Лабораторная работа: Теория погрешностей
Лабораторная работа
Теория погрешностей
Дата добавления на сайт: 04 марта 2025
Лабораторная работа
Теория погрешностей
Задача 1
Дана бесконечно убывающая геометрическая прогрессия: . Определить номер первого члена этой прогрессии, для которого, и указать само значение . Используя формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, найти Затем, вычисляя частичные суммы , определить минимальное число при котором величина приближающая содержит верных цифр.
ПОРЯДОК РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
. Задать последовательность значений с помощью формулы общего члена прогрессии.
. Решая неравенство найти номер члена этой последовательности, модуль которого меньше 1.
Вычислить само значение
. Найти сумму ряда аналитически (по формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии).
. Вычислить значения частичных сумм ряда при значениях
Для каждого найти величину абсолютной погрешности и количество верных цифр в . Определить при каком минимальном значении N=M частичная сумма содержит верных цифр.
. Вычислить относительную погрешность величины
. Оформить отчет по задаче.
Задача 2
Для пакета MATHCAD найти значения машинного нуля, машинной бесконечности, машинного эпсилон.
Задача 3
Задана функция . Требуется вычислить значение функции в точкеи исследовать поведение погрешностей в зависимости от погрешности аргумента.
ПОРЯДОК РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
. Раскрыть определитель и получить вид функции . Вычислить значение функции в точке .
. Произвести теоретическую оценку абсолютной погрешности функции в зависимости от погрешности аргумента по формуле . Считать, что x0 получено в результате округления по дополнению.
. Вычислить определитель матрицы при нескольких различных значениях аргумента в пределах заданной точности.
.Сравнить полученные результаты (см. ПРИЛОЖЕНИЕ 1.C).
. Найти относительную погрешность каждого результата задачи.
Приложение 1.А
ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ 1
ВНИМАНИЕ! Номер варианта для лабораторных работ вычисляется по следующей формуле:
) mod (52) для групп 9-11;
) mod (50) для групп 12-14
(здесь - номер группы, а - индивидуальный номер студента по журналу).
Таблица к задаче 1.1
| |
1.1.14
1.1.27
1.1.40
1.1.15
1.2.28
1.1.41
1.1.16
1.1.29
1.1.42
1.1.17
1.1.30
1.1.43
1.1.18
1.1.31
1.1.44
1.1.19
1.1.32
1.1.45
1.1.20
1.1.33
1.1.46
1.1.21
1.1.34
1.1.47
1.1.22
1.1.35
1.1.48
1.1.23
1.1.36
1.1.49
1.1.24
1.1.37
1.1.50
1.1.25
1.1.38
1.1.51
1.1.26
1.1.39
1.1.52
Таблица к задаче 1.3
| |
1.3.15
1.2.28
1.3.41
1.3.16
1.3.29
1.3.42
1.3.17
1.3.30
1.3.43
1.3.18
1.3.31
| 1.3.44 |
1.3.19
1.3.32 1.3.45
1.3.20
1.3.33
1.3.46
1.3.21
1.3.34
1.3.47
1.3.22
1.3.35
1.3.48
1.3.36
1.3.49
1.3.24
1.3.37
1.3.50
1.3.25
1.3.38
1.3.51
1.3.39
| 1.3.52 |
Приложение 1.В
Ниже приведен фрагмент оформления содержательной части отчета по лабораторной работе 1.
Задача 1.1.0. Дана бесконечно убывающая геометрическая прогрессия: , где , . Определить номер первого члена этой прогрессии, для которого, и указать само значение . Используя формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, найти Затем, вычисляя частичные суммы при определить минимальное число при котором величина приближающая содержит верных цифр. Вычислить относительную погрешность величины
. Аналитическое решение задачи
Воспользуемся известными формулами для геометрической прогрессии:
) -й (общий) член геометрической прогрессии имеет вид:
) сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
Номер для которого найдём, решив неравенство:
Наименьшее целое число, удовлетворяющее последнему неравенству, равно
Убедимся в том, что номер найден верно (учтем 6 знаков после запятой):
Первая часть задачи решена.
. Теоретический материал
Пусть - точное значение, - приближенное значение некоторой величины.
1) Абсолютной погрешностью приближенного значения называется величина .
) Относительной погрешностью значения (при называется величина .
Так как значение (как правило) неизвестно, чаще получают оценки погрешностей вида:
При этом величины и называют верхними границами (или просто границами) абсолютной и относительной погрешностей.
Значащую цифру числа называют верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы разряда, соответствующего этой цифре.
Нас интересует значение суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии . Приближённое значение этой суммы даёт её -ая частичная сумма Абсолютную погрешность такого приближения найдём по формуле
. Результаты вычислительного эксперимента значение частичной величина абсолютной количество верных суммы ряда погрешности значащих цифр
0
1
4
14
Так как по условию результат должен содержать 9 верных цифр, то величина абсолютной погрешности не должна превышать значения . Для определения наименьшего значения проведем дополнительные эксперименты:
8
8
8
9
Наконец, вычислим относительную погрешность найденного результата:
. ОТВЕТ
) номер первого из членов заданной прогрессии, для которого, равен
) при этом
) сумма геометрической прогрессии, вычисленная по аналитической формуле, равна
) частичная сумма дает 9 верных значащих цифр;
) относительная погрешность этого значения равна
Приложение 1.С
Задача 1.3.0. Задана функция . Требуется вычислить значение функции в точкеи исследовать
поведение погрешностей в зависимости от погрешности аргумента.
Пусть определитель матрицы имеет вид: . Тогда, раскрывая определитель, получим
следующий вид функции: . Вычислим определитель в точке : . Для получения теоретической оценки учтем, что , то есть погрешность аргумента для данного варианта равно 0.5. Производная функции монотонно убывает, поэтому (см график).
Таким образом, теоретическая оценка получена: . Сравним теоретическую оценку с погрешностью, полученной с помощью вычислительного эксперимента.
,
, .
Получено хорошее соответствие с теоретической оценкой. Заметим, что величина относительной погрешности невелика, например, в последнем эксперименте: .
погрешность аргумент прогрессия
Литература
1. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копчёнова Н.В. Вычислительные методы для инженеров. - М.: Высшая школа, 1994.