Курсовая работа: Ряд Фурье
В последнее десятилетие в европейском высшем образовании остро стоит вопрос о подготовке специалистов, обладающих высокой профессиональной компетентностью и способных конкурировать на мировом рынке труда.
Дата добавления на сайт: 19 февраля 2025
Введение
В последнее десятилетие в европейском высшем образовании остро стоит вопрос о подготовке специалистов, обладающих высокой профессиональной компетентностью и способных конкурировать на мировом рынке труда. Решению этой задачи, очевидно, может содействовать усиление вектора профессиональной направленности образования. Для реализации подобных целей должно применяться повышение мотивации к изучению математики в части ее физических приложений. Одним из примеров таких приложений являются некоторые разделы математического анализа, имеющие важное практическое значение.
Профессиональная направленность обучения математике определяется целями и задачами, определяемыми при подготовке специалистов. В последние время четко просматривается проблема отсутствия практико-ориентированного подхода при обучении математике.
Поэтому для повышения эффективности обучения при изучении понятия ряда Фурье необходимо отталкиваться не от готовых определений, а от физического контекста, рассмотрев физические задачи, приводящие к данному.
Ряд Фурье позволяет изучать периодические (непериодические) функции, разлагая их на компоненты. Переменные токи и напряжения, смещения, скорость и ускорение кривошипно-шатунных механизмов и акустические волны - это типичные практические примеры применения периодических функций в инженерных расчетах. Разложение в ряд Фурье основывается на предположении, что все имеющие практическое значение функции в интервале -π ≤x≤ π можно выразить в виде сходящихся тригонометрических рядов.
Целью данной курсовой работы является введения понятия ряда Фурье и изучение его общих свойств. Для ее достижения необходимо выполнить следующие задачи:
)Ввести понятия ряда Фурье с опорой на физический контекст лекций;
)Рассмотреть физические задачи, приводящие к понятию ряда Фурье;
)Изучить свойства ряд Фурье в комплексной области;
)Дать характеристику приложению рядов Фурье.
1. Введение понятия ряда Фурье
В последние годы в образовании делается акцент на развитие компетентностного подхода. Особый вес приобретают не столько академические знания, умения и навыки выпускника вуза, сколько его способности квалифицированно осуществлять профессиональную деятельность, что и определяет качество подготовки. Актуальной становится проблема профессионально ориентированного обучения математике студентов физических и инженерно-технических специальностей вузов, поскольку математика выполняет в естествознании методологическую функцию и считается языком физики. Средством решения этой проблемы может быть интеграция содержания математики и физики (технических дисциплин) в рамках предметной области «математика». К этому выводу приходит все большее число исследователей [1] - [4].
Вопросами установления интеграционных (межпредметных) связей математических и физических дисциплин в обучении математике студентов физических и инженерно-технических специальностей вузов также занимались М.С. Аммосова, Н.А. Байгазова, В.Р. Беломестнова, Е.А. Василевская, Л.В. Васяк, М.Л. Груздева, В.А. Далингер, Т.В. Игнатьева, Е.И. Исмагилова, О.Е. Кириченко, И.Г. Михайлова, С.Х. Мухаметдинова, С.В. Плотникова, С.А. Розанова, Т.И. Федотова и др. Изданы интеграционные учебные пособия: сборники прикладных и физических задач по математике для студентов технических вузов [5], [6].
Анализ научно-методических публикаций, учебников и задачников по высшей математике показывает, что средствами осуществления интеграции математических и специальных дисциплин могут выступать: а) математические задачи прикладного характера, б) метод математического моделирования физических и физико-технических задач (интеграция на уровне практики математики). Однако в решении задач используются готовые результаты математической теории, которая при этом остается за рамками интеграции. А ведь именно теория как сложный «чужеродный» объект вызывает наибольшее неприятие, «отторжение», «сопротивление организма» при изучении математики будущими инженерами и физиками. Именно «чистая» теория математики обычно ведет к снижению их интереса к предмету и мотивации к учебе, ухудшению успеваемости, порождает серьезные психологические проблемы (например, затрудняет адаптацию первокурсников), формализм в знаниях и тем самым ограничивает развитие теоретического мышления. Последствия этого нельзя недооценить.
Таким образом, интеграцией охвачен лишь «внешний фасад» математики, что нельзя признать удовлетворяющим требованиям времени. Усилить междисциплинарные связи математики и физики (технических дисциплин), на наш взгляд, можно, если при введении математических понятий на лекциях опираться на моделирование физических (физико-технических) объектов и структур. В работе [7] предлагается перечень физических явлений для использования их моделей при введении соответствующих понятий математического анализа.
Проблему эффективности обучения высшей математике можно решить, если при введении важных математических понятий: 1) опираться на содержательное обобщение; 2) обобщение проводить на физическом (физико-техническом) материале. Таким образом, в обучении математике будущих инженеров и физиков должны фигурировать не готовые определения понятий и их, пусть даже и прикладные, иллюстрации, и не выделение понятий из математической же основы (в частности, из геометрической), а выявление всеобщих абстрактных форм среди многообразия физических явлений.
Алгоритм введения математических понятий при обучении студентов состоит из четырех основных стадий:
) Описание физического явления (структуры) на языке физики и постановка физической задачи, решение которой требует нового математического понятия (при этом, вообще, должно использоваться несколько физических задач);
) Выполнение такого преобразования содержания, которое позволяет перейти к отношению, играющему роль всеобщей основы для решения любой задачи данного вида;
) Фиксация этого отношения в знаковой модели, позволяющей рассматривать его особенности в «чистом виде»;
) Установление таких свойств данного отношения, которые дают возможность выявить условия и способ решения исходной задачи.
Таким образом, нами рассмотрен алгоритм введения понятия ряда Фурье, опирающийся на моделирование физических задач в теоретическом курсе высшей математики для студентов физико-математических и инженерно-технических специальностей вузов. С помощью алгоритма выполняется содержательное обобщение, основанное на выяснении условий происхождения математических понятий из физической действительности.
Этот способ создает условия для усиления мотивации к изучению математики, для профессиональной направленности обучения и преодоления формализма в знаниях студентов, для приобретения ими навыков математического моделирования физических явлений.
2. Физические задачи, приводящие к понятию ряда Фурье
Понятие ряда Фурье можно ввести, исходя из задачи раскладывания периодических прямоугольных и пилообразных импульсов напряжения, подаваемых на осциллограф. Следует сообщить студентам, что такие периодические сигналы могут, например, играть роль тестовых при исследовании конструкции различных частотных фильтров, «обрезающих» определенные частоты, а само разложение ряда Фурье, широко используется в радиотехнике и теории связи.
1. Раскладывание пилообразных импульсов напряжения.
Разложить функцию
в промежутке (0, 2π).
Используем тригонометрический ряд:
Определим коэфиценты этого ряда. Будем предполагать функцию f(x) интегрируемой в промежутке [-π, π] в собственном или в несобственном смысле; в последнем случае мы дополнительно будем предполагать, что функция абсолютно интегрируема. Допустим, что разложение имеет место, и проинтегрируем его почленно от -π до π; мы получим
Причем,
Поэтому все члены под знаком суммы будут нулями, и окончательно найдем
Для того чтобы установить величину коэффициента ат, умножим обе части тригонометрического ряда, которое мы все время предполагаем выполненным, на cos(тх) и снова проинтегрируем почленно в том же промежутке:
Первый член справа исчезает (см. выше). Далее имеем
Таким образом, обращаются в нуль все интегралы под знаком суммы, кроме интеграла, при котором множителем стоит именно коэффициент ат. Отсюда этот коэффициент и определяется:
Аналогично, умножая предварительно разложение (5) на sin тх и затем интегрируя почленно, определим коэффициент при синусе:
При этом мы опираемся еще на легко проверяемые соотношения:
Таким образом, мы приходим к разложению, содержащему одни лишь синусы:
При x=0 (или 2π) сумма ряда равна нулю, и равенство нарушается. Не будет равенства и вне указанного промежутка. График суммы ряда S(x) состоит из бесчисленного множества параллельных отрезков и ряда отдельных точек на оси х.
. Расладываание прямоугольных импульсов напряжения
Для этого испоьзуем последнее разложение из задачи 1)
Заменяя в нем x на 2x и деля обе части равенства на 2, найдем:
Вычитая одно и тоже разложение из другого, получим:
Обозначим сумму последнего ряда через S(x):
Полученный график функции S(x), характеризует постепенное приближение к этой разрывной функции частичных сумм ряда.
Если положить в рассматриваемом разложении x=π/2, то получим известный нам ряд Лейбница
При x=π/6 и x=π/3 получаются ряды:
3. Представление треугольных импульсов
Сочетая полученное здесь разложение с разложением задачи 2), легко прийти к ряду для функции F(x)=x:
Непосредственно мы получаем его лишь для 0 0). Тогда уравнение (5) распадается на два:
их решения («общие интегралы») имеют вид:
Для того чтобы функция у = XT удовлетворяла предельным условиям (3), им должна удовлетворять функция X. Полагая х = 0, сразу видим, что
С = 0; полагая же х = l и учитывая, что D уже не может быть нулем, придем к условию
откуда λl=nπ при натуральном п. Таким образом, λ может иметь одно из следующих значений:
придем к такой последовательности частных решений:
Нетрудно видеть, что поставленным требованиям будет удовлетворять и сумма этих решений, взятых в любом числе. Это наталкивает на мысль рассмотреть бесконечный ряд, составленный из всех таких решений, и положить
Мы примем пока, что этот ряд сходится и что сумма его удовлетворяет уравнению (2); выполнение условий (3) очевидно. Теперь лишь обращаемся мы к начальным условиям (4) и постараемся распорядиться постоянными ап, bп так, чтобы удовлетворить и им. Допустим, что для ряда (8) законно почленное дифференцирование по t, так что
Полагая в (8) и (9) t = 0, приходим к условиям
Отсюда, если только функции l и g удовлетворяют условиям разложимости в ряд Фурье, по формулам, определяются, наконец, искомые коэффициенты:
Мы получили, таким образом, по крайней мере формально, полное решение поставленной задачи в виде ряда (8) с коэффициентами, вычисленными по формулам (11)
Правда, вопрос о том, будет ли оно действительно решением, пока остается открытым. Для того чтобы ответить на него, наложим теперь требования на функции l и g; именно, пусть функция g будет дифференцируема, а функция l - дважды дифференцируема, причем производные f» и g\' предположим имеющими ограниченное изменение в промежутке [0, l]. Тогда имеют место такие оценки:
Оба разложения (10) в действительности имеют место во всем промежутке [0, l]; сходится и разложение (8), причем определяемая им функция удовлетворяет как предельным, так и начальным условиям [почленное дифференцированное по t теперь оправдывается равномерной сходимостью ряда (9)]. Несколько сложнее удостовериться в том, что эта функция удовлетворяет самому дифференциальному уравнению.
Заметим, что ряды (10) сходятся и за пределами промежутка [0, l]; обозначая их суммы по-прежнему через f(x) и g(x), мы получаем, таким образом, распространение этих функций на весь бесконечный промежуток
(- ∞, +∞) с сохранением их дифференциальных свойств, за исключением разве лишь точек вида kl при целом к. Ряд для g(x), равномерно сходящийся в любом конечном промежутке, можно почленно проинтегрировать, так что
где g1(x) есть одна из первообразных для функции g(x). Раскрывая скобки в (8), можно переписать это выражение в виде
Дважды дифференцируя по t и по х, теперь уже легко убедиться в выполнении уравнения (2)
Решение рассмотренной здесь задачи можно было бы получить и непосредственно в последней форме, но решение в форме тригонометрического ряда (8) имеет преимущество, ибо позволяет вскрыть важные физические особенности изучаемого явления. Объединяя в (8) оба члена в скобках, перепишем разложение так:
Мы видим, что полное колебание струны слагается из ряда отдельных колебаний
Участвующие в таком элементарном колебании точки струны все колеблются с одной и той же частотой или, если угодно, с одним и тем же периодом, которому отвечает тон определенной высоты. Амплитуда колебания каждой точки зависит от ее положения; она равна
Вся струна разбивается на п равных участков, причем точки одного и того же участка находятся всегда в одной и той же фазе, а точки соседних участков - в прямо противоположных фазах.
На рисунке изображены последовательные положения струны для случаев п = 1, 2, 3, 4.
Точки, отделяющие один участок от другого, находятся в покое; это - так называемые «узлы». Середины участков («пучности») колеблются с наибольшей амплитудой. Описанное явление носит название стоячей волны; отсюда и сам метод Фурье обычно называют методом стоячих волн.
Основной тон определяется первой составляющей у1; ей отвечает частота
Остальные тона, одновременно с основным издаваемые струной, или обертоны, характеризуют определенную «окраску» звука, или его тембр. Если нажать пальцем в середине струны, то сразу заглохнут как основной тон, так и нечетные обертоны, для которых там была пучность. Четные обертоны, для которых на середину струны приходится узел, все сохранятся; среди них роль основного будет играть второй обертон, с периодом Т2 = \\ Г1? и струна станет издавать октаву первоначального тона. Все это можно прочитать по полученному решению нашей задачи.
Заключение
Понятия ряда Фурье нами вводилось, опираясь на моделирование физико-технических задач в теоретическом курсе высшей математики для студентов физическо-математических специальностей вузов. С помощью алгоритма выполняется содержательное обобщение, основанное на выяснении условий происхождения математических понятий из физической действительности, названное нами «конвергентным синтезом». Рассматривается введение понятия ряда Фурье. Подход обеспечивает интеграцию содержания математики и физики в теории обучения, создает условия для усиления мотивации к учебе и приобретения навыков математического моделирования.
Целью курсовой работы являлось:
Были решены поставленные задачи:
Во введении была сформулирована цель работы и показана её актцуальность
В первой главе обсуждался способ введения понятия ряда Фурье которое производилось по следующему алгоритму:
) описание физического явления (структуры) на языке физики и постановка физической задачи, решение которой требует нового математического понятия (при этом, вообще, должно использоваться несколько физических задач);
) выполнение такого преобразования содержания, которое позволяет перейти к отношению, играющему роль всеобщей основы для решения любой задачи данного вида;
) фиксация этого отношения в знаковой модели, позволяющей рассматривать его особенности в «чистом виде»;
) установление таких свойств данного отношения, которые дают возможность выявить условия и способ решения исходной задачи.
Во второй главе были рассмотрены физические задачи, отталкиваясь от которых было сформулировано понятие ряда Фурье.
Для введения понятие ряда Фурье с опорой на физические задачи были использованы такие задачи, как раскладываний периодических прямоугольных и пилообразных импульсов напряжения.
В третьей главе обсуждались свойства ряда Фурье. В частности, ортогональные системы функций, интеграл Дирихле. Были сформулированы: теорема Римана, признак Липшица и признак Дирихле, а также нами были рассмотрены свойства четной и нечетной периодической функции и ряд Фурье в комплексной области.
В четвертой главе были рассмотрены приложения рядов Фурье, для решения дифференциальных уравнений математической физики.
Рассмотренный метод введения понятия ряда Фурье с опорой на физический контекст лекций по общей математики может усилить мотивацию к изучению математики, облегчить восприятие нового материала, сформировать навыки математического моделирования и научного творчества.
Литература
1.Зайниев, Р.М. Профессиональная направленность математической подготовки инженерных кадров / Р.М. Зайниев // Высшее образование сегодня. - 2008. - №5. - С. 88-90.
.Князева, О.Г. Проблема профессиональной направленности обучения математике в технических вузах / О.Г. Князева // Вестник Томского гос. пед. ун-та. - 2009. - Вып. 9. - С. 14-18.
.Носков, М.В. Какой математике учить будущих бакалавров? / М.В. Носков, В.А. Шершнева // Высшее образование в России. - 2010. - №3. - С. 44-48.
.Рассоха, Е.Н. К проблеме развития математических способностей студентов технических специальностей / Е.Н. Рассоха, Л.М. Анциферова // Вестник Оренбургского гос. ун-та. - 2010. - №9. - С. 189-194.
.Фихтенгольц, Г.М. Основы математического анализа. Т. II. M.:Физматлит, 2002.
.Бохан К.А., Егорова И.А., Лащенов К.В. Курс математического анализа. Т. II. M.:Просвещение, 1972.
.Ветрова, В.Т. Сборник физических задач по общему курсу высшей математики: учеб. Пособие для вузов / В.Т. Ветрова. - Минск: Выш. шк., 1997. - 202 с.
.Шершнева, В.А. Сборник прикладных задач по математике для студентов инженерных вузов/ В.А. Шершнева, О.А. Карнаухова. - Красноярск: Сиб. федер. ун-т, 2008. - 204 с.
.Кирюшин, И.В. Теоретическая интеграция математики и физики в курсе математического анализа / И.В. Кирюшин // Весцi БДПУ. Серыя 3. - 2010. - №2. - С. 34-39.
.Давыдов, В.В. Виды обобщения в обучении: Логико-психологические проблемы построения учебных предметов / В.В. Давыдов. - М.: Педагогическое общество России, 2000. - 480 с.
.Усова А.В. Формирование у школьников научных понятий в процессе обучения / А.В. Усова. - М.: Педагогика, 1986. - 176 с.
.Демидович, Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: учеб. пособие для вузов / Б.П. Демидович. - М.: АСТ, 2008. - 558 с.
.Беломестнова, В.Р. Математическое моделирование как средство интеграции курса математики с физическими дисциплинами при обучении студентов физических специальностей / В.Р. Беломестнова // Омский научный вестник. - 2006. - №7 (43). - С. 192-201.
.Кирюшин, И.В. Построение межпредметных связей математики и физики в курсе математического анализа с использованием компьютерного моделирования физических процессов / И.В. Кирюшин // Весцi БДПУ. Сер. 3. - 2009. - №4. - С. 16-21.
.Воробьев, Е.М. Компьютерный практикум по математике. Математический анализ. Линейная алгебра: учеб. пособие / Е.М. Воробьев. - М.: КДУ, 2009. - 604 с.