «а как доказать?». Не помог он мне. Смотри, профессор, как это у нас в деревне делают. Возьмем формулу пифагоровых троек, -
х2 = у2 + z2. (1)
Пропустим через АРДУ.
Возможны три ситуации:.х - нечётное число,
у - чётное число,
z - чётное число.
И есть условие
х > у > z
.х - нечётное число,
у - чётное число,
z - нечётное число.
х > z > у
III.х - чётное число,
у - нечётное число,
z - нечётное число.
х > у > z
Начнём по порядку с I.
Введём новые переменные
диофантовый уравнение пифагоровы тройки
х = 2α + 2к + 1,
у = 2β + 2к,
z = 2γ + 2к + 1.
Подставим в уравнение (1).
(2α + 2к + 1)2 = (2β + 2к)2 + (2γ + 2к + 1)2.
Сократим на меньшее переменное 2γ.
(2α - 2γ + 2к + 1)2 = (2β - 2γ + 2к)2 + (2к + 1)2.
Сократим на меньшее переменное 2β - 2γ с одновременным введением нового параметра ƒ, -
(2α - 2β + 2ƒ + 2к + 1)2 = (2ƒ + 2к)2 + (2к + 1)2 (2)
2α = х - 2к - 1,
2β = у - 2к.
Тогда, 2α - 2β = х - у - 1.
Уравнение (2) примет вид, -
(х - у + 2ƒ + 2к)2 = (2ƒ + 2к)2 + (2к + 1)2
Возведём в квадрат, -
(х - у)2 + 2(2ƒ + 2к)(х - у) + (2ƒ + 2к)2 = (2ƒ + 2к)2 + (2к + 1)2,
(х - у)2 + 2(2ƒ + 2к)(х - у) - (2к + 1)2 = 0. (3)
АРДУ даёт через параметры соотношение между старшими членами уравнения, поэтому мы получили уравнение (3).
.
Не солидно заниматься подбором решений. Но, во - первых, деваться некуда, а во - вторых, этих решений нужно несколько, а бесконечный ряд решений мы сможем восстановить.
При ƒ = 1, к = 1, имеем х - у = 1.
При ƒ = 12, к = 16, имеем х - у = 9.
При ƒ = 4, к = 32, имеем х - у = 25.
Подбирать можно долго, но в конечном итоге ряд примет вид, -
х - у = 1, 9, 25, 49, 81, … .
Рассмотрим вариант II.
Введём в уравнение (1) новые переменные
х = 2α + 2к + 1,
у = 2β + 2к,
z = 2γ + 2к + 1.
(2α + 2к + 1)2 = (2β + 2к)2 + (2γ + 2к + 1)2.
Сократим на меньшее переменное 2 β, -
(2α - 2β + 2к + 1)2 = (2α - 2β + 2к+1)2 + (2к)2.
Сократим на меньшее переменное 2α - 2β, -
(2α - 2γ + 2ƒ + 2к + 1)2 = (2ƒ + 2к + 1)2 + (2к)2. (4)
2α = х - 2к - 1,
2γ = z - 2к - 1.
2α - 2γ = х - z и подставим в уравнение (4).
(х - z + 2ƒ + 2к + 1)2 = (2ƒ + 2к + 1)2 + (2к)2
(х - z)2 + 2(2ƒ + 2к + 1)(х - z) + (2ƒ + 2к + 1)2 = (2ƒ + 2к + 1)2 + (2к)2
(х - z)2 + 2(2ƒ + 2к + 1)(х - z) - (2к)2 = 0
При ƒ = 3, к = 4, имеем х - z = 2.
При ƒ = 8, к = 14, имеем х - z = 8.
При ƒ = 3, к = 24, имеем х - z = 18.
Если дальше будем подбирать, получим ряд
х - z = 2, 8, 18, 32, 50, … .
Нарисуем трапецию, -
| 4 | 4 | 4 | |||||||
| 6 | 10 | 14 | 18 | ||||||
| 2 | 8 | 18 | 32 | 50 |
Напишем формулу.
,
где n=1, 2, . . . ∞.
Случай III расписывать не будем, - нет там решений.
В соответствии с полученными рекомендациями из I и II сгруппируем имеющиеся в популярной литературе тройки. На практике пришлось самому рассчитывать частично.
Для условия II набор троек будет таким:
х - z = 2 х - z = 8 х - z = 18 х - z = 32
= 32 + 42 132 = 52 + 122 252 = 72 + 242 412 = 92 + 402
= 152 + 82 292 = 212 + 202 452 = 272 + 362 652 = 332 + 562
= 352 + 122 532 = 452 + 282 732 = 552 + 482 972 = 652 + 722
= 632 + 162 852 = 772 + 362 1092 = 912 + 602 1372 = 1072 + 882
= 992 + 202 1252 = 1172 + 442 1532 = 1352 + 722 1852 = 1532 + 1042
Уравнение (1) представлено в виде х2 = z2 + у2 для наглядности.
Для условия I набор троек будет таким:
х - у = 1 х - у = 9 х - у = 25
= 42 + 32 452 = 362 + 272 972 = 722 + 652
= 122 + 52 652 = 562 + 332 1252 = 1002 + 752
= 242 + 72 892 = 802 + 392 1572 = 1322 + 852
= 402 + 92 1172 = 1082 + 452 1932 = 1682 + 952
= 602 + 112 1492 = 1402 + 512 2332 = 2082+ 1052
х - у = 49 х - у = 81
= 1202 + 1192 3052 = 2242 + 2072
= 1562 + 1332 3532 = 2722 + 2252
= 1962 + 1472 4052 = 3242 + 2432
= 2402 + 1612 4612 = 3802 + 2612
= 2882 + 1752 5212 = 4402 + 2792
В общей сложности расписано 9 столбцов троек, по пять троек в каждом. И каждый из представленных столбцов можно писать до ∞.
В качестве примера рассмотрим тройки последнего столбца, где х - у = 81.
Для величин х распишем трапецию, -
| 4 | 4 | 4 | |||||||
| 48 | 52 | 56 | 60 | ||||||
| 305 | 353 | 405 | 461 | 521 |
Напишем формулу, -
.
Для величин у распишем трапецию, -
| 4 | 4 | 4 | |||||||
| 48 | 52 | 56 | 60 | ||||||
| 224 | 272 | 324 | 380 | 440 |
Напишем формулу, -
.
Для величин z распишем трапецию, -
| 18 | 18 | 18 | 18 | ||||||
| 207 | 225 | 243 | 261 | 279 |
Напишем формулу, -
.
Итого:
хn = 2n2 + 42n + 261,
уn = 2n2 + 42n + 180,
zn = 18n + 189.
Где n = 1 ÷ ∞.
Как и обещано, ряд троек при х - у = 81 летит в ∞.
Была попытка для случаев I и II построить матрицы для величин х, у, z.
Выпишем из последних пяти столбцов величины х из верхних строк и построим трапецию.
| 8 | 44 | ||||||||
| 12 | 20 | 64 | |||||||
| 40 | 52 | 72 | 136 | ||||||
| 5 | 45 | 97 | 169 | 305 |
Не получилось, а закономерность должна быть квадратичной. Чтобы всё было в ажуре, оказалось, что надо объединить столбцы I и II.
В случае II величины у, z снова поменяем местами.
Объединить удалось по одной причине, - карты хорошо легли в этой задаче, - повезло.
Теперь можно расписать матрицы для х, у, z.
Возьмём из последних пяти столбцов величины х из верхних строк и построим трапецию.
| 8 | 8 | 8 | |||||||
| 12 | 20 | 28 | 36 | ||||||
| 5 | 17 | 37 | 65 | 101 | |||||
Всё нормально, можно строить матрицы, и начнём с матрицы для z.
Таблица 3
| х-у=1 | 9 | 25 | 49 | 81 |
| 3 | 15 | 35 | 63 | 99 |
| 5 | 21 | 45 | 77 | 117 |
| 7 | 27 | 55 | 91 | 135 |
| 9 | 33 | 65 | 105 | 153 |
| 11 | 39 | 75 | 119 | 171 |
| 13 | 45 | 85 | 133 | 189 |
| 15 | 51 | 95 | 147 | 207 |
Итого: Кроме единицы, каждое нечётное число числовой оси участвует в образовании пифагоровых троек равным количеству пар сомножителей образующих данное число N, включая сомножитель 1 х N.
Число N = ℓ2, где ℓ - ПЧ, образует одну пифагорову тройку, если ℓ - СЧ, то на сомножителях ℓхℓ тройки не существует. Построим матрицы для величин х, у.
Таблица 4
| х-у=1 | 9 | 25 | 49 | 81 |
| 5 | 17 | 37 | 65 | 101 |
| 13 | 29 | 53 | 85 | 125 |
| 25 | 45 | 73 | 109 | 153 |
| 41 | 65 | 97 | 137 | 185 |
| 61 | 89 | 125 | 169 | 221 |
| 85 | 117 | 157 | 205 | 261 |
| 113 | 149 | 193 | 245 | 305 |
Таблица 5
| х-у=1 | 9 | 25 | 49 | 81 |
| 4 | 8 | 12 | 16 | 20 |
| 12 | 20 | 28 | 36 | 44 |
| 24 | 36 | 48 | 60 | 72 |
| 40 | 56 | 72 | 88 | 104 |
| 60 | 80 | 100 | 120 | 140 |
| 84 | 108 | 132 | 156 | 180 |
| 112 | 140 | 168 | 196 | 224 |
Таблица 6
| ( в-а-1)/2 а | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 1 | 5 | 17 | 37 | 65 | 101 |
| 2 | 13 | 29 | 53 | 85 | 125 |
| 3 | 25 | 45 | 73 | 109 | 153 |
| 4 | 41 | 65 | 97 | 137 | 185 |
| 5 | 61 | 89 | 125 | 169 | 221 |
| 6 | 85 | 117 | 157 | 205 | 261 |
| 7 | 113 | 149 | 193 | 245 | 305 |
Нумерация вертикальных рядов нормирована выражением .
Первый столбец уберём, т.к.
Матрица примет вид, -
Таблица 7
| ( в-а-1)/2 а | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 1 | 17 | 37 | 65 | 101 |
| 2 | 29 | 53 | 85 | 125 |
| 3 | 45 | 73 | 109 | 153 |
| 4 | 65 | 97 | 137 | 185 |
| 5 | 89 | 125 | 169 | 221 |
| 6 | 117 | 157 | 205 | 261 |
| 7 | 149 | 193 | 245 | 305 |
Опишем вертикальные ряды, -
Составим общую формулу для «х», -
Если провести подобную работу для «у», получим, -
Можно подойти к этому результату и с другой стороны.
Возьмём уравнение, - а2 + N = в2.
Чуть преобразуем, - N = в2 - а2.
Возведём в квадрат, - N2 = в4 - 2в2а2 + а4.
К левой и правой части уравнения добавим по величине 4в2а2, -
N2 + 4в2а2 = в4 + 2в2а2 + а4.
И окончательно, - (в2 + а2)2 = (2ва)2 + N2.
Пифагоровы тройки составляются так:
Рассмотрим пример с числом N = 117.
х 117 = 117, 3 х 39 = 117, 9 х 13 = 117.
Вертикальные столбцы таблицы 2 пронумерованы величинами в - а, тогда как вертикальные столбцы таблицы 3 пронумерованы величинами х - у.
х - у = (в - а)2,
х = у + (в - а)2.
Составим три уравнения.
(у + 12)2 = у2 + 1172,
(у + 32)2 = у2 + 1172,
(у + 92)2 = у2 + 1172.
х1 = 6845, у1 = 6844, z1 = 117.
х2 = 765, у2 = 756, z2 = 117 (х2 = 85, у2 = 84, z2 = 13).
х3 = 125, у3 = 44, z3 = 117.
Сомножители 3 и 39 не являются взаимно простыми числами, поэтому одна тройка получилась с коэффициентом 9.
Изобразим выше написанное в общих символах, -
В данной работе всё, включая пример на расчёт пифагоровых троек с числом
N = 117, привязано к меньшему сомножителю в - а. Явная дискриминация по отношению к сомножителю в + а. Исправим эту несправедливость, - составим три уравнения с сомножителем в + а.
(у + 1172)2 = у2 + 1172
(у + 392)2 = у2 + 1172
(у + 132)2 = у2 + 1172
х1 = 6845, у1 = - 6844, z1 = 117.
х2 = 765, у2 = - 756, z2 = 117.
х3 = 125, у3 = - 44, z3 = 117.
Вернёмся к вопросу об идентификации ПЧ и СЧ.
Много что было совершено в этом направлении и на сегодняшний день через руки дошла следующая мысль, - уравнения идентификации, да такого чтобы и сомножители определить, не существует.
Допустим найдено соотношение F = а,в (N).
Есть формула
.
.
Можно избавиться в формуле F от в и получится однородное уравнение n - ой степени относительно а, т.е. F = а(N).
При любой степени n данного уравнения найдётся число N имеющее m пар сомножителей, при m > n.
И как следствие, однородное уравнение n степени должно иметь m корней.
Да быть такого не может.
В данной работе числа N рассматривались для уравнения х2 = у2 + z2, когда они находятся в уравнении на месте z. Когда N на месте х, - это уже другая задача.