Реферат: Предикаты: определения и примеры
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ПРЕДИКАТЫ: ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРИМЕРЫ
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ
Дата добавления на сайт: 04 марта 2025
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
РЕФЕРАТ
на тему: \"Предикаты: определения и примеры\"
Оглавление
Введение
Предикаты: определения и примеры
Заключение
Список используемых источников
Введение
В чем состоит необходимость введения предикатов в математику?
Дело в том, что сама по себе логика высказываний обладает довольно слабыми выразительными возможностями. Пользуясь только логикой, нельзя выразить даже очень простые, с математической точки зрения, рассуждения.
Возьмем, например, следующее умозаключение. \"Всякое целое число является рациональным. Число 5 - целое. Следовательно, 5 - рациональное число\". Все эти три утверждения с точки зрения логики высказываний являются атомарными. Т.е. только средствами логики высказываний нельзя вскрыть внутреннюю структуру и поэтому нельзя доказать логичность этого рассуждения в рамках логики высказываний. Средства, предоставляемые логикой высказываний, оказываются недостаточными для анализа многих математических рассуждений. В алгебре логики не рассматриваются ни структура высказываний, ни тем более, их содержание. В то же время и в науке, и в практике используются заключения, существенным образом зависящие как от структуры, так и от содержания используемых в них высказываний.
Например, в рассуждении \" Всякий ромб - параллелограмм; ABCD - ромб; следовательно, ABCD - параллелограмм\" посылки и заключение являются элементарными высказываниями логики высказываний, и с точки зрения этой логики рассматриваются как целые, неделимые, без учёта их внутренней структуры. Следовательно, алгебра логики, будучи важной частью логики, оказывается недостаточной в анализе многих рассуждений.
Поэтому возникает необходимость в расширении логики высказываний и построении такой логической системы, средствами которой можно исследовать структуру и содержание тех высказываний, которые в логике высказываний рассматриваются как элементарные.
В силу изложенного материала, можно заключить, что актуальность данной работы несомненна.
Цель данного реферата заключается в том, чтобы совершить обзор
литературных источников по проблеме предикатов в дискретной математике.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
·найти нужную информацию о предикатах по данной теме;
·тщательно проанализировать и выбрать нужные данные;
·оформить реферат согласно требованиям.
Объектом исследования является архив материалов по математическим предикатам.
Предметом исследования являются предикаты в дискретной математике.
Реферат состоит из введения, основной части, заключения и списка использованной литературы.
Предикаты: определения и примеры
Введем основное понятие темы.
Определение 1. Пусть М - непустое множество. Тогда n-местным предикатом, заданным на М, называется выражение, содержащее n переменных и обращающееся в высказывание при замене этих переменных элементами множества М [1].
Поясним конкретными примерами. Пусть М есть множество натуральных чисел N. Тогда, например, такие выражения: \"x - простое число\", \"x - четное число\", \"x больше 10\" являются одноместными предикатами. При подстановке вместо x произвольных натуральных чисел получаются высказывания: \"2 - простое число\", \"6 - простое число\", \"3 - четное число\", \"5 больше 10\" и т.д. [2]
Множество M, на котором задан предикат, называется областью определения предиката [3].
Множество , на котором предикат принимает только истинные значения, называется областью истинности предиката Р (х) [3].
Так, предикат P (x) - \"х - простое число\" определён на множестве N, а множество для него есть множество всех простых чисел.
Вот такие выражения: \" x больше y\", \" x делит y нацело\", \" x плюс y равно 10, или x+y=10 \" являются двухместными предикатами. Примеры трехместных предикатов, заданных на множестве натуральных чисел: \" число z лежит между x и y\", \" x плюс y равно z\", \" |x-y| = z \" [4].
Обычно полагают, что, если имеется такой предикат, в котором нет переменных для замены, то подобное высказывание - нульместный предикат [1].
Причем местность предикатов не всегда равна числу всех переменных, содержащихся в выражении.
Например, выражение \" существует число x такое, что y = 2 x \" на множестве натуральных чисел определяет одноместный предикат.,
По смыслу этого выражения, в нем можно заменять только переменную y. Например: если применить замену y на 6, то получим истинное высказывание: \" существует число x такое, что 6 = 2x\", а если заменим y на 7, то получим ложное (на множестве N) высказывание: \" существует число x такое, что 7 =2x\".
Предикат с заменяемыми переменными x1,…,xn обычно обозначается заглавной латинской буквой, после которой в скобках указываются эти переменные. Например, P (x1,x2), Q (x2,x3), R (x1). Среди переменных в скобках могут быть и фиктивные [2].
Определение 2. Предикат (n-местный, или n-арный ) - это функция с областью значений (или \" Истина \" и \" Ложь \"), определённая на n-й декартовой степени множества M. Таким образом, каждую n-ку элементов M предикат характеризует либо как \"истинную\", либо как \"ложную\" [5].
Предикат можно связать с математическим отношением : если n-ка принадлежит отношению, то предикат будет возвращать на ней 1 [3].
Предикат - один из элементов логики первого и высших порядков . Начиная с логики второго порядка , в формулах можно ставить кванторы по предикатам [3].
Предикат называют тождественно - истинным [2] и пишут:
,
если на любом наборе аргументов он принимает значение 1.
Предикат называют тождественно - ложным [2] и пишут:
,
если на любом наборе аргументов он принимает значение 0.
Предикат называют выполнимым, если хотя бы на одном наборе аргументов он принимает значение 1 [5].
Например, обозначим предикатом EQ (x, y) отношение равенства (\" x = y \"), где x и y принадлежат множеству вещественных чисел . В этом случае предикат EQ будет принимать истинное значение для всех чисел, равных x и y.
Более житейским примером может служить предикат \" ПРОЖИВАЕТ (x, y, z)\" для отношения \" x проживает в городе y на улице z \" или предикат \" ЛЮБИТ (x, y)\" для выражения \" x любит y\", где множество M - это множество всех людей.
Так как предикаты принимают только два значения, то к ним применимы все операции булевой алгебры , например: отрицание, импликация, конъюнкция, дизъюнкция и т.д. Итак, на совокупности всех предикатов, заданных на множестве М, вводятся знакомые логические операции: конъюнкция, дизъюнкция, отрицание, импликация и эквиваленция. Эти операции вводятся довольно очевидным образом. Приведем в качестве примера определение конъюнкции предикатов.
Определение 3. Предикат W (x1,…,xn) называется конъюнкцией предикатов U (x1,…,xn) и V (x1,…,xn), заданных на множестве М, если для любых а1,…, аn из М высказывание W (а1,…, аn) есть конъюнкция высказываний U (а1,…, аn) и V (а1,…, аn) [2].
Аналогично приводятся определения и других упомянутых выше операций.
В логике предикатов первого порядка вводятся и две новые операции. Называются они квантором общности и квантором существования [1]. Эти операции рассмотрим сначала на примерах.
Пусть дано выражение: \" существует число х, такое, что x + y=10\". На множестве натуральных чисел это предложение определяет одноместный предикат P (y), так, например, Р (2) и Р (9) - истинные высказывания, а Р (11) - ложное. Если обозначить предикат \" x + y = 10 \" через S (x,y) (а это предикат двухместный), то P (y) можно записать так: \" существует х такой, что S (x,y)\". В этом случае говорят, что предикат P (y) получен из предиката S (x,y) навешиванием квантора существования на x и пишут P (y) = (x) S (x,y)
Рассмотрим другой пример. Выражение \" для всех х справедливо, что y = - х2 \" определяет на множестве целых чисел одноместный предикат Q (y). Если предикат \" y = - х2 \" обозначить через T (x,y), то Q (y) можно записать так: \"для всех x справедливо T (x,y)\". В таком случае говорят, что предикат Q (y) получен из предиката T (x,y) навешиванием квантора общности на х и пишут Q (y) = (x) T (x,y).
Пользуясь этими примерами, дадим определение в общем виде.
Определение 4. Пусть P (x1,…,xn) - предикат, заданный на множестве M, y - переменная. Тогда выражение: \" для всякого y выполняется P (x1,…,xn)\" - предикат, полученный из P навешиванием квантора общности на переменную y, а выражение \" существует y такой, что выполняется P (x1,…,xn)\" - предикат, полученный из P навешиванием квантора существования на переменную y [1].
Заметим, что в определении не требуется, чтобы y была одна из переменных x1,…,xn, хотя в содержательных примерах, квантор навешивается на одну из переменных x1,…,xn. Указанное требование не накладывается, чтобы избежать усложнения определения формулы логики предикатов. Если y - одна из переменных x1,…,xn, то после навешивания квантора на y новый предикат является (n-1) - местным, если y{ x1,…,xn}, то местность нового предиката равна n [3].
Если предикат W (x1,…,xn) получен из предикатов U (x1,…,xn) и V (x1,…,xn) с помощью связок, то истинность высказывания W (a1,…,an) определяется таблицами истинности этих связок [3]. Пусть W (x1,…,xn) = (y) U (x1,…,xn,y). Тогда высказывание W (a1,…,an) истинно тогда и только тогда, когда для любого b M истинно высказывание U (a1,…,an,b). Если же W (x1,…,xn) = (y) U (x1,…,xn,y), то высказывание W (a1,…,an) истинно в том и только в том случае, когда найдется b M, для которого высказывание U (a1,…,an) истинно [4].
Вообще понятие предиката - весьма широкое понятие [1]. Это видно уже из приведенных выше римеров. Тем не менее, еще раз подчеркнем, показав, что n - местная функция может рассматриваться как (n+1) - местный предикат. Действительно, функции y = f (x1,…,xn), заданной на множестве М, можно поставить в соответствие выражение \" y равно f (x1,…,xn)\". Это выражение есть некоторый предикат P (x1,…,xn,y). При этом, если элемент b есть значение функции в точке (a1,…,an), то высказывание P (a1,…,an,b) истинно, и обратно. (Подобное \"превращение\" функции в предикат мы уже привели в качестве примера выше для сложения натуральных чисел.)
На предикаты можно взглянуть и более формально, причем с двух точек зрения.
Во-первых, предикат можно представить отношением следующим образом.
Пусть предикат P (x1,…,xn) задан на множестве M. Рассмотрим прямую степень этого множества Mn = Mx Mx…xM и подмножество Dp множества Mn, определяемое равенством:
Dp = { (a1,…,an) Mn высказывание P (a1,…,an) истинно}.
Отношение Dp можно назвать областью истинности предиката P. Во многих случаях предикат P можно отождествить с отношением Dp.
При этом, правда, возникают некоторые трудности при определении операций над отношениями, аналогичными операциям над предикатами [4].
Во-вторых, предикат P (x1,…,xn), заданный на M, можно отождествить с функцией fp: Mn {0,1}, определяемой равенством:
Говорят, что предикат Р (х) является следствием предиката Q (х) [5]: , если ; и предикаты Р (х) и Q (х) равносильны:
,
Если
.
Приведём примеры к изложенному материалу.
Пример 1. Среди следующих предложений выделить предикаты и для каждого из них указать область истинности, если M = R для одноместных предикатов и M = R×R для двухместных предикатов [1]:
. х + 5 = 1
. При х = 2 выполняется равенство х2 - 1 = 0
. х2 - 2х + 1 = 0
. Существует такое число х, что х3 - 2
. х + 2 0
Решение.
1)Предложение является одноместным предикатом Р (х), IP = { - 4};
2)Предложение не является предикатом. Это ложное высказывание;
3)Предложение является одноместным предикатом Р (х), IP ={1};
4)Предложение не является предикатом. Это истинное высказывание;
5) Предложение является одноместным предикатом Р (х), IP = (3; +∞);
) Предложение является одноместным предикатом Р (х), IP = {0; 3; 6; 9};
) Предложение не является предикатом;
) Предложение является двухместным предикатом Q (х,y), IQ = R×R \\ { (0,0) }.
Пример 2. Изобразить на декартовой плоскости область истинности предиката [2].
Решение. Неравенство, составляющее исходный предикат, ограничивает часть плоскости, заключенную между ветвями параболы х = у2, она изображена серой частью рисунка:
Рисунок 1. График параболы х = у2
Предикаты, вслед за высказываниями, являются следующим важным предметом, исследуемым математической логикой.
Понятие предиката обобщает понятие высказывания, а теория предикатов представляет собой более тонкий инструмент, по сравнению с теорией высказываний, для изучения закономерностей процессов умозаключения и логического следования, составляющих предмет математической логики [1].
Таким образом, в основном, термин \" предикат \" понимается в смысле исходного определения, т.е. как языковое выражение. Связано это с тем, что одной из главных целей введения предикатов, как уже отмечалось во введении, является изучение выразительных возможностей логики первого порядка, возможности представления средствами этой логики информации, выраженного на каком - либо естественном языке людей, например, на русском или английском языке.
предикат декартова плоскость математика
Заключение
Логика предикатов, как и традиционная формальная логика, расчленяет элементарное высказывание на субъект (буквально - подлежащее, хотя оно может играть и роль дополнения) и предикат (буквально - сказуемое, хотя оно может играть и роль определения).
Субъект - это то, о чем что - то утверждается в высказывании, а предикат - это то, что утверждается о субъекте. Логика предикатов - это расширение логики высказываний за счет использования предикатов в роли логических функций.
Итак, актуальность темы реферата несомненна. Цель достигнута и задачи выполнены. Литература просмотрена, выбрана, проанализирована, результаты представлены в данном реферате.
Список используемых источников
1.Эвнин А.Ю. Дискретная математика. Конспект лекций. 1998.
2.Ерусалимский А.Я. Дискретная математика. Теория. Задачи. Приложения. 2000.
3.Электронный источник. URL: http://forum. vopr.net
.Электронный источник. http://lib. mexmat.ru/books/109887
.Электронный источник. http://lib. mexmat.ru/books/81214