Лабораторная работа: Теория погрешностей скачать бесплатно

Главная страница >> Лабораторная работа >> Математика и статистика >> Теория погрешностей

Лабораторная работа: Теория погрешностей

Лабораторная работа
Теория погрешностей

Дата добавления на сайт: 04 марта 2025

Заказать курсовую работу

Заказать реферат и др.

Скачать данную работу

Лабораторная работа
Теория погрешностей
Задача 1

Дана бесконечно убывающая геометрическая прогрессия: Теория погрешностей (рис. 1)

. Определить номер Теория погрешностей (рис. 2)

первого члена этой прогрессии, для которого Теория погрешностей (рис. 3)

, и указать само значение Теория погрешностей (рис. 4)

. Используя формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, найти Теория погрешностей (рис. 5)

Затем, вычисляя частичные суммы Теория погрешностей (рис. 6)

, определить минимальное число Теория погрешностей (рис. 7)

при котором величина Теория погрешностей (рис. 8)

приближающая Теория погрешностей (рис. 9)

содержит

верных цифр.
ПОРЯДОК РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
. Задать последовательность значений Теория погрешностей (рис. 11)

с помощью формулы общего члена прогрессии.
. Решая неравенство Теория погрешностей (рис. 12)

найти номер Теория погрешностей (рис. 13)

члена этой последовательности, модуль которого меньше 1.
Вычислить само значение Теория погрешностей (рис. 14)

. Найти сумму ряда Теория погрешностей (рис. 15)

аналитически (по формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии).
. Вычислить значения частичных сумм Теория погрешностей (рис. 16)

ряда

при значениях Теория погрешностей (рис. 18)

Для каждого Теория погрешностей (рис. 19)

найти величину абсолютной погрешности Теория погрешностей (рис. 20)

и количество верных цифр в Теория погрешностей (рис. 21)

. Определить при каком минимальном значении N=M частичная сумма Теория погрешностей (рис. 22)

содержит

верных цифр.
. Вычислить относительную погрешность величины Теория погрешностей (рис. 24)

. Оформить отчет по задаче.

Задача 2

Для пакета MATHCAD найти значения машинного нуля, машинной бесконечности, машинного эпсилон.

Задача 3

Задана функция Теория погрешностей (рис. 25)

. Требуется вычислить значение функции в точке Теория погрешностей (рис. 26)

и исследовать поведение погрешностей в зависимости от погрешности аргумента.
ПОРЯДОК РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
. Раскрыть определитель и получить вид функции Теория погрешностей (рис. 27)

. Вычислить значение функции в точке Теория погрешностей (рис. 28)

.
. Произвести теоретическую оценку абсолютной погрешности функции в зависимости от погрешности аргумента Теория погрешностей (рис. 29)

по формуле Теория погрешностей (рис. 30)

. Считать, что x0 получено в результате округления по дополнению.
. Вычислить определитель матрицы при нескольких различных значениях аргумента в пределах заданной точности.
.Сравнить полученные результаты (см. ПРИЛОЖЕНИЕ 1.C).
. Найти относительную погрешность каждого результата задачи.

Приложение 1.А

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ 1
ВНИМАНИЕ! Номер варианта Теория погрешностей (рис. 31)

для лабораторных работ вычисляется по следующей формуле:
) Теория погрешностей (рис. 32)

mod (52) для групп 9-11;
) Теория погрешностей (рис. 33)

mod (50) для групп 12-14
(здесь Теория погрешностей (рис. 34)

- номер группы, а Теория погрешностей (рис. 35)

- индивидуальный номер студента по журналу).

Таблица к задаче 1.1

1.1.1

1.1.14

1.1.27

1.1.40

1.1.2

1.1.15

1.2.28

1.1.41

1.1.3

1.1.16

1.1.29

1.1.42

1.1.4

1.1.17

1.1.30

1.1.43

1.1.5

1.1.18

1.1.31

1.1.44

1.1.6

1.1.19

1.1.32

1.1.45

1.1.7

1.1.20

1.1.33

1.1.46

1.1.8

1.1.21

1.1.34

1.1.47

1.1.9

1.1.22

1.1.35

1.1.48

1.1.10

1.1.23

1.1.36

1.1.49

1.1.11

1.1.24

1.1.37

1.1.50

1.1.12

1.1.25

1.1.38

1.1.51

1.1.13

1.1.26

1.1.39

1.1.52

Таблица к задаче 1.3

1.3.1

1.3.14

1.3.27

1.3.40

1.3.2

1.3.15

1.2.28

1.3.41

1.3.3

1.3.16

1.3.29

1.3.42

1.3.4

1.3.17

1.3.30

1.3.43

1.3.5

1.3.18

1.3.31

1.3.44

1.3.6

1.3.19

1.3.32

1.3.45

1.3.7

1.3.20

1.3.33

1.3.46

1.3.8

1.3.21

1.3.34

1.3.47

1.3.9

1.3.22

1.3.35

1.3.48

1.3.10

1.3.23

1.3.36

1.3.49

1.3.11

1.3.24

1.3.37

1.3.50

1.3.12

1.3.25

1.3.38

1.3.51

1.3.13

1.3.26

1.3.39

1.3.52

Приложение 1.В

Ниже приведен фрагмент оформления содержательной части отчета по лабораторной работе 1.
Задача 1.1.0. Дана бесконечно убывающая геометрическая прогрессия: Теория погрешностей (рис. 276)

, где

. Определить номер Теория погрешностей (рис. 279)

первого члена этой прогрессии, для которого Теория погрешностей (рис. 280)

, и указать само значение Теория погрешностей (рис. 281)

. Используя формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, найти Теория погрешностей (рис. 282)

Затем, вычисляя частичные суммы Теория погрешностей (рис. 283)

при

определить минимальное число Теория погрешностей (рис. 285)

при котором величина Теория погрешностей (рис. 286)

приближающая Теория погрешностей (рис. 287)

содержит

верных цифр. Вычислить относительную погрешность величины Теория погрешностей (рис. 289)

. Аналитическое решение задачи
Воспользуемся известными формулами для геометрической прогрессии:
) Теория погрешностей (рис. 290)

-й (общий) член геометрической прогрессии имеет вид: Теория погрешностей (рис. 291)

) сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии: Теория погрешностей (рис. 292)

Номер

для которого Теория погрешностей (рис. 294)

найдём, решив неравенство:

Теория погрешностей (рис. 295)

Наименьшее целое число, удовлетворяющее последнему неравенству, равно Теория погрешностей (рис. 300)

Убедимся в том, что номер Теория погрешностей (рис. 301)

найден верно (учтем 6 знаков после запятой):
Теория погрешностей (рис. 302)

Первая часть задачи решена.
. Теоретический материал
Пусть Теория погрешностей (рис. 304)

- точное значение, Теория погрешностей (рис. 305)

- приближенное значение некоторой величины.
Теория погрешностей (рис. 306)

1) Абсолютной погрешностью приближенного значения Теория погрешностей (рис. 307)

называется величина Теория погрешностей (рис. 308)

.
) Относительной погрешностью значения Теория погрешностей (рис. 309)

(при

называется величина Теория погрешностей (рис. 311)

Так как значение Теория погрешностей (рис. 313)

(как правило) неизвестно, чаще получают оценки погрешностей вида:

Теория погрешностей (рис. 314)

При этом величины Теория погрешностей (рис. 316)

называют верхними границами (или просто границами) абсолютной и относительной погрешностей.
Теория погрешностей (рис. 318)

Значащую цифру числа Теория погрешностей (рис. 319)

называют верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы разряда, соответствующего этой цифре.
Нас интересует значение суммы Теория погрешностей (рис. 320)

бесконечно убывающей геометрической прогрессии Теория погрешностей (рис. 321)

. Приближённое значение этой суммы даёт её Теория погрешностей (рис. 322)

-ая частичная сумма Теория погрешностей (рис. 323)

Абсолютную погрешность такого приближения найдём по формуле Теория погрешностей (рис. 324)

. Результаты вычислительного эксперимента значение частичной величина абсолютной количество верных суммы ряда погрешности значащих цифр
Теория погрешностей (рис. 325)

14

Так как по условию результат должен содержать 9 верных цифр, то величина абсолютной погрешности не должна превышать значения Теория погрешностей (рис. 333)

. Для определения наименьшего значения Теория погрешностей (рис. 334)

проведем дополнительные эксперименты:

Теория погрешностей (рис. 335)

9

Наконец, вычислим относительную погрешность найденного результата: Теория погрешностей (рис. 343)

. ОТВЕТ
) номер Теория погрешностей (рис. 344)

первого из членов заданной прогрессии, для которого Теория погрешностей (рис. 345)

, равен

) при этом Теория погрешностей (рис. 347)

) сумма геометрической прогрессии, вычисленная по аналитической формуле, равна Теория погрешностей (рис. 348)

) частичная сумма Теория погрешностей (рис. 349)

дает 9 верных значащих цифр;
) относительная погрешность этого значения равна Теория погрешностей (рис. 350)

Приложение 1.С

Задача 1.3.0. Задана функция Теория погрешностей (рис. 351)

. Требуется вычислить значение функции в точке Теория погрешностей (рис. 352)

и исследовать
поведение погрешностей в зависимости от погрешности аргумента.
Пусть определитель матрицы имеет вид: Теория погрешностей (рис. 353)

. Тогда, раскрывая определитель, получим
следующий вид функции: Теория погрешностей (рис. 354)

. Вычислим определитель в точке Теория погрешностей (рис. 355)

. Для получения теоретической оценки учтем, что Теория погрешностей (рис. 357)

, то есть погрешность аргумента Теория погрешностей (рис. 358)

для данного варианта равно 0.5. Производная функции Теория погрешностей (рис. 359)

монотонно убывает, поэтому Теория погрешностей (рис. 360)

(см график).

Теория погрешностей (рис. 361)

Таким образом, теоретическая оценка получена: Теория погрешностей (рис. 364)

. Сравним теоретическую оценку с погрешностью, полученной с помощью вычислительного эксперимента.

Теория погрешностей (рис. 365)

Получено хорошее соответствие с теоретической оценкой. Заметим, что величина относительной погрешности невелика, например, в последнем эксперименте: Теория погрешностей (рис. 370)

.
погрешность аргумент прогрессия
Литература

1. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копчёнова Н.В. Вычислительные методы для инженеров. - М.: Высшая школа, 1994.

Лабораторная работа: Теория погрешностей

Лабораторная работа Теория погрешностей

Комментарии:

Лабораторная работа
Теория погрешностей