Курсовая работа: Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными
Требуется знание работы «Алгоритм решения Диофантовых уравнений (АРДУ)».
Дата добавления на сайт: 14 февраля 2025
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными
Требуется знание работы «Алгоритм решения Диофантовых уравнений (АРДУ)».
Знание прогрессий многочленов и их матриц обязательно.
Простые числа - ПЧ.
Составные числа - СЧ.
Координатная сетка - КС.
И никаких лемм - теорем до финиша доползём на конкретных примерах.
Возьмём предельно простое уравнение, -
х+2у-41=0.(1)
Займёмся подбором решений. Мы набиваем руку и нам на начальной стадии надо знать всё об этом уравнении. Нам надо знать наличие решений в целых числах. Составим таблицу в которой величины х, у изменяются в пределах натурального ряда чисел 1÷13.
Таблица 1.
Пять нолей нащупали в матрице, а значит и пять решений. Теперь сделаем следующее действо, - в таблице 1 поменяем местами обозначения вертикальных и горизонтальных рядов. Данное действо делаем сознательно, хотя и по принципу «бросить часы в мясорубку и посмотреть что получится». Мы получили новую КС, по сравнению с предыдущей для таблицы 1.
Таблица 2
Опишем данную матрицу формулой.
Составим формулы вертикальных рядов.
Для первого вертикального ряда будет, -
| 2 | 2 | ||||
| -36 | -34 | -32, |
+2(х-1)=2х-38.
Для второго вертикального ряда будет, -
| 2 | 2 | ||||
| -33 | -31 | -29, |
+2(х-1)=2х-35.
Для третьего вертикального ряда будет, -
| 22 | |||||
| -30 | -28 | -26, |
+2(х-1)=2х-32.
Полученные формулы обличаются свободными членами.
Опишем свободные члены полученных выражений, -
| 3 | 3 | ||||
| -38 | -35 | -32, |
+3(у-1)=3у-41.
И окончательно, -
Щn= 2х+3у-41.
Первая маленькая победа.
В таблице 1 выделена линия чисел. Она подчёркнута. В дальнейшем она будет именоваться «диагональю».
Так вот, функция Щn отображает зеркально числа через диагональ из одного пространства в другое.
Индекс «n» при Щ обозначает слово «прямая».
Прямая, т.к. Щn вычислять не надо, достаточно поменять местами в начальном уравнении х и у местами. А есть Щв, где «в» - означает «вычесленная».
У нас есть КС из х и у для таблицы 1 и таблицы 2. Этого нам мало. Давайте сочиним и другую КС.
Потребуется применить к уравнению (1) АРДУ, и тогда придётся перебирать варианты:
)х-нечётное число, у-нечётное число, х>у;
)х-нечётное число, у-нечётное число, ху;
)х-нечётное число, у-чётное число, ху;
)х-чётное число, у-нечётное число, ху;
)х-чётное число, у-чётное число, хУ. Смотри таблицу 4.
Таблицу 4 изобразим с новой КС.
Таблица 5
Будем описывать вертикальные ряды, -
| 4 | 4 | ||||
| -36 | -32 | -28, |
| 44 | |||||
| -30 | -26 | -22, |
| 44 | |||||
| -24 | -20 | -16, |
Опишем свободные члены, -
| 30 | 30 | ||||
| -108 | -78 | -48, |
Составим полное выражение, описывающее числа в таблице 5.
Оно должно быть тождественным уравнению (1).
Составим уравнение, -
Убедились в тождественности КС и КС
Ещё раз зафиксируем следующее, -
в таблице 5
Нумерация сохранилась от предыдущей КС, когда горизонтальные ряды были пронумерованы выражением .
Когда имеем дело с КС, в которой имеется «К» правильнее было бы совсем не писать нумерацию ни вертикальных, ни горизонтальных рядов, для которых «К» работает в данный момент. В дальнейшем нумерацию писать будем, но будем помнить, что грешим.
В параграфах §§А будем рассматривать, скажем так, прямые КС, а в §§Б КС перевёрнутые. При помощи перевёрнутых КС будем находить Щв и из соотношений Щв=Щn, совместно с исходным уравнением, будем составлять систему уравнений. Полученную систему требуется исследовать на предмет наличия решений в исходном уравнении.
Изменим таблицу 5. Поменяем местами
и
Таблица 6
Будем описывать вертикальные ряды, -
| 4 | 4 | ||||
| -36 | -32 | -28, |
| 4 | 4 | ||||
| -30 | -26 | -22, |
| 4 | 4 | ||||
| -24 | -20 | -16, |
Составим выражение для свободных членов, -
| 6 | 6 | ||||
| -38 | -32 | -26, |
Составим общее выражение, -
Проверка показывает, что при подстановке в данное выражение величин х=13, у=1, а также х=9, у=7, получены значения, соответственно - 12 и - 2. Т.е. получено выражение Щв, см. таблицу 1. Составим уравнение Щв=Щn.
Получили уравнение (1).
В общем случае должно получиться уравнение тождественное исходному, но другое по содержанию. И ещё раз, - должна получиться система уравнений. Для иллюстрации подобран не совсем удачный пример. Ниже будут и удачные примеры. Сам же этот, не совсем удачный пример, помог разобраться в целом с разрешимостью Диофантовых уравнений. В основном точка в этой теме будет поставлена в одноимённых работах, где - то месяца через 2 - 3.
Для уравнения (1) используем условие из АРДУ №3, где -
х-нечётное число, у-чётное число, х>У (х=11, у=4 в таблице 1).
В уравнение (1) введём новые переменные, -
Сократим на меньшее переменное , -
где -(3)
Имеем
Уравнение (3) примет вид, -
Из таблицы 1 составим новую, с учётом что х в уравнении (1) - нечётные числа, у - чётные числа.
Таблица 7
КС (х, у) для таблицы 7 заменим на нормированную КС
Таблица 8
Опишем вертикальные ряды.
| 4 | 4 | 4 | ||||||
| -34 | -30 | -26 | -22, |
| 444 | ||||||||
| -28 | -24 | -20 | -16, |
| 4 | 4 | 4 | ||||||
| -22 | -18 | -14 | -10, |
Опишем свободные члены, -
| 30 | 30 | ||||
| -108 | -78 | -48, |
Составим полное выражение, -
Составим уравнение, -
Всё как в §А1.
Для таблицы 8 поменяем в КС местами и
А вот тут начались изюминки, - у нас в уравнении для Щв, х и у не только поменялись местами, но поменялись и чётности этих переменных. Давайте в таблице 8 поменяем местами и Тупо поменяем, без учёта смены чётности.
Таблица 9
Опишем вертикальные ряды, -
| 4 | 4 | ||||
| -34 | -30 | -26, |
| 44 | |||||
| -28 | -24 | -20, |
| 4 | 4 | ||||
| -22 | -18 | -14, |
Опишем свободные члены, -
| 6 | 6 | ||||
| -36 | -30 | -24, |
Составим полное выражение, -
По аналогии с §Б1 составим уравнение Щв=Щn.
Не получено уравнение (1), поэтому менять местами и надо с учётом смены чётности х и у.
Правильная матрица изображена в таблице 10 и она списана с таблицы 1, при х-чётных, у-нечётных числах в уравнении (1).
Таблица 10
Объяснение будет таким. Изначально пронумеровало в таблице 8 чётные горизонтальные ряды. Перенесли мы это выражение для нумерации вертикальных рядов. И там оно должно нумеровать чётные ряды, но уже вертикальные. Напоминаю, - речь идёт об условии №3 из АРДУ. Тоже самое касается и выражения , которое в начале нумеровало нечётные вертикальные ряды в таблице 8, ну мы его и оставим нумеровать нечётные же, но уже горизонтальные ряды в таблице 10.
Давайте будем работать с таблицей 10.
Опишем вертикальные ряды, -
| 4 | 4 | ||||
| -33 | -29 | -25, |
| 4 | 4 | ||||
| -27 | -23 | -19, |
| 4 | 4 | ||||
| -21 | -17 | -13, |
Опишем свободные члены, -
| 66 | |||||
| -35 | -29 | -23, |
Составим полное выражение, -
Это мы получили Щв. Составим уравнение Щв=Щn, -
Всё как в §Б1.
Читатель, у нас остались не разобранными некоторые из условий от АРДУ.
Например, -
) х-нечётное число, у-нечётное число, ху.
При данных условиях уравнение (1) не имеет решений в целых, положительных числах. Но напоминаю, мы этого как бы не знаем и формально будем действовать по плану §§А1, Б1 и §§А2, Б2.
Выведем формулу для .
Подставим новые переменные в формулу (1), -
Сократим на меньшее переменное , -
(6)
Имеем, -
Уравнение (6) примет вид, -
При х-у =7, =2. Но у нас по условию х и у величины чётные, тогда х-у =7 для нас именно в этом случае не существует. Из таблицы 1 составим новую таблицу при х и у чётных.
Таблица 11
Для таблицы 11 возьмём новую КС, -
Таблица 12
Опишем вертикальные ряды, -
| 4 | 4 | 4 | ||||||
| -31 | -27 | -23 | -19, |
| 444 | ||||||||
| -25 | -21 | -17 | -13, |
| 4 | 4 | 4 | ||||||
| -19 | -15 | -11 | -7, |
Опишем свободные члены, -
| 30 | 30 | ||||
| -93 | -63 | -33, |
Составим полное выражение, -
Составим уравнение, -
Всё как в §§А1, А2.
В таблице 12 поменяем местами и
Просто поменяем, ибо смены чётности у составляющих КС в этом примере нет.
Таблица 13
Опишем вертикальные ряды, -
| 4 | 4 | 4 | ||||||
| -31 | -27 | -23 | -19, |
| 4 | 4 | 4 | ||||||
| -25 | -21 | -17 | -13, |
| 4 | 4 | 4 | ||||||
| -19 | -15 | -11 | -7, |
Опишем свободные члены, -
| 6 | 6 | ||||
| -35 | -29 | -23, |
Составим полное выражение, -
Получили выражение Щв.
Составим уравнение Щв=Щn, -
Сравним полученный результат с результатами §§ Б1,Б2.
Не совсем удачный получился последний пример. АРДУ залез в другую область изначальных данных. Мы брали х и у чётные, а АРДУ выдал ответ для х-у =7.
На этот момент зафиксируем следующее, - условия АРДУ страхуют друг друга. А вот всегда ли, - вопрос временно остаётся открытым.
Сделаем предварительный вывод.
Идея заложенная в эту статью, по моему разумению, хороша. Всего лишь одна загвоздка, - работает как-то не совсем стабильно. Но это пока. Продолжим поиски.
Будем работать с уравнениями второго порядка. В рассмотренных примерах первого порядка тоже есть свои плюсы. Научились грамотно крутить - вертеть КС.
Сама идея состоит вот в чём. Каждое число в рассматриваемых матрицах имеет своим отображением другое число симметрично диагонали матрицы. У несуществующего числа нет и отображения. Если есть у уравнения решение, значит у числа «0» матрицы есть отображение в целых числах, ибо наши матрицы расписываются в целых числах. Вроде бы всё просто. Приступим к уравнениям второго порядка.
Организуем следующее уравнение, -
(7)
В ответ заглянем сразу, используя элементарный перебор переменных х и у в интервале 1÷8.
Пусть будут х - нечётные числа, у - чётные числа и х>у.
Таблица 14
В уравнение (7) введём новые переменные, -
Сократим на наименьшее переменное -
Имеем, -
Тогда, -
Перед радикалом взяли знак «минус», хотя если вести себя правильно, надо рассматривать знак «плюс» тоже. В данном случае подгонка, взято из рассмотрения таблицы 14.
Из таблицы 14 составим новую, при х-чётные числа, у-нечётные числа, с целью получения Щв, с учётом смены чётности.
Таблица 15
Далее следуем по плану §§Б1, Б2, Б3.
Таблица 16
Используя таблицу 16 составим выражение Щв.
Щn у нас есть, это -
Опишем вертикальные ряды, -
| -24 | -24 | |||||||
| -24 | -48 | -72 | ||||||
| -33 | -57 | -105 | -177, | |||||
| -24 | -24 | |||||||
| -24 | -48 | -72 | ||||||
| -9 | -33 | -81 | -153, |
| -24 | -24 | |||||||
| -24 | -48 | -72 | ||||||
| 31 | 7 | -41 | -113, |
| -24 | -24 | |||||||
| -24 | -48 | -72 | ||||||
| 87 | 63 | 15 | -57, |
Опишем свободные члены, -
| 16 | 16 | |||||||
| 24 | 40 | 56 | ||||||
| -30 | -6 | 34 | 90, |
Введём обозначение, -
Составим полное выражение, и это будет Щв, -
Составим уравнение Щв=Щn,
После сокращений, полученное уравнение подготовим к избавлению от радикала.
Члены уравнения сократим на общий множитель «2».
Возведём в квадрат, -
Двухчлен х-у возводим в степень и производим упрощения, в результате получим, -
(8)
Получено уравнение (8), вместо ожидаемого уравнения (7).
Сделаем следующее, - из уравнений (7) и (8) образуем систему уравнений.
Из уравнения (7) имеем, -
В уравнении (8) избавимся от переменного х.
Сделаем заготовки, -
Введём обозначение, -
Полученные заготовки подставим в уравнение (8), получим, -
ибо всё сократилось.
Рассмотрим уравнение (7) при следующих условиях, - х-чётное число, у-нечётное число, х>у. Гарантированное отсутствие решений.
В уравнение (7) введём новые переменные.
Сократим на наименьшее переменное
Из таблицы 14 создадим матрицу с КС х-нечётные, у-чётные числа. Нормируем х=2, 4, 6, 8,... к натуральному ряду и сразу разместим новую КС с целью нахождения Щв.
Таблица 17
Опишем вертикальные ряды, -
| -24 | -24 | |||||||
| -36 | -60 | -84 | ||||||
| -48 | -84 | -144 | -228, | |||||
| -24 | -24 | |||||||
| -36 | -60 | -84 | ||||||
| -32 | -68 | -128 | -212, |
| -24 | -24 | |||||||
| -36 | -60 | -84 | ||||||
| 0 | -36 | -96 | -180, |
| -24 | -24 | |||||||
| -36 | -60 | -84 | ||||||
| 48 | 12 | -48 | -132, |
Опишем свободные члены, -
| 16 | 16 | |||||||
| 16 | 32 | 48 | ||||||
| -36 | -20 | 12 | 60, |
Введём обозначение, -
Составим полное выражение, и это будет Щв, -
Составим уравнение Щв=Щn,
После сокращения коэффициентов на «2» получим, -
Подготовим уравнение к избавлению от радикала, -
Возведём обе части уравнения в квадрат, -
После упрощений, -
(9)
Сравним уравнения (9) с уравнением (8). Конечным результатом будет 0=0.
Условия АРДУ страхуют друг друга.
Сделаем предварительный вывод.
Для Диофантовых уравнений с двумя переменными научились составлять в пару другое уравнение. Решая в системе эти два уравнения до сих пор получали соотношение 0=0, и это независимо от условий АРДУ. Соотношение 0=0 и должно получиться и вот по какой причине, для примеров рассмотренных выше.
И вообще для уравнений, когда число решений больше степени неизвестных, входящих в это уравнение. При решении системы уравнений должно получиться однородное уравнение. Имеем, это однородное уравнение степени «n» не может иметь число решений m>n, - т.е. запрет на существование однородного уравнения при условии m>n. Поэтому метод и скидывает нам 0=0.
Возникает предположение, что при условии m≤n можно находить решения Диофантовых уравнений с двумя переменными. Хотя это утверждение требует проверки. Если решений у этих уравнений нет вообще, тогда должно получиться однородное уравнение не имеющее решений. С последующей проблемой, - не умением на настоящий день работать с однородными уравнениями больших степеней. Подтвердим возникшие предположения примерами.
Рассмотрим уравнение, -
(10)
Рассмотрим вариант при х и у чётные числа и х>у.
Введём в уравнение (10) новые переменные.
Сократим на меньшее переменное , -
Имеем, -
тогда, -
Для уравнения (10) распишем матрицу при х и у чётных числах, -
Таблица 18
Для получения Щв на матрицу таблицы 18 натянем соответствующую КС, уже нормированную.
Таблица 19
Опишем вертикальные ряды, -
| 16 | 16 | |||||||
| 24 | 40 | 56 | ||||||
| 9 | 33 | 73 | 129, | |||||
| 16 | 16 | |||||||
| 24 | 40 | 56 | ||||||
| 21 | 45 | 85 | 141, | |||||
| 16 | 16 | |||||||
| 24 | 40 | 56 | ||||||
| 41 | 65 | 105 | 161, | |||||
| 16 | 16 | |||||||
| 24 | 40 | 56 | ||||||
| 69 | 93 | 133 | 189, | |||||
Опишем свободные члены, -
| 8 | 8 | |||||||
| 12 | 20 | 28 | ||||||
| 1 | 13 | 33 | 61, |
Составим полное выражение, и это будет Щв, -
Составим уравнение Щв=Щn, -
После упрощений, -
Возведём в квадрат, -
После упрощений, -
(11)
В полученном уравнении избавимся от х.
Из уравнения (10) имеем, -
Для уравнения (11) припасём заготовки, -
Уравнение (11) примет вид, -
После сокращений, - 0=0.
Уравнение (10) имеет решение х=±1, у=±1, других нет, - тем не менее 0=0, для условий АРДУ х и у чётные числа и х>у.
Решим уравнение (10) при условии из АРДУ х,у - числа нечётные и х>у. У нас х=у, по АРДУ на такие мелочи внимание не обращают.
Введём в уравнение (10) новые переменные, -
Сократим на меньшее переменное , -
Имеем, -
тогда, -
Для нечётных х, у в уравнении (10) составим матрицу, -
Таблица 20
Для матрицы таблицы (20) составим новую нормированную КС.
Таблица 21
Опишем вертикальные ряды, -
| 16 | 16 | |||||||
| 16 | 32 | 48 | ||||||
| 0 | 16 | 48 | 96, | |||||
| | ||||||||
| 16 | 16 | |||||||
| 16 | 32 | 48 | ||||||
| 8 | 24 | 56 | 104, | |||||
| | ||||||||
| 16 | 16 | |||||||
| 16 | 32 | 48 | ||||||
| 24 | 40 | 72 | 120, | |||||
| | ||||||||
| 16 | 16 | |||||||
| 16 | 32 | 48 | ||||||
| 48 | 64 | 96 | 144, | |||||
Опишем свободные члены, -
| | ||||||||
| 8 | 8 | |||||||
| 8 | 16 | 24 | ||||||
| -2 | 6 | 22 | 46, | |||||
Составим полное выражение, и это будет Щв, -
У нас, -
Составим уравнение Щв=Щn, -
После сокращений, -
Полученное уравнение у нас уже было, - это уравнение (11).
В итоге получим после ухищерений 0 = 0. Лишний раз убедились, что АРДУ страхует друг друга.
Рассмотрим уравнение, -
(13)
Рассмотрим вариант при х,у - числа чётные и х>у.
Введём в уравнение (13) новые переменные, -
Сократим на меньшее переменное , -
Имеем, -
тогда, -
Для уравнения (13) распишем матрицу при х и у чётных числах, -
Таблица 22
Для получения Щв на матрицу таблицы 22 натянем соответствующую КС.
Таблица 23
Опишем вертикальные ряды, -
| 16 | 16 | |||||||
| 24 | 40 | 56 | ||||||
| -85 | -61 | -21 | 35, | |||||
| 16 | 16 | |||||||
| 24 | 40 | 56 | ||||||
| -61 | -37 | 3 | 59, | |||||
| 16 | 16 | |||||||
| 24 | 40 | 56 | ||||||
| -21 | 3 | 43 | 99, | |||||
| 16 | 16 | |||||||
| 24 | 40 | 56 | ||||||
| 35 | 59 | 99 | 155, | |||||
Опишем свободные члены, -
| 16 | 16 | |||||||
| 24 | 40 | 56 | ||||||
| -93 | -69 | -29 | 27, | |||||
Составим полное выражение, и это будет Щв, -
Составим уравнение Щв=Щn, -
После упрощений, -
Возведём в квадрат с целью избавления от радикала, -
После упрощений, -
(14)
В уравнении (14) избавимся от х.
Из уравнения (13) имеем, -
Для уравнения (14) припасём заготовки, -
Уравнение (14) примет вид, -
После сокращений, -
Поскольку у≠0, имеем -
Нет решений в целых числах, и из этого следует, что нет решений в целых числах у уравнения (13).
Заключение
Данная тема находится в начале изучения и более того, внедриться в неё глубоко навряд ли смогу. Читатель, если появятся вопросы, отвечай на них сам.
Разрабатывалась эта тема для следующей задачи, - пусть есть последовательность чисел степенного ряда и член этой последовательности. Есть возможность с использованием построения алгебраической трапеции из ограниченного количества чисел ряда этой последовательности составить формулу для любого числа этой последовательности, - И далее появляется возможность нащупать наличие в этой последовательности закономерностей, ну, скажем, есть ли среди чисел этой последовательности числа «n2», т.е. требуется составить формулу и вперёд. А можно составить и такую формулу или такую,
И если определяемая закономерность присутствует в последовательности чисел, то её наличие будет определено при помощи ограниченного количества членов заданного ряда чисел.
У данной темы остались открытыми следующие вопросы, -
а - всегда ли условия АРДУ страхуют друг друга?
б - есть ли возможность находить решения Диофантовых уравнений?,
в - всегда ли Щn находятся сменой коэффициентов при неизвестных?