Контрольная работа: Теория вероятностей и математическая статистика. Вариант № 5
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
«Теория вероятностей и математическая статистика»
Вариант № 5
Дата добавления на сайт: 04 марта 2025
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ТОРГОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
ТУЛЬСКИЙ ФИЛИАЛ
(Тульский филиал РГТЭУ)
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
«Теория вероятностей и математическая статистика»
Вариант № 5
Выполнила:
Студентка 3 курса
Заочного отделения
специальности «Бухгалтерский учет, анализ и аудит.»
Серкина И.А.
Проверил:
Глаголева Марина Олеговна
Тула 2014год
Задание №1
Бросаются два игральных кубика. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков
) равна 6;
) не превосходит 7;
) больше 7.
Решение.
Используем классическое определение вероятности . В нашем случае общее число исходов равно .
Благоприятное число исходов равно и искомая вероятность .
Благоприятное число исходов равно и искомая вероятность .
Благоприятное число исходов равно и искомая вероятность .
Задание №2
В ящике находится 7 гвоздей, 7 шурупов и 8 болтов. Наудачу выбирают две детали. Найдите вероятность того, что достали
) два болта;
) два шурупа;
) гвоздь и болт;
) болт и шуруп.
Решение.
Используем классическое определение вероятности . В нашем случае общее число исходов равно .
Благоприятное число исходов равно и искомая вероятность .
Благоприятное число исходов равно и искомая вероятность .
Благоприятное число исходов равно и искомая вероятность .
Благоприятное число исходов равно и искомая вероятность .
Задание №3
В ящике находится 7 гвоздей, 7 шурупов и 8 болтов. Наудачу выбирают три детали. Найдите вероятность того, что достали
) три болта;
) один болт и два шурупа;
) болт, гвоздь и шуруп.
Решение.
Используем классическое определение вероятности . В нашем случае общее число исходов равно .
Благоприятное число исходов равно и искомая вероятность .
Благоприятное число исходов равно и искомая вероятность .
Благоприятное число исходов равно и искомая вероятность .
Задание №4
Пассажир может приобрести билет в одной из двух касс. Вероятность обращения в первую кассу составляет 0,4, а во вторую - 0,6. Вероятность того, что к моменту прихода пассажира нужные ему билеты будут распроданы, будет равна 0,35 для первой кассы и 0,7 для второй. Пассажир посетил одну из касс и приобрел билет. Какова вероятность того, что он приобрел его во второй кассе?
Решение.
А - пассажир посетил одну из касс и приобрел билет
- пассажир посетил первую кассу,
- пассажир посетил вторую кассу,
Условные вероятности , .
Тогда по формуле полной вероятности .
Вероятность того, что пассажир приобрел билет во второй кассе находим по формуле Байеса: .
Задание №5
Производятся четыре выстрела по мишени. Вероятность попасть в цель при одном выстреле равна 0,5 . Найдите вероятность того, что
будет хотя бы одно попадание;
будет два попадания;
будет не менее трех попаданий.
Решение.
В данном случае необходимо использовать формулу Бернулли:
при .
)
)
)
Задание №6
По данным телеателье установлено, что в среднем 20% цветных телевизоров выходят из строя в течение гарантийного срока. Какова вероятность того, что из 225 проданных цветных телевизоров будут работать исправно в течение гарантийного срока:
а) 164 телевизора;
б) от 172 до 184 телевизоров?
Решение.
а) Используем локальную теорему Муавра-Лапласа:
. Тогда .
б) Используем интегральную теорему Муавра-Лапласа: тогда .
Задание №7
Задан закон распределения дискретной случайной величины Х:
| Х | 5 | 7 | 10 | 21 |
| р |
Найти:
а) математическое ожидание , дисперсию и среднее квадратическое отклонение данной случайной величины;
б) отразить математическое ожидание и СКО на многоугольнике распределения.
Решение.
Задание №8
Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины равно m=8, ее среднее квадратичное отклонение . Выполните следующие задания:
) напишите формулу функции плотности распределения вероятности и схематично постройте ее график;
) найдите вероятность того, что X примет значения из интервала .
Решение.
- формула функции плотности распределения вероятности
Задание №9
Дана выборка объемом N= 38 значений дневной выручки магазина (в тыс. руб.). На основании этих данных:
. построить интервальный статистический ряд;
. построить функцию распределения и гистограмму;
. вычислить среднее значение , среднее квадратическое отклонение S;
. получить точечные и интервальные оценки математического ожидания и дисперсии генеральной совокупности. (Доверительная вероятность равна 0,95)
. проверьте гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности по критерию Пирсона при уровне значимости .
Исходные данные:
| 19,713 | 22,441 | 18,747 | 22,470 |
| 20,531 | 16,982 | 20,895 | 17,744 |
| 19,678 | 19,212 | 23,248 | 18,388 |
| 21,814 | 18,085 | 22,692 | 17,318 |
| 22,079 | 17,861 | 19,783 | 21,060 |
| 22,072 | 19,519 | 21,954 | 20,433 |
| 16,788 | 18,320 | 22,060 | 16,595 |
| 19,225 | 20,182 | 23,155 | 19,550 |
| 22,814 | 17,332 | 19,419 | |
| 21,624 | 18,413 | 20,129 |
Решение.
Число групп определим по формуле Стэрджесса: .
Ширина интервала составит: .
Результаты группировки оформим в виде таблицы:
| Интервалы группировки | Частота |
| 16,592-17,702 | 5 |
| 17,702-18,812 | 7 |
| 18,812-19,922 | 8 |
| 19,922-21,032 | 5 |
| 21,032-22,142 | 7 |
| 22,142-23,252 | 6 |
| Сумма | 38 |
Таблица для расчета показателей.
| Интервалы | Середины интервалов, Частоты, | |||
| 16,592-17,702 | 17,147 | 5 | 85,735 | 39,31208 |
| 17,702-18,812 | 18,257 | 7 | 127,799 | 20,087452 |
| 18,812-19,922 | 19,367 | 8 | 154,936 | 2,728448 |
| 19,922-21,032 | 20,477 | 5 | 102,385 | 1,38338 |
| 21,032-22,142 | 21,587 | 7 | 151,109 | 18,735472 |
| 22,142-23,252 | 22,697 | 6 | 136,182 | 45,243096 |
| Итого | 38 | 758,146 | 127,489928 |
.
Определим дисперсию: и среднее квадратическое отклонение .
И несмещенные оценки: и .
Доверительный интервал для генерального среднего имеет вид:
Определяем значение t по таблице распределения Стьюдента tтабл (n-1;α/2) = (37;0,025) = 2,021.
и доверительный интервал имеет вид: .
Определим доверительный интервал для дисперсии.
Вероятность выхода за нижнюю границу равна P(χ2n-1 < hH) = (1-γ)/2 = (1-0,95)/2 = 0,025. Для количества степеней свободы k = 37 по таблице распределения χ2 находим: χ2(37;0,025) = 55,668.
Случайная ошибка дисперсии:
Вероятность выхода за верхнюю границу равна P(χ2n-1 ≥ hB) = 1 - P(χ2n-1 < hH) = 1 - 0,025 = 0,975. Для количества степеней свободы k = 37, по таблице распределения χ2 находим: χ2(37;0,975) = 22,106.
Случайная ошибка дисперсии: .
Тогда доверительный интервал имеет вид: .
Проверим гипотезу о том, что Х распределено по нормальному закону с помощью критерия согласия Пирсона , где pi - вероятность попадания в i-й интервал случайной величины, распределенной по гипотетическому закону
Для вычисления вероятностей pi применим формулу и таблицу функции Лапласа .
| Интервалы | ni | Ф(x1)Ф(x2)pi38piKi | ||||||
| 16,592-17,702 | 5 | -1,81 | -1,21 | -0,46 | -0,39 | 0,0766 | 2,91 | 1,5 |
| 17,702-18,812 | 7 | -1,21 | -0,61 | -0,39 | -0,23 | 0,16 | 5,92 | 0,2 |
| 18,812-19,922 | 8 | -0,61 | -0,0157 | -0,23 | -0,008 | 0,22 | 8,53 | 0,0325 |
| 19,922-21,032 | 5 | -0,0157 | 0,58 | -0,008 | 0,22 | 0,23 | 8,76 | 1,61 |
| 21,032-22,142 | 7 | 0,58 | 1,18 | 0,22 | 0,38 | 0,16 | 6,1 | 0,13 |
| 22,142-23,252 | 6 | 1,18 | 1,78 | 0,38 | 0,46 | 0,0795 | 3,02 | 2,94 |
| Сумма | 38 | 6,41 |
Определим границу критической области. Так как статистика Пирсона измеряет разницу между эмпирическим и теоретическим распределениями, то чем больше ее наблюдаемое значение Kнабл, тем сильнее довод против основной гипотезы.
Поэтому критическая область для этой статистики всегда правосторонняя: [Kкp;+∞).
Её границу Kкp = χ2(k-r-1;α) находим по таблицам распределения χ2 и заданным значениям s, k, r=2. кp = 11,345; Kнабл = 6,54
Наблюдаемое значение статистики Пирсона не попадает в критическую область, поэтому нет оснований отвергать основную гипотезу. Справедливо предположение о том, что данные выборки имеют нормальное распределение.
Задание №10
По данным, приведенным ниже:
. определить выборочный коэффициент корреляции;
. получить уравнение регрессии Y=A*X+B;
. наложить прямую регрессии на поле рассеивания.
Решение.
| X | Y |
| 0,304 | 2,518 |
| 0,135 | 2,185 |
| 0,443 | 2,413 |
| 0,883 | 3,244 |
| 0,341 | 2,481 |
| 0,681 | 2,758 |
| 0,205 | 2,204 |
| 0,346 | 2,517 |
| 0,492 | 2,495 |
| 0,161 | 2,485 |
| 0,740 | 3,053 |
| 0,670 | 2,740 |
| 0,532 | 2,507 |
| 0,192 | 2,363 |
| 0,122 | 2,189 |
| 0,036 | 2,345 |
| 0,275 | 2,497 |
| 0,160 | 2,558 |
| 0,154 | 2,358 |
| 0,110 | 2,301 |
| 0,884 | 2,836 |
| 0,149 | 2,470 |
| 0,041 | 2,058 |
| 0,826 | 2,801 |
| 0,876 | 2,939 |
| 0,959 | 3,130 |
| 0,102 | 2,366 |
| 0,377 | 2,795 |
| 0,383 | 2,740 |
| 0,862 | 3,076 |
Построим поле корреляции
С помощью метода наименьших квадратов найдем линейную зависимость между X и Y:
Для расчетов параметров a и b линейной регрессии решаем систему нормальных уравнений относительно a и b:
Строим рабочую таблицу
| Номер | х | у | х2 | ху | у2 |
| 1 | 0,304 | 2,518 | 0,092416 | 0,765472 | 6,340324 |
| 2 | 0,135 | 2,185 | 0,018225 | 0,294975 | 4,774225 |
| 3 | 0,443 | 2,413 | 0,196249 | 1,068959 | 5,822569 |
| 4 | 0,883 | 3,244 | 0,779689 | 2,864452 | 10,523536 |
| 5 | 0,341 | 2,481 | 0,116281 | 0,846021 | 6,155361 |
| 6 | 0,681 | 2,758 | 0,463761 | 1,878198 | 7,606564 |
| 7 | 0,205 | 2,204 | 0,042025 | 0,45182 | 4,857616 |
| 8 | 0,346 | 2,517 | 0,119716 | 0,870882 | 6,335289 |
| 9 | 0,492 | 2,495 | 0,242064 | 1,22754 | 6,225025 |
| 10 | 0,161 | 2,485 | 0,025921 | 0,400085 | 6,175225 |
| 11 | 0,74 | 3,053 | 0,5476 | 2,25922 | 9,320809 |
| 12 | 0,67 | 2,74 | 0,4489 | 1,8358 | 7,5076 |
| 13 | 0,532 | 2,507 | 0,283024 | 1,333724 | 6,285049 |
| 14 | 0,192 | 2,363 | 0,036864 | 0,453696 | 5,583769 |
| 15 | 0,122 | 2,189 | 0,014884 | 0,267058 | 4,791721 |
| 16 | 0,036 | 2,345 | 0,001296 | 0,08442 | 5,499025 |
| 17 | 0,275 | 2,497 | 0,075625 | 0,686675 | 6,235009 |
| 18 | 0,16 | 2,558 | 0,0256 | 0,40928 | 6,543364 |
| 19 | 0,154 | 2,358 | 0,023716 | 0,363132 | 5,560164 |
| 20 | 0,11 | 2,301 | 0,0121 | 0,25311 | 5,294601 |
| 21 | 0,884 | 2,836 | 0,781456 | 2,507024 | 8,042896 |
| 22 | 0,149 | 2,47 | 0,022201 | 0,36803 | 6,1009 |
| 23 | 0,041 | 2,058 | 0,001681 | 0,084378 | 4,235364 |
| 24 | 0,826 | 2,801 | 0,682276 | 2,313626 | 7,845601 |
| 25 | 0,876 | 2,939 | 0,767376 | 2,574564 | 8,637721 |
| 26 | 0,959 | 3,13 | 0,919681 | 3,00167 | 9,7969 |
| 27 | 0,102 | 2,366 | 0,010404 | 0,241332 | 5,597956 |
| 28 | 0,377 | 2,795 | 0,142129 | 1,053715 | 7,812025 |
| 29 | 0,383 | 2,74 | 0,146689 | 1,04942 | 7,5076 |
| 30 | 0,862 | 3,076 | 0,743044 | 2,651512 | 9,461776 |
| Сумма | 12,441 | 77,422 | 7,782893 | 34,45979 | 202,475584 |
| Среднее | 0,415 | 2,581 | 0,259 | 1,149 | 6,749 |
.
Т.е. уравнение линейно регрессии имеет вид: .
Найдем коэффициент корреляции.
,
т.е. связь между рассматриваемыми показателями положительная, тесная.