Главная
Добавить работу на сайт
Регистрация
  
Главная страница >> Курсовая работа >> Математика и статистика >> Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными

Курсовая работа: Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными

Требуется знание работы «Алгоритм решения Диофантовых уравнений (АРДУ)».


Дата добавления на сайт: 14 февраля 2025
Заказать курсовую работу
Заказать реферат и др.
Скачать данную работу

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными

Требуется знание работы «Алгоритм решения Диофантовых уравнений (АРДУ)».
Знание прогрессий многочленов и их матриц обязательно.
Простые числа - ПЧ.
Составные числа - СЧ.
Координатная сетка - КС.
И никаких лемм - теорем до финиша доползём на конкретных примерах.
Возьмём предельно простое уравнение, -
х+2у-41=0.(1)
Займёмся подбором решений. Мы набиваем руку и нам на начальной стадии надо знать всё об этом уравнении. Нам надо знать наличие решений в целых числах. Составим таблицу в которой величины х, у изменяются в пределах натурального ряда чисел 1÷13.

Таблица 1.
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 1)

Пять нолей нащупали в матрице, а значит и пять решений. Теперь сделаем следующее действо, - в таблице 1 поменяем местами обозначения вертикальных и горизонтальных рядов. Данное действо делаем сознательно, хотя и по принципу «бросить часы в мясорубку и посмотреть что получится». Мы получили новую КС, по сравнению с предыдущей для таблицы 1.

Таблица 2
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 2)

Опишем данную матрицу формулой.
Составим формулы вертикальных рядов.
Для первого вертикального ряда будет, -

22
-36-34-32,

+2(х-1)=2х-38.

Для второго вертикального ряда будет, -

22
-33-31-29,

+2(х-1)=2х-35.

Для третьего вертикального ряда будет, -

22
-30-28-26,

+2(х-1)=2х-32.
Полученные формулы обличаются свободными членами.
Опишем свободные члены полученных выражений, -

33
-38-35-32,

+3(у-1)=3у-41.
И окончательно, -
Щn= 2х+3у-41.
Первая маленькая победа.
В таблице 1 выделена линия чисел. Она подчёркнута. В дальнейшем она будет именоваться «диагональю».
Так вот, функция Щn отображает зеркально числа через диагональ из одного пространства в другое.
Индекс «n» при Щ обозначает слово «прямая».
Прямая, т.к. Щn вычислять не надо, достаточно поменять местами в начальном уравнении х и у местами. А есть Щв, где «в» - означает «вычесленная».
У нас есть КС из х и у для таблицы 1 и таблицы 2. Этого нам мало. Давайте сочиним и другую КС.
Потребуется применить к уравнению (1) АРДУ, и тогда придётся перебирать варианты:
)х-нечётное число, у-нечётное число, х>у;
)х-нечётное число, у-нечётное число, ху;
)х-нечётное число, у-чётное число, ху;
)х-чётное число, у-нечётное число, ху;
)х-чётное число, у-чётное число, х2221357…,
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 4),
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 5),
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 6).

Для у аналогично.

Таблица 4.
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 7)

И уже к таблице 4, где КС состоит из функциональных выражений Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 8), Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 9), добавим новую КС с другим функциональным выражением.
В уравнение (1) введём новые переменные, -

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 10)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 11)

Уравнение (1) примет вид,-

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 12)

Сократим на наименьшую переменную 2β, -

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 13)где -(2)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 14)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 15)

Тогда Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 16)
Уравнение (2) примет вид, -
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 17)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 18)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 19)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 20)

При Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 21)
При Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 22)
Это подбор, но нам нужно убедиться, что правильно движемся.
Теперь у нас есть выражения для КС Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 23) Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 24)Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 25)
Выражения Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 26) и Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 27) равноценны, они делают одну и туже работу, - нумеруют горизонтальные ряды, поэтому Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 28)из рассмотрения уберём, а оставим Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 29), т.е. составим новую КС. Отличие же Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 30)от Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 31)в следующем, - Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 32)нумерует все горизонтальные ряды, тогда как Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 33) нумерует горизонтальные ряды, в которых есть решения для уравнения (1) при условиях х-нечётные, у-нечётные числа, при х>У. Смотри таблицу 4.
Таблицу 4 изобразим с новой КС.

Таблица 5
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 34)

Будем описывать вертикальные ряды, -

44
-36-32-28,

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 35)

44
-30-26-22,

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 36)

44
-24-20-16,

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 37)

Опишем свободные члены, -

3030
-108-78-48,

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 38)
Составим полное выражение, описывающее числа в таблице 5.
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 39)
Оно должно быть тождественным уравнению (1).
Составим уравнение, -
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 40)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 41)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 42)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 43)
Убедились в тождественности КС Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 44) и КС Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 45)
Ещё раз зафиксируем следующее, -
в таблице 5

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 46)Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 47)

Нумерация сохранилась от предыдущей КС, когда горизонтальные ряды были пронумерованы выражением Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 48).
Когда имеем дело с КС, в которой имеется «К» правильнее было бы совсем не писать нумерацию ни вертикальных, ни горизонтальных рядов, для которых «К» работает в данный момент. В дальнейшем нумерацию писать будем, но будем помнить, что грешим.
В параграфах §§А будем рассматривать, скажем так, прямые КС, а в §§Б КС перевёрнутые. При помощи перевёрнутых КС будем находить Щв и из соотношений Щв=Щn, совместно с исходным уравнением, будем составлять систему уравнений. Полученную систему требуется исследовать на предмет наличия решений в исходном уравнении.
Изменим таблицу 5. Поменяем местами

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 49)иРазрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 50)

Таблица 6
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 51)

Будем описывать вертикальные ряды, -

44
-36-32-28,

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 52)

44
-30-26-22,

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 53)

44
-24-20-16,

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 54)

Составим выражение для свободных членов, -

66
-38-32-26,

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 55)

Составим общее выражение, -

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 56)

Проверка показывает, что при подстановке в данное выражение величин х=13, у=1, а также х=9, у=7, получены значения, соответственно - 12 и - 2. Т.е. получено выражение Щв, см. таблицу 1. Составим уравнение Щв=Щn.

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 57)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 58)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 59)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 60)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 61)

Получили уравнение (1).
В общем случае должно получиться уравнение тождественное исходному, но другое по содержанию. И ещё раз, - должна получиться система уравнений. Для иллюстрации подобран не совсем удачный пример. Ниже будут и удачные примеры. Сам же этот, не совсем удачный пример, помог разобраться в целом с разрешимостью Диофантовых уравнений. В основном точка в этой теме будет поставлена в одноимённых работах, где - то месяца через 2 - 3.
Для уравнения (1) используем условие из АРДУ №3, где -
х-нечётное число, у-чётное число, х>У (х=11, у=4 в таблице 1).
В уравнение (1) введём новые переменные, -

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 62)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 63)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 64)

Сократим на меньшее переменное Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 65), -

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 66)где -(3)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 67)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 68)

Имеем Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 69)
Уравнение (3) примет вид, -

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 70)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 71)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 72)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 73)

Из таблицы 1 составим новую, с учётом что х в уравнении (1) - нечётные числа, у - чётные числа.

Таблица 7
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 74)

КС (х, у) для таблицы 7 заменим на нормированную КС

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 75)

Таблица 8
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 76)

Опишем вертикальные ряды.

444
-34-30-26-22,

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 77)

444
-28-24-20-16,

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 78)

444
-22-18-14-10,

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 79)

Опишем свободные члены, -

3030
-108-78-48,

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 80)
Составим полное выражение, -

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 81)

Составим уравнение, -

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 82)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 83)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 84)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 85)

Всё как в §А1.
Для таблицы 8 поменяем в КС местами Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 86) и Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 87)
А вот тут начались изюминки, - у нас в уравнении для Щв, х и у не только поменялись местами, но поменялись и чётности этих переменных. Давайте в таблице 8 поменяем местами Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 88)и Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 89) Тупо поменяем, без учёта смены чётности.

Таблица 9
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 90)

Опишем вертикальные ряды, -

44
-34-30-26,

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 91)

44
-28-24-20,
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 92)

44
-22-18-14,

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 93)

Опишем свободные члены, -

66
-36-30-24,

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 94)

Составим полное выражение, -

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 95)

По аналогии с §Б1 составим уравнение Щв=Щn.

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 96)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 97)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 98)

Не получено уравнение (1), поэтому менять местами Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 99)иРазрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 100) надо с учётом смены чётности х и у.
Правильная матрица изображена в таблице 10 и она списана с таблицы 1, при х-чётных, у-нечётных числах в уравнении (1).

Таблица 10
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 101)

Объяснение будет таким. Изначально Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 102)пронумеровало в таблице 8 чётные горизонтальные ряды. Перенесли мы это выражение для нумерации вертикальных рядов. И там оно должно нумеровать чётные ряды, но уже вертикальные. Напоминаю, - речь идёт об условии №3 из АРДУ. Тоже самое касается и выражения Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 103), которое в начале нумеровало нечётные вертикальные ряды в таблице 8, ну мы его и оставим нумеровать нечётные же, но уже горизонтальные ряды в таблице 10.
Давайте будем работать с таблицей 10.
Опишем вертикальные ряды, -

44
-33-29-25,

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 104)

44
-27-23-19,

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 105)

44
-21-17-13,

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 106)

Опишем свободные члены, -

66
-35-29-23,

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 107)Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 108)

Составим полное выражение, -

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 109)

Это мы получили Щв. Составим уравнение Щв=Щn, -

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 110)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 111)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 112)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 113)

Всё как в §Б1.
Читатель, у нас остались не разобранными некоторые из условий от АРДУ.
Например, -
) х-нечётное число, у-нечётное число, ху.
При данных условиях уравнение (1) не имеет решений в целых, положительных числах. Но напоминаю, мы этого как бы не знаем и формально будем действовать по плану §§А1, Б1 и §§А2, Б2.
Выведем формулу для Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 139).

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 140)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 141)

Подставим новые переменные в формулу (1), -

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 142)

Сократим на меньшее переменное Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 143), -

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 144)(6)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 145)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 146)

Имеем, -

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 147)

Уравнение (6) примет вид, -

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 148)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 149)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 150)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 151)

При х-у =7, Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 152)=2. Но у нас по условию х и у величины чётные, тогда х-у =7 для нас именно в этом случае не существует. Из таблицы 1 составим новую таблицу при х и у чётных.

Таблица 11
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 153)

Для таблицы 11 возьмём новую КС, -

Таблица 12
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 154)

Опишем вертикальные ряды, -

444
-31-27-23-19,

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 155)

444
-25-21-17-13,

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 156)

444
-19-15-11-7,

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 157)

Опишем свободные члены, -

3030
-93-63-33,

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 158)
Составим полное выражение, -
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 159)
Составим уравнение, -
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 160)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 161)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 162)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 163)
Всё как в §§А1, А2.
В таблице 12 поменяем местами Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 164)иРазрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 165)
Просто поменяем, ибо смены чётности у составляющих КС в этом примере нет.

Таблица 13
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 166)

Опишем вертикальные ряды, -

444
-31-27-23-19,

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 167)

444
-25-21-17-13,

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 168)

444
-19-15-11-7,

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 169)

Опишем свободные члены, -

66
-35-29-23,

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 170)

Составим полное выражение, -

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 171)

Получили выражение Щв.
Составим уравнение Щв=Щn, -

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 172)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 173)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 174)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 175)

Сравним полученный результат с результатами §§ Б1,Б2.
Не совсем удачный получился последний пример. АРДУ залез в другую область изначальных данных. Мы брали х и у чётные, а АРДУ выдал ответ для х-у =7.
На этот момент зафиксируем следующее, - условия АРДУ страхуют друг друга. А вот всегда ли, - вопрос временно остаётся открытым.
Сделаем предварительный вывод.
Идея заложенная в эту статью, по моему разумению, хороша. Всего лишь одна загвоздка, - работает как-то не совсем стабильно. Но это пока. Продолжим поиски.
Будем работать с уравнениями второго порядка. В рассмотренных примерах первого порядка тоже есть свои плюсы. Научились грамотно крутить - вертеть КС.
Сама идея состоит вот в чём. Каждое число в рассматриваемых матрицах имеет своим отображением другое число симметрично диагонали матрицы. У несуществующего числа нет и отображения. Если есть у уравнения решение, значит у числа «0» матрицы есть отображение в целых числах, ибо наши матрицы расписываются в целых числах. Вроде бы всё просто. Приступим к уравнениям второго порядка.
Организуем следующее уравнение, -

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 176)(7)
В ответ заглянем сразу, используя элементарный перебор переменных х и у в интервале 1÷8.
Пусть будут х - нечётные числа, у - чётные числа и х>у.

Таблица 14
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 177)

В уравнение (7) введём новые переменные, -

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 178)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 179)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 180)

Сократим на наименьшее переменное Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 181)-

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 182)

Имеем, -

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 183)

Тогда, -
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 184)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 185)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 186)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 187)

Перед радикалом взяли знак «минус», хотя если вести себя правильно, надо рассматривать знак «плюс» тоже. В данном случае подгонка, взято Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 188) из рассмотрения таблицы 14.
Из таблицы 14 составим новую, при х-чётные числа, у-нечётные числа, с целью получения Щв, с учётом смены чётности.

Таблица 15
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 189)

Далее следуем по плану §§Б1, Б2, Б3.

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 190)

Таблица 16
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 191)

Используя таблицу 16 составим выражение Щв.
Щn у нас есть, это - Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 192)
Опишем вертикальные ряды, -

-24-24
-24-48-72
-33-57-105-177,

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 193)

-24-24
-24-48-72
-9-33-81-153,

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 194)

-24-24
-24-48-72
317-41-113,

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 195)

-24-24
-24-48-72
876315-57,

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 196)

Опишем свободные члены, -

1616
244056
-30-63490,

Введём обозначение, -

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 197)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 198)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 199)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 200)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 201)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 202)

Составим полное выражение, и это будет Щв, -

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 203)

Составим уравнение Щв=Щn,

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 204)

После сокращений, полученное уравнение подготовим к избавлению от радикала.

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 205)

Члены уравнения сократим на общий множитель «2».

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 206)

Возведём в квадрат, -

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 207)

Двухчлен х-у возводим в степень и производим упрощения, в результате получим, -

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 208)(8)

Получено уравнение (8), вместо ожидаемого уравнения (7).
Сделаем следующее, - из уравнений (7) и (8) образуем систему уравнений.
Из уравнения (7) имеем, -

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 209)Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 210)

В уравнении (8) избавимся от переменного х.
Сделаем заготовки, -

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 211)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 212)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 213)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 214)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 215)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 216)

Введём обозначение, -

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 217)

Полученные заготовки подставим в уравнение (8), получим, -

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 218)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 219)

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 220)ибо всё сократилось.
Рассмотрим уравнение (7) при следующих условиях, - х-чётное число, у-нечётное число, х>у. Гарантированное отсутствие решений.
В уравнение (7) введём новые переменные.

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 221)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 222)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 223)

Сократим на наименьшее переменное Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 224)

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 225)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 226)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 227)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 228)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 229)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 230)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 231)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 232)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 233)

Из таблицы 14 создадим матрицу с КС х-нечётные, у-чётные числа. Нормируем х=2, 4, 6, 8,... к натуральному ряду и сразу разместим новую КС с целью нахождения Щв.

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 234)
Таблица 17
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 235)

Опишем вертикальные ряды, -

-24-24
-36-60-84
-48-84-144-228,

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 236)

-24-24
-36-60-84
-32-68-128-212,

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 237)

-24-24
-36-60-84
0-36-96-180,

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 238)

-24-24
-36-60-84
4812-48-132,

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 239)

Опишем свободные члены, -

1616
163248
-36-201260,

Введём обозначение, -

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 240)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 241)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 242)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 243)

Составим полное выражение, и это будет Щв, -

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 244)Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 245)

Составим уравнение Щв=Щn,

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 246)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 247)

После сокращения коэффициентов на «2» получим, -

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 248)

Подготовим уравнение к избавлению от радикала, -

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 249)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 250)

Возведём обе части уравнения в квадрат, -

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 251)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 252)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 253)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 254)

После упрощений, -

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 255)(9)

Сравним уравнения (9) с уравнением (8). Конечным результатом будет 0=0.
Условия АРДУ страхуют друг друга.
Сделаем предварительный вывод.
Для Диофантовых уравнений с двумя переменными научились составлять в пару другое уравнение. Решая в системе эти два уравнения до сих пор получали соотношение 0=0, и это независимо от условий АРДУ. Соотношение 0=0 и должно получиться и вот по какой причине, для примеров рассмотренных выше.
И вообще для уравнений, когда число решений больше степени неизвестных, входящих в это уравнение. При решении системы уравнений должно получиться однородное уравнение. Имеем, это однородное уравнение степени «n» не может иметь число решений m>n, - т.е. запрет на существование однородного уравнения при условии m>n. Поэтому метод и скидывает нам 0=0.
Возникает предположение, что при условии m≤n можно находить решения Диофантовых уравнений с двумя переменными. Хотя это утверждение требует проверки. Если решений у этих уравнений нет вообще, тогда должно получиться однородное уравнение не имеющее решений. С последующей проблемой, - не умением на настоящий день работать с однородными уравнениями больших степеней. Подтвердим возникшие предположения примерами.
Рассмотрим уравнение, -

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 256)(10)

Рассмотрим вариант при х и у чётные числа и х>у.
Введём в уравнение (10) новые переменные.

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 257)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 258)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 259)
Сократим на меньшее переменное Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 260), -

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 261)

Имеем, -

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 262) тогда, -
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 263)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 264)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 265)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 266)

Для уравнения (10) распишем матрицу при х и у чётных числах, -

Таблица 18
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 267)

Для получения Щв на матрицу таблицы 18 натянем соответствующую КС, уже нормированную.

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 268)

Таблица 19
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 269)

Опишем вертикальные ряды, -

1616
244056
93373129,

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 270)

1616
244056
214585141,

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 271)

1616
244056
4165105161,

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 272)

1616
244056
6993133189,

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 273)

Опишем свободные члены, -

88
122028
1133361,

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 274)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 275)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 276)

Составим полное выражение, и это будет Щв, -

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 277)
Составим уравнение Щв=Щn, -

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 278)

После упрощений, -

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 279)

Возведём в квадрат, -

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 280)

После упрощений, -

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 281)(11)

В полученном уравнении избавимся от х.
Из уравнения (10) имеем, -

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 282)Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 283)

Для уравнения (11) припасём заготовки, -

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 284)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 285)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 286)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 287)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 288)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 289)

Уравнение (11) примет вид, -

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 290)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 291)

После сокращений, - 0=0.
Уравнение (10) имеет решение х=±1, у=±1, других нет, - тем не менее 0=0, для условий АРДУ х и у чётные числа и х>у.
Решим уравнение (10) при условии из АРДУ х,у - числа нечётные и х>у. У нас х=у, по АРДУ на такие мелочи внимание не обращают.
Введём в уравнение (10) новые переменные, -

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 292)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 293)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 294)

Сократим на меньшее переменное Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 295), -

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 296)

Имеем, -

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 297) тогда, -
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 298)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 299)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 300)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 301)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 302)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 303)

Для нечётных х, у в уравнении (10) составим матрицу, -

Таблица 20
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 304)

Для матрицы таблицы (20) составим новую нормированную КС.

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 305)

Таблица 21
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 306)

Опишем вертикальные ряды, -

1616
163248
0164896,

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 307)

1616
163248
82456104,

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 308)

1616
163248
244072120,

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 309)

1616
163248
486496144,

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 310)

Опишем свободные члены, -

88
81624
-262246,

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 311)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 312)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 313)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 314)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 315)

Составим полное выражение, и это будет Щв, -

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 316)

У нас, -

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 317)

Составим уравнение Щв=Щn, -

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 318)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 319)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 320)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 321)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 322)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 323)

После сокращений, -

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 324)

Полученное уравнение у нас уже было, - это уравнение (11).
В итоге получим после ухищерений 0 = 0. Лишний раз убедились, что АРДУ страхует друг друга.
Рассмотрим уравнение, -
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 325)(13)
Рассмотрим вариант при х,у - числа чётные и х>у.
Введём в уравнение (13) новые переменные, -
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 326)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 327)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 328)

Сократим на меньшее переменное Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 329), -

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 330)

Имеем, -

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 331) тогда, -

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 332)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 333)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 334)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 335)

Для уравнения (13) распишем матрицу при х и у чётных числах, -

Таблица 22
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 336)

Для получения Щв на матрицу таблицы 22 натянем соответствующую КС.
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 337)

Таблица 23
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 338)

Опишем вертикальные ряды, -

1616
244056
-85-61-2135,

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 339)

1616
244056
-61-37359,

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 340)

1616
244056
-2134399,

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 341)

1616
244056
355999155,

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 342)

Опишем свободные члены, -

1616
244056
-93-69-2927,

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 343)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 344)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 345)

Составим полное выражение, и это будет Щв, -
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 346)

Составим уравнение Щв=Щn, -

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 347)

После упрощений, -

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 348)

Возведём в квадрат с целью избавления от радикала, -

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 349)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 350)

После упрощений, -

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 351)(14)

В уравнении (14) избавимся от х.
Из уравнения (13) имеем, -

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 352)

Для уравнения (14) припасём заготовки, -
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 353)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 354)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 355)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 356)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 357)

Уравнение (14) примет вид, -

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 358)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 359)

После сокращений, -

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 360)

Поскольку у≠0, имеем -

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 361)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 362)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 363)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 364)
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 365)

Нет решений в целых числах, и из этого следует, что нет решений в целых числах у уравнения (13).
Заключение

Данная тема находится в начале изучения и более того, внедриться в неё глубоко навряд ли смогу. Читатель, если появятся вопросы, отвечай на них сам.
Разрабатывалась эта тема для следующей задачи, - пусть есть последовательность чисел степенного ряда и Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 366)член этой последовательности. Есть возможность с использованием построения алгебраической трапеции из ограниченного количества чисел ряда этой последовательности составить формулу для любого числа этой последовательности, - Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 367) И далее появляется возможность нащупать наличие в этой последовательности закономерностей, ну, скажем, есть ли среди чисел этой последовательности числа «n2», т.е. требуется составить формулу Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 368)и вперёд. А можно составить и такую формулу Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 369)или такую, Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными (рис. 370)
И если определяемая закономерность присутствует в последовательности чисел, то её наличие будет определено при помощи ограниченного количества членов заданного ряда чисел.
У данной темы остались открытыми следующие вопросы, -
а - всегда ли условия АРДУ страхуют друг друга?
б - есть ли возможность находить решения Диофантовых уравнений?,
в - всегда ли Щn находятся сменой коэффициентов при неизвестных?

Комментарии:

Вы не можете оставлять комментарии. Пожалуйста, зарегистрируйтесь.
▲ ▼