Текст работы

Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ»
Институт информационных технологий

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА№1
По курсу: Специальные математические методы и функции

Минск, 2013
1. Найти решение уравнения



с граничными условиями , и начальными условиями , .
Решение:
Будем искать решение в виде ряда:
уравнение фурье функционал экстремаль
.
Тогда: , .

Тогда исходное уравнение примет вид:

или разделяя переменные .

Т.к. и - независимые переменные, то равенство возможно лишь в том случае, когда левая и правая части являются вещественными числами:

, .

В результате для нахождения функцийи получаем систему дифференциальных уравнений:

.

Рассмотрим вначале уравнение (2).
В силу нулевых краевых условий имеем:

,
.

Анализ этих уравнений приводит к выводу, что:

, .

Тогда уравнение (1) имеет решение:

.

Итак, мы нашли подходящие частные решения:

.

Скомбинируем из них общее решение в виде ряда:

. (3)

Для нахождения чисел и почленно продифференцируем ряд по переменной :

. (4)

Подставим в (3) и (4) . Тогда с учетом начальных условий будем иметь:

,
.

Мы получили разложение функций и в ряды Фурье по синусам. Поэтому неизвестные коэффициенты определяются по стандартным формулами:


.

Подставим в уравнение (3), для :

.

Ответ:
. Найти симметричное преобразование Фурье функции


Решение:

Ответ:
. Решить линейное разностное уравнение

, , , .

Решение:

Пусть .
Тогда

.

Получаем операторное уравнение:





Имеем решение:



Функция представляет собой несократимую дробь, знаменатель которой имеет корни , кратности 2.
Тогда находим :



Проверим, выполняются ли начальные условия:


.
Значит, функция является решением исходной задачи.
Ответ:.
. Найти допустимые экстремали функционала

, , .

Решение:
Приступая к решению задачи, замечаем, что:

, ,
, .

Поэтому уравнение Эйлера-Лагранжа выглядит так:

.
Интегрируя, получаем решение:

.

Частное решение:
,
.
Подставим:
- искомая экстремаль.
Ответ: .

Список используемой литературы

1. Бицадзе, А. В. Уравнения математической физики / А. В. Бицадзе. - М.: Наука, 1976. - 296 с.
. Болгов, В. А. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 2. Специальные разделы математического анализа: учеб. пособие для втузов / В. А. Болгов, А. В. Ефимов, А. Ф. Каракулин [и др.]; под общ. редакцией Ефимова А. В. и Б. П. Демидовича - 2-е изд. - М.: Наука, 1986. - 368 с.
. Гельфанд, И. М. Вариационное исчисление / И. М. Гельфанд, С. В. Фомин. - М.: Наука, 1961. - 228 с. 3. Жевняк, Р. М. Высшая математика: Дифференциальные уравнения. Уравнения математической физики. Теория функций комплексной переменной: учеб. пособие / Р. М. Жевняк, А. А. Карпук - Минск: ИРФ Обозрение, 1977. - 570 с.
. Жевняк, Р. М. Высшая математика: Операционное исчисление. Теория вероятностей. Математическая статистика. Случайные процессы: учеб. пособие / Р. М. Жевняк, А. А. Карпук. - Минск: ИРФ Обозрение, 1977. - 445с.