Главная
Добавить работу на сайт
Регистрация
  
Главная страница >> Контрольная работа >> Математика и статистика >> Специальные математические методы и функции

Контрольная работа: Специальные математические методы и функции

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА№1
По курсу: Специальные математические методы и функции.


Дата добавления на сайт: 14 февраля 2025
Заказать курсовую работу
Заказать реферат и др.
Скачать данную работу
Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ»
Институт информационных технологий

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА№1
По курсу: Специальные математические методы и функции

Минск, 2013
1. Найти решение Специальные математические методы и функции (рис. 1)уравнения

Специальные математические методы и функции (рис. 2)

с граничными условиями Специальные математические методы и функции (рис. 3), Специальные математические методы и функции (рис. 4) и начальными условиями Специальные математические методы и функции (рис. 5), Специальные математические методы и функции (рис. 6).
Решение:
Будем искать решение в виде ряда:
уравнение фурье функционал экстремаль
Специальные математические методы и функции (рис. 7).
Тогда: Специальные математические методы и функции (рис. 8), Специальные математические методы и функции (рис. 9).

Тогда исходное уравнение примет вид:

Специальные математические методы и функции (рис. 10)или разделяя переменные Специальные математические методы и функции (рис. 11).

Т.к. Специальные математические методы и функции (рис. 12) и Специальные математические методы и функции (рис. 13) - независимые переменные, то равенство возможно лишь в том случае, когда левая и правая части являются вещественными числами:

Специальные математические методы и функции (рис. 14), Специальные математические методы и функции (рис. 15).

В результате для нахождения функцийСпециальные математические методы и функции (рис. 16)и Специальные математические методы и функции (рис. 17) получаем систему дифференциальных уравнений:

Специальные математические методы и функции (рис. 18).

Рассмотрим вначале уравнение (2).
В силу нулевых краевых условий имеем:

Специальные математические методы и функции (рис. 19),
Специальные математические методы и функции (рис. 20).

Анализ этих уравнений приводит к выводу, что:

Специальные математические методы и функции (рис. 21), Специальные математические методы и функции (рис. 22).

Тогда уравнение (1) имеет решение:

Специальные математические методы и функции (рис. 23).

Итак, мы нашли подходящие частные решения:

Специальные математические методы и функции (рис. 24).

Скомбинируем из них общее решение в виде ряда:

Специальные математические методы и функции (рис. 25). (3)

Для нахождения чисел Специальные математические методы и функции (рис. 26) и Специальные математические методы и функции (рис. 27) почленно продифференцируем ряд по переменной Специальные математические методы и функции (рис. 28):

Специальные математические методы и функции (рис. 29). (4)

Подставим в (3) и (4) Специальные математические методы и функции (рис. 30). Тогда с учетом начальных условий будем иметь:

Специальные математические методы и функции (рис. 31),
Специальные математические методы и функции (рис. 32).

Мы получили разложение функций Специальные математические методы и функции (рис. 33) и Специальные математические методы и функции (рис. 34) в ряды Фурье по синусам. Поэтому неизвестные коэффициенты определяются по стандартным формулами:

Специальные математические методы и функции (рис. 35)
Специальные математические методы и функции (рис. 36).

Подставим в уравнение (3), для Специальные математические методы и функции (рис. 37):

Специальные математические методы и функции (рис. 38).

Ответ: Специальные математические методы и функции (рис. 39)
. Найти симметричное преобразование Фурье функции

Специальные математические методы и функции (рис. 40)
Решение:Специальные математические методы и функции (рис. 41)

Ответ:Специальные математические методы и функции (рис. 42)
. Решить линейное разностное уравнение

Специальные математические методы и функции (рис. 43), Специальные математические методы и функции (рис. 44), Специальные математические методы и функции (рис. 45), Специальные математические методы и функции (рис. 46).

Решение:

Пусть Специальные математические методы и функции (рис. 47).
Тогда Специальные математические методы и функции (рис. 48)
Специальные математические методы и функции (рис. 49)
Специальные математические методы и функции (рис. 50).

Получаем операторное уравнение:

Специальные математические методы и функции (рис. 51)
Специальные математические методы и функции (рис. 52)
Специальные математические методы и функции (рис. 53)

Имеем решение:

Специальные математические методы и функции (рис. 54)

Функция Специальные математические методы и функции (рис. 55) представляет собой несократимую дробь, знаменатель которой имеет корни Специальные математические методы и функции (рис. 56), Специальные математические методы и функции (рис. 57) кратности 2.
Тогда находим Специальные математические методы и функции (рис. 58):

Специальные математические методы и функции (рис. 59)

Проверим, выполняются ли начальные условия:
Специальные математические методы и функции (рис. 60)
Специальные математические методы и функции (рис. 61)
Специальные математические методы и функции (рис. 62).
Значит, функция Специальные математические методы и функции (рис. 63) является решением исходной задачи.
Ответ:Специальные математические методы и функции (рис. 64).
. Найти допустимые экстремали функционала

Специальные математические методы и функции (рис. 65), Специальные математические методы и функции (рис. 66), Специальные математические методы и функции (рис. 67).

Решение:
Приступая к решению задачи, замечаем, что:

Специальные математические методы и функции (рис. 68), Специальные математические методы и функции (рис. 69),
Специальные математические методы и функции (рис. 70), Специальные математические методы и функции (рис. 71).

Поэтому уравнение Эйлера-Лагранжа выглядит так:
Специальные математические методы и функции (рис. 72)
Специальные математические методы и функции (рис. 73).
Интегрируя, получаем решение:

Специальные математические методы и функции (рис. 74).

Частное решение:
Специальные математические методы и функции (рис. 75),
Специальные математические методы и функции (рис. 76).
Подставим:
Специальные математические методы и функции (рис. 77)- искомая экстремаль.
Ответ: Специальные математические методы и функции (рис. 78).

Список используемой литературы

1. Бицадзе, А. В. Уравнения математической физики / А. В. Бицадзе. - М.: Наука, 1976. - 296 с.
. Болгов, В. А. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 2. Специальные разделы математического анализа: учеб. пособие для втузов / В. А. Болгов, А. В. Ефимов, А. Ф. Каракулин [и др.]; под общ. редакцией Ефимова А. В. и Б. П. Демидовича - 2-е изд. - М.: Наука, 1986. - 368 с.
. Гельфанд, И. М. Вариационное исчисление / И. М. Гельфанд, С. В. Фомин. - М.: Наука, 1961. - 228 с. 3. Жевняк, Р. М. Высшая математика: Дифференциальные уравнения. Уравнения математической физики. Теория функций комплексной переменной: учеб. пособие / Р. М. Жевняк, А. А. Карпук - Минск: ИРФ Обозрение, 1977. - 570 с.
. Жевняк, Р. М. Высшая математика: Операционное исчисление. Теория вероятностей. Математическая статистика. Случайные процессы: учеб. пособие / Р. М. Жевняк, А. А. Карпук. - Минск: ИРФ Обозрение, 1977. - 445с.



Комментарии:

Вы не можете оставлять комментарии. Пожалуйста, зарегистрируйтесь.
▲ ▼