Курсовая работа: Понятие системы счисления
Содержание
Введение
§ 1. Понятие системы счисления. История развития систем счисления
§ 2. Десятичная система счисления
§ 3. Общие вопросы изучения нумерации целых неотрицательных чисел в начальном курсе математики
Заключение
Библиографический список использованных источников и литературы
Дата добавления на сайт: 10 февраля 2025
МИНОБРНАУКИ РОССИИ
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«Омский государственный педагогический университет»
Факультет начального, дошкольного и специального образования
Кафедра предметных технологий начального и дошкольного образования
Понятие системы счисления
Курсовая работа
по направлению 44.03.01 Педагогическое образование,
направленность (профиль) Начальное образование,
дисциплина Математика
Выполнил: студент 215.2 группы
очной формы обучения
Кезикова Екатерина Александровна
Научный руководитель:
Баракина Татьяна Вячеславовна,
к.п.н., доцент
Омск, 2016
Содержание
Введение
§ 1. Понятие системы счисления. История развития систем счисления
§ 2. Десятичная система счисления
§ 3. Общие вопросы изучения нумерации целых неотрицательных чисел в начальном курсе математики
Заключение
Библиографический список использованных источников и литературы
Введение
Каждый человек в жизни так или иначе постоянно сталкивался с числами и цифрами: запоминая номера автобусов и телефонов, в магазине подсчитывая стоимость покупок. Интересно, что знал человек о числах пять тысяч лет назад?
Историки доказали, что и пять тысяч лет тому назад люди могли записывать числа, могли производить над ними арифметические действия. При этом записывали они числа совершенно по другим принципам, нежели мы в настоящее время: число изображалось с помощью одного или нескольких символов. В математике и информатике принято символы, участвующие в записи числа, называть цифрами.
В чем же состоит потребность изучения систем счисления?
Система счисления - это символический метод записи чисел, представление чисел с помощью письменных знаков. Она позволяет получить сведения о множестве чисел, даёт каждому числу уникальное представление и отражает их алгебраическую и арифметическую структуру. Системой счисления называют также систему приемов и правил, позволяющих устанавливать взаимно-однозначное соответствие между любым числом и его представлением в виде совокупности конечного числа символов.
Существуют позиционные и непозиционные системы счисления. В позиционной системе счисления значение цифры зависит от её положения в числе. В непозиционной - значение цифры определяется лишь самой цифрой.
Позиционные системы счисления подразделяются на однородные и смешанные. У однородной систему счисления - для всех позиций числа набор допустимых цифр одинаков.
Смешанные системы счисления - это такие системы, в которых числа, заданные в одной системе счисления отображаются с помощью цифр другой системы счисления. Проще говоря, для каждой позиции числа в смешанной системе счисления существует дополнительная система счисления, в которой записывается цифра на данной позиции.
Денежные знаки - это тоже смешанная система счисления. Сейчас в России используются монеты и купюры номиналов: 1 коп., 5 коп., 10 коп., 50 коп., 1 руб., 2 руб., 5 руб., 10 руб., 50 руб., 100 руб., 500 руб., 1000 руб. и 5000 руб. Чтобы получить некоторую сумму в рублях, нам нужно использовать некоторое количество денежных знаков различного достоинства. Это позволяет значительно облегчить денежные операции, а также экономно использовать материал, для производства денежных средств.
Таким образом, потребность в изучении системы счисления состоит в том, что система счисления следуют за нами всю жизнь и, не зная её, мы не сможем делать привычные нам действия.
Вопросам изучения систем счисления уделялось внимание в работах таких математиков, как: Френсис Бэкон (описал систему, буквы алфавита которой могут быть сведены к последовательностям двоичных цифр), В.П.Маслов, Н.П.Брусенцо́в, А.Н.Колмагоров, С.Б.Гашков, в том числе по изучению нумерации целых неотрицательных чисел в начальном курсе математики М.И.Моро, А.В.Белошистая, Н.Б.Истомина, С.Е.Царева.
Таким образом, цель курсовой работы заключается в раскрытии теоретических основ изучения систем счисления в начальном курсе математики.
Объект исследования: понятие системы счисления
Предмет исследования: содержание понятия «системы счисления».
Задачи исследования:
1. Раскрыть понятие системы счисления, историю развития систем счисления.
. Описать особенности десятичной системы счисления.
3. Рассмотреть общие вопросы изучения нумерации целых неотрицательных чисел в начальном курсе математики.
Методы исследования: теоретический анализ научно-методической литературы по проблеме исследования, педагогическое наблюдение.
Структура работы. Курсовая работа состоит из введения, 3 параграфов, заключения, библиографического списка использованных источников и литературы.
§ 1. Понятие системы счисления. История развития систем счисления
Системой счисления называется язык для наименования, записи чисел и выполнения арифметических операций над ними.
Система счисления - это искусственный язык, однако он строится по тем же этапам, что и любой естественный язык.
Система счисления (система нумерации), которую мы сегодня знаем и используем, является заслугой индийского народа и ученых-математиков, которые и изобрели системы счисления.
В I веке н. э. индийские ученые, на основе античной математики, создали привычную для нас сегодня десятичную позиционную систему. Для записи чисел они использовали 10 цифр, которые почти не изменились и до сегодня.
Этапы построения систем счисления
этап. Строится алфавит - конечное множество символов, необходимых для записи чисел в данной системе счисления.
Каждый символ алфавита системы счисления называется цифрой. Количество цифр в алфавите с/с называется основанием системы счисления.
этап. Из цифр алфавита строятся числа.
Число в системе счисления - это конечное упорядоченное множество цифр алфавита. Построение чисел осуществляется простым приписыванием цифр алфавита слева направо. Такую запись называют еще краткой записью числа.
этап. Чтение чисел по определенным правилам.
этап. Построение словосочетаний
Словосочетания в системе счисления - это числовые выражения и выражения с переменной. Они записываются с помощью цифр, знаков арифметических операций, букв и, может быть, скобок. Не содержат знаков бинарных отношений.
этап. Построение предложений
Предложения в системах счисления бывают двух типов:
) высказывания (не содержат переменную) - числовые равенства, числовые неравенства;
) предикаты (содержат переменную) - уравнения и неравенства с переменными.
Предложения записываются с помощью цифр, знаков арифметических операций, букв, знаков бинарных отношений и, может быть, скобок.
Все системы счисления делятся на позиционные и непозиционные. В непозиционных системах счисления значение каждой цифры не зависит от того места, которое она занимает в записи числа, в позиционных - зависит.
Например, древняя ионийская система счисления, которая для записи чисел использовала, в частности цифры - 1 и - 10, являлась непозиционной. Поэтому число, содержащее, например, три десятка и две единицы можно было записать различными способами: или или и т.п.
Привычная для нас десятичная система счисления является позиционной. Например, числа 157 и 571 не являются равными, хотя записываются с помощью одних и тех же цифр.
Сегодня мы настолько сроднились с десятичной позиционной системой счисления, что не представляем себе иных способов обозначения чисел. Однако так было далеко не всегда.
На разных этапах своего исторического развития люди, проживающие в различных частях земного шара, пользовались различными системами счисления и различными нумерациями. Причем устное обозначение чисел (устная нумерация) сложилась гораздо раньше письменной.
Понятие системы счисления неразрывно связано с развитием счёта. На первых порах расширение запаса чисел происходило очень медленно. Сначала люди просто различали, один предмет перед ними или нет. Если предмет был не один, то говорили «много».
В последствие способность различать друг от друга небольшие совокупности развивалась: возникли слова для обозначений понятий «два», «три», «четыре», «пять», «шесть», «семь» и т.д.
Существовали племена, в языке которых
были названия только двух чисел: один и два.
Туземцы Торесова пролива считали так:
- «урапун», 2 - «окоза»,
- «окоза - урапун»,
- «окоза - окоза»,
- «окоза-окоза - урапун».
Все остальные числа - «МНОГО».
У ряда африканских племен, в Древнем Китае была распространена пятеричная система счисления. Ведь самым простым инструментом счета являются пальцы на руках человека. С их помощью можно было считать до 5, а если взять две руки, то и до 10. Одна из таких систем счета впоследствии и стала общеупотребительной десятичная.
В древние времена люди ходили босиком. Поэтому они могли пользоваться для счета пальцами как рук, так и ног. Таким образом можно, казалось бы, считать лишь до двадцати. Но с помощью этой «босоногой машины» люди могли достигать значительно больших чисел.
человек - это 20,
человека - это два раза по 20 и т.д.
До сих пор в Полинезии существуют племена, которые для счета используют двадцатеричную систему счисления.
В Древнем Вавилоне применялась шестидесятеричная система счисления. Остатки ее мы находим в сохранившемся до сих пор делении часа на 60 минут, а минуты - на 60 секунд. Окружность делят на 360 (то есть 60Ч6) градусов, градус - на 60 минут, а минуту - на 60 секунд.
Широкое распространение имела в древности и двенадцатеричная система, происхождение которой тоже связано со счетом на пальцах. За единицу счета принимались отдельные суставы четырех пальцев одной руки, которые при счете перебирались большим пальцем той же руки. Остатки этой системы счисления сохранились и до наших дней и в устной речи, и в обычаях. Хорошо известно название числа 12 - «дюжина».
Сохранился обычай считать, например, столовые приборы в сервизе или стулья в мебельном гарнитуре, не десятками, а дюжинами.
Существовали так же мультипликативные системы счисления.
В таких системах счисления для записи чисел используется уже определенное количество цифр, которые могут принимать разные значения в зависимости от расположения в записи числа. Все цифры здесь изображаются определенными символами.
Например 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 11, 12, …, 99, 100, 101 …
Запись числа 1999 означает, что 1ґ 1000 + 9ґ 100 + 9ґ 10 + 9. Для того, чтобы \"собрать\" такое число используется умножение (multiplication англ.), из-за чего систему и назвали \"мультипликативной\".
Такие системы счисления были только у народов с очень хорошо развитой математикой. По сей день мы используем только такую систему счисления.
Такая система счисления годится для записи чисел, и она очень удобна для счета. Любое из действий арифметики и алгебры может быть выполнено легко. Для счета здесь не нужна большая сноровка.
Впервые такая система, вернее ее зачатки появилась в Древнем Вавилоне, почти в то же время она была изобретена в Китае , потом в Индии, откуда перекочевала на Аравийский полуостров, а затем и в Европу. Здесь эту систему счисления назвали Арабской , и под этим именем она разошлась по всему миру. Так что, говоря \"арабские числа\" надо иметь в виду, ну, хотя бы индийские.
Самое большое число, которое использовали древние римляне и греки в системе счисления - 10^6 (то есть один миллион). В это же время индусы оперировали такими числами, как 10^53 и присваивали большим числам отдельные имена (конкретные примеры появились в 5000 г. до нашей эры, во время ведического периода).
Таким образом, следует отметить, что понятие системы счисления прошло длительный исторический путь развития. Позиционные системы являются наиболее совершенными по сравнению с непозиционными, так как предлагают более компактный способ записи чисел и облегчают процесс вычислений. В настоящее время практически повсеместно используется десятичная арабская позиционная нумерация, однако до сих пор сохранились следы непозиционных систем счисления.
§2. Десятичная система счисления
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} - алфавит десятичной с/с - содержит 10 цифр.
Десятичной записью натурального числа х называется представление его в виде суммы х = аn10n + an-110n-1 +... + a110 + a0,
где аn10n , an-110n-1 , ..., a110, a0 - разрядные слагаемые;
n , 10n-1 , ..., 102, 10, 1 - разрядные единицы;
аn, an-1, a1, …, a0 - это цифры алфавита десятичной с/с, причем аn0.
Они называются разрядными цифрами (или разрядными коэффициентами) и показывают, сколько единиц соответствующего разряда содержится в данном числе.
По десятичной записи можно записать краткую запись натурального числа:
х = аn10n + an-110n-1 +... + a110 + a0 = аnan-1... a1a0 ,
Горизонтальная числа изображается для того, чтобы не путать краткую запись числа и произведение чисел аnan-1 ... a1a0.
Например, 2104 + 0103 + 4102 + 510 + 3 = 20453
Каждое натуральное число имеет единственную десятичную запись.
Количество цифр в краткой записи числа называется его значностью. Например, число 20453 - пятизначное, так как его краткая запись содержит 5 цифр. Нельзя начинать запись чисел с 0. Цифра 0, записанная крайней слева в краткой записи числа, не является значащей.
Разрядом называется место цифры в записи числа. Нумеруются разряды справа налево. Каждый разряд имеет свое название: 1 разряд - разряд единиц, 2 разряд - разряд десятков, 3 разряд - разряд сотен и т. д. Число 20453 содержит 3 единицы 1ого разряда, 5 единиц 2ого разряда (десятков), 4 единицы 3его разряда (сотен), 0 единиц 4ого разряда (тысяч), 2 единицы 5ого разряда (десятков тысяч).
Три первых разряда (1ый, 2ой, 3ий ) можно объединить в одну группу, которую называют первым классом или классом единиц; 4ый, 5ый, 6ой разряды образуют второй класс - класс тысяч; 7ой, 8ой, 9ый разряды образуют третий класс - класс миллионов и т.д. Таким образом, каждые три следующие разряда образуют новый класс. Например, число 20453 содержит 20 единиц второго класса и 453 единицы первого класса. Выделение классов создает удобства для чтения чисел в десятичной системе счисления.
В десятичной системе счисления всем числам принято давать название. Первые десять целых неотрицательных чисел имеют специальные названия (ноль, один, два и т.д.). Название остальным числам дается в соответствии с их десятичной записью и с учетом общепринятых сокращений. Например, число 52 = 510+2 - это 5 десятков и 2 единицы - «пятьдесят два». Исключения составляют названия чисел 40 и 90. Специальное название имеет также число, содержащее 1 единицу третьего разряда - «сто» и число, содержащее 1 единицу четвертого разряда - «тысяча». Далее новые названия появляются только при переходе в каждый следующий класс - «миллион», «миллиард» и т.д.
Таким образом, чтение натуральных чисел осуществляется по следующим правилам:
1)если значность числа не превосходит трех, то последовательно (слева направо) называются цифры каждого разряда, начиная со старшего, с указанием названия единиц соответствующего разряда и с использованием общепринятых сокращений. Название единиц первого разряда условились опускать.
Например, 562 - читается «пятьсот шестьдесят два»
2)если значность числа больше трех, то сначала выделяют (с помощью точки) единицы каждого класса, затем последовательно (слева направо) читают число, записанное в каждом классе (начиная со старшего) по правилам, описанным в пункте 1, указывая название единиц каждого класса.
Например, 28.346.197 - читается «двадцать восемь миллионов триста сорок шесть тысяч сто девяносто семь».
Сравнение натуральных чисел
Для любых натуральных чисел Х = аnan-1... a1a0 и У = bmbm-1... b1b0 справедлива теорема:
n Х X X \", \"3, 3 - 2009. - С 832.
. Выгодский, М. Я. Арифметика и алгебра в древнем мире. / М. Я. Выгодский. - М.: Книга по Требованию - 2012. - С 370.
.Галаева, Е.А Занимательные материалы по математике.7-8 классы. /Е.А..Галаева Е.А. - М.: Корифей - 2006. - 80 с.
. Гашков, С .Б Системы счисления и их применение. / С. Б .Гашков-М.: Просвещение - 2004. - С 34- 42.
14. Демидова, Т.Е. Математика: Учебник для 3 класса: в 3 частях. Ч. 1. / Т.Е. Демидова, С.А. Козлова, А.П. Тонких. - 3-е изд., испр. - М.: Баласс, 2011. 96 с.
. Демидова, Т.Е. Математика: Учебник для 3 класса: в 3 частях. Ч. 2. / Т.Е. Демидова, С.А. Козлова, А.П. Тонких. - 3-е изд., испр. - М.: Баласс, 2011. - 96 с.
16. Депман, И .Я. За страницами учебника математики. / И.Я. Депман, И.Я. Виленкин. - М.: Просвещение, 1989.- 287 с.
. Истомина, Н. Б. Математика. 3 класс в 2-х частях. / Н. Б. Истомина. - Смоленск, Ассоциация XXI век. - 2013. - 120 с.
. Истомина, Н. Б. Методика обучения математике в начальных классах. / Н. Б. Истомина. - Смоленск. Ассоциация XXI век. - 2005. -272 с.
. Истомина, Н. Б. Математика. 2 класс в 2-х частях. Ч.1 - 120с.; Ч.2 - 120с.
/ Н. Б. Истомина.- 3-е изд. Смоленск. - М.: Ассоциация XXI век- 2013 - 120с.
. Каган, Б.М. Электронные вычислительные машины и системы / Б. М. Каган . - М.: Энергоатомиздат. - 1985. 347 с .
21. Козлова, С.А. Математика 3 класс. Методические рекомендации для учителя / С.А. Козлова, А.Г. Рубин.- М.: Баласс, 2006. - 208 с.
22. Маркушевич , А. И Детская энциклопедия . Для среднего и старшего возраста. /А. И Маркушевич. - М.: Педагогика, 1975. - 464 с.
.Менчинская, Н.А. Проблемы обучения, воспитания и психического развития ребёнка / Н.А. Менчинская. - М.: Воронеж, Модэк.- 2004. - 512 с.
24. Пентегова, Г.А. Развитие логического мышления на уроках математики. Начальная школа /Г.А.Пентегова // - Начальная школа. - 2000. - С. 33-34.25. Примерные программы по учебным предметам. Начальная школа. В 2ч. Ч.1. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 2010.
. Рудницкая, В.Н. Математика: 3 класс: учебник для учащихся образовательных учреждений: в 2 ч. Ч.2 / В.Н. Рудницкая, Т.В. Юдачева. - М.: Вентана - Граф, 2013. - 142с.
27. Фомин, С .В. Системы счисления. / Фомин С.В. - М.: Наука, 1987. 48 с.
28. Царева, С.Е. Методика преподавания математики в начальной школе: учебник для студентов высшего образования, обучающихся по направлению подготовки «Педагогическое образование» / С.Е.Царева. -Академия.- 2014. - 496 с.
29. Юдина, Е.П. Математика в практических заданиях: 3 кл.: тетрадь для самостоятельной работы №3 / Е.П. Юдина, Р.Г. Чураковой. - М.: Академкнига. - 2012. - 48 с.
. Шестаков, А. П. Позиционные системы счисления. Перевод чисел из одной позиционной системы счисления в другую. Ч. I /А.П. Шестаков. - Пермь, 1999.- 56 с.