Текст работы

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФГАОУ ВПО "ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ"
Факультет естественнонаучного и математического образования
Кафедра математики, алгебры и математического анализа

КУРСОВАЯ РАБОТА
Циклические подгруппы и группы

Исполнитель: студентка 2 курса
факультета математики, информатики и физики
Щелчкова К.В.
Научный руководитель: ст. пр. Авдеева А.А.

Ростов-на-Дону

Оглавление

Введение
Теоретическая часть
§ 1. Группы. Различные определения. Примеры
§ 2. Свойства групп
§ 3. Мультипликативные циклические подгруппы и группы
§ 4. Аддитивные циклические подгруппы и группы
§ 5. Теорема Лагранжа и следствия из нее
Заключение
Литература

Введение

Данная работа посвящена рассмотрению темы "Циклические подгруппы и группы".
Теория групп - раздел общей алгебры , изучающий алгебраические структуры , называемые группами, и их свойства. Понятие группы возникло в результате формального описания симметрии и эквивалентности геометрических объектов. В эрлангенской программе Феликса Клейна изучение геометрии было связано с изфучением соответствующих групп преобразований.
Например, если заданы фигуры на плоскости , то группой движений выясняется их равенство. Одной из первых задач, приведших к возникновению теории групп, была задача получения уравнения степени m, которое имело бы корнями m корней данного уравнения степени n (m , в 1770 -1771 гг. нашёл Лагранж, и на этой почве в дальнейшем выросла теория подстановок.
Паоло Руффини в 1799 г. предложил доказательство неразрешимости уравнений пятой и высших степеней в радикалах. Для доказательства он использовал понятия теории групп, хоть и называл их другими именами. Артур Кэли и Огюстен Луи Коши стали одними из первых математиков, оценивших важность теории групп. Эти учёные также доказали некоторые важные теоремы теории.
Современное определение понятия "группа" было дано только в 1882 г. Вальтером фон Дюком . В середине XX века была проведена огромная работа по классификации всех конечных простых групп .
Целью данной работы является изучение темы "Циклические подгруппы и группы".
Задачи курсовой работы:
·Изучить и изложить элементы теории групп, подгрупп.
·Самостоятельно подобрать и выполнить упражнения практического характера.
Теоретическая часть

§ 1. Группы. Различные определения. Примеры

Определение 1. Алгебраическая система называется группой, если А - полугруппа, в которой каждый элемент имеет нейтрализующий.
Определение 2. Алгебраическая система называется группой, если бинарная операция "*" ассоциативна и обратима на множестве А.
Определение 3. Алгебраическая система называется группой, если она удовлетворяет следующим условиям:
)операция "*" ассоциативна;
2)существует нейтральный элемент е такой, что A * e = e * A = A;
3)для любого элемента а А существует обратный или нейтрализующий элемент á такой, что

а * á = á * а = е.

Определение 4. Группа называется коммутативной или абелевой, если бинарная операция "*" коммутативна на множестве А.
Определение 5. Группа называется конечной, если количество ее элементов конечно, и бесконечной, если количество ее элементов бесконечно.
Количество элементов конечной группы называется ее порядком.
Важные примеры групп:
.Полная линейная группа n-ой степени над полем Р (Р = Q, R, C).

, где GLn (P) = { (aij) n×n: det (aij) ≠0, aij P, i,j = }

2.Специальная линейная группа n-ой степени над полем Р (Р = Q, R, C).

, где SLn (R) = { (aij) n×n: det (aij) = 1, aij R, i,j = }

3.Группа кватернионов.

, где Q8 = {±1, ±i, ±j, ±k}, i2 = j2 = k2 = - 1; ij = k, ki = j, jk = i, ji = - k, ik = - j, kj = - i, конечная группа 8-го порядка.

4.Группа преобразований.
, где - множество обратимых преобразований множества А,
А ≠, "°" - суперпозиция (произведение, композиция) преобразований.
5.Группа подстановок n-ой степени или симметрическая группа подстановок n-ой степени, где Sn - множество подстановок n-ой степени.
6.Знакопеременная группа подстановок n-ой степени, где An - множество четных подстановок n-ой степени, An Sn, "°" - суперпозиция подстановок.
.Четверная группа Клейна.

,

где V = {e, a, b, c} A4 S4, A4 - знакопеременная группа подстановок 4-ой степени, S4 - симметрическая группа подстановок 4-ой степени.
8.Группа остатков по данному модулю или группа вычетов по данному модулю, или группа классов вычетов по данному модулю.

§ 2. Свойства групп

Пусть алгебраическая система - группа.
Свойство 1. Бинарная операция "*" сократима в группе:

a, b, с A из равенств a * b = a * c (1), b * a = c * a (2) => b = c (3).

Доказательство.
(1) => (3)

a * b = a * c | * a’ слева
а’ * (a * b) = a’ * (a * c) =>ассоциативность "*" (a’ * a) * b = (a’ * a) * c =>условие 3 определения группы e * b = e * c =>условие 2 определения 3 группы b = c (3).
(2) => (3)* a = c * a (2) => b = c (3)* a = c * a | * a’ справа
(b * a) * a’ = (c * a) * a’ =>ассоциативность "*" b * (a * a’) = c * (a * a’) => условие 3 определения группы b * e = c * e =>условие 2 определения 3 группы b = c (3).

Свойство 2. Нейтральный элемент единственен.
Доказательство.
Пусть е, е1 - два нейтральных элемента группы. Покажем, что е1 = е.
Пусть а = е, е1 - нейтральный элемент группы А относительно операции "*": е * е1 = е1 * е = е (1).
Пусть а = е1, е - нейтральный элемент группы А относительно операции "*": е1 * е = е * е1 = е (2)
Из подчеркнутых равенств (1) и (2) видно, что е1 = е.
Свойство 3. Нейтрализующий для каждого элемента группы единственен.
Доказательство.
Пусть a’1, a’2 - два нейтрализующих элемента для а А. Справедливы равенства:

а * a’1 = a’1 * a = е (1), a’2 * a = a * a’2 = е (2)

Из подчеркнутых равенств (1) и (2) видно, что a’1 * a = a’2 * a => a’1 = a’2 = a’.
Свойство 4. Нейтрализующий для произведения двух элементов равен "произведению" нейтрализующих для сомножителей, взятых в другом порядке: (a * b) ’ = b’ * a’.
Доказательство.
Справедливо равенство (a * b) * (b’ * a’). Действительно, в силу обобщенной ассоциативности, имеем a * (b * b’) * a’ = e свойство нейтрализующего элемента

a * e * a’ = e =>ассоциативность (a * e) * a’ = e =>свойство нейтрального элемента a * a’ = e =>свойство нейтрализующего элемента е = е.

Свойство 5. Нейтрализующий для нейтрализующего к элементу а равен самому элементу а.
Доказательство.
Справедливы равенства:

а * a’ = a’ * a = е (1) и а’ * (a’) ’ = (a’) ’ * a’ = е (2)

Из подчеркнутых равенств (1) и (2) видно, что

а * a’ = (a’) ’ * a’ =>свойство 1 группы сократимость справа (a’) ’ = a’.

Свойство 6. Уравнения a × x = b (1) и y × a = b (2) однозначно разрешимы. Иначе говоря, уравнения (1) и (2) имеют в группе единственное решение.
Доказательство.
а) Покажем, что уравнение (1) разрешимо:

а * х = b | * á слева
á * (a * x) = á * b =>ассоциативность "*" (á * a) * x = á * b =>свойство нейтрализующего e * x = á * b =>свойство нейтрального x = á * b => уравнение (1) разрешимо.

б) Покажем, что уравнение (1) однозначно разрешимо:

a * x = b | * á слева
á * (á * x) = á * b => (á * a) * x = á * b => e * x = á * b => x = á * b;
а * х = b | * á справа
(a * x) * á = b * á => a * (x * á) = b * á => a * e = b * á => x = b * á => уравнение (1) однозначно разрешимо.

§ 3. Мультипликативные циклические подгруппы и группы

Пусть А ≠ - мультипликативная группа,
Н - подмножество множества А, Н ≠.
Определение 1. - называется подгруппой мультипликативной группы А, если выполняются следующие условия:
1.Н - замкнуто относительно бинарной операции "*" а, b Н, ab H;
2.Существует еН = еА - единственный элемент относительно "°";
3.а Н существует а-1 Н.
Определение 2. Если Н = А или Н = {е}, то - называется несобственной подгруппой группы А.
Если Н А, Н - собственное подмножество множества А, то подгруппа называется собственной подгруппой группы А.
Н = А - сама группа А.
Н = {е} - единичная подгруппа.
циклическая подгруппа группа мультипликативная
Пример. Является ли , где А = {1, - 1, i, - i}, i - мнимая единица, группой?
Решение.
) Проверим условия мультипликативной группы.
"·" - бинарная ассоциативная операция на множестве А.

Таблица Кэли для "·" на множестве А.

"·"	1	-1	i	-i
1	1	-1	i	-i
-1	-1	1	-i	i
i	i	-i	-1	1
-i	-i	i	1	-1

2) еН = 1 А: а А а × 1 = 1 × а = а;
) а А а-1 А

Элемент	1	1	i	-i
Нейтрализующий элемент	1	-1	-i	i

- подгруппа.
Важным примером мультипликативных подгрупп являются так называемые мультипликативные циклические подгруппы.
Пусть - группа. Элемент е А - единичный элемент. Элемент а ≠ е, а А.
(а) - множество целых степеней элемента а: (а) = {х = аn: n Z, a A, a ≠ e}
Справедлива
Теорема 1. является подгруппой группы .
Доказательство. Проверим условия мультипликативной подгруппы.
) Н = (а) - замкнуто относительно "·":

х = аn, y = al, n,e Z, x, y Н, xy = anal = an+l H, т.к. n + l Z;
) e = 1 = a0 H, A: x H xa0 = a0x = x;
) x = a H, x-1 = a-n Н: ana-n = a-nan = a0 = 1.

Из 1) - 3) по определению Н имеем - подгруппа мультипликативной группы А.
Определение 3. Пусть - некоторая мультипликативная группа и

а ≠ е, а А.

Порядком элемента а называется наименьшее натуральное число n такое, что аn = е.
Пример. Найти порядки элементов а = - 1, b = i, c = - i мультипликативной группы А = {1; - 1; i; - i}

1: (-1) 1 = - 1, (-1) 2 = 1 = e. Следовательно,

n = 2 - порядок элемента - 1.

i: (i) 1 = i, (i) 2 = - 1, (i) 4 = 1 = e. Следовательно,

n = 4 - порядок элемента i.

i: (-i) 1 = - i, (-i) 2 = - 1, (-i) 4 = 1 = e. Следовательно,

n = 4 порядок элемента - i.
Теорема 2. Пусть - группа, а А, а ≠ е, а - элемент n-го порядка, тогда:
) Подгруппа (а) группы А имеет вид: (а) = {а0 = е, а, а2, …, аn-1} -
n - элементное множество неотрицательных степеней элемента а;
) Любая целая степень элемента аk, k Z, принадлежит множеству (а) и

ak = e k = nq, n N, q Z.

Доказательство. Покажем, что все элементы (а) различны. Предположим противное: ak = al, k > l, тогда ak-l = e. k - l ak (a). Если r = 0, то k = nq ak = e.

Определение 4. Подгруппа , где (а) = {а0 = е, а, а2, …, аn-1}, группы А, а - элемент n-го порядка, называется циклической подгруппой группы А (мультипликативной циклической подгруппой группы А).
Определение 5. Группа, совпадающая со своей подгруппой , , мультипликативной циклической подгруппой, называется циклической группой.
Теорема 3. Всякая мультипликативная циклическая группа является абелевой.
Доказательство. А = (а), а ≠ е, а - образующий элемент группы

ak, al A, ak × al = al × ak. Действительно, ak × al = ak+l = al+k = al × ak, l,k Z.

§ 4. Аддитивные циклические подгруппы и группы

Определение 1. Пусть - аддитивная группа, Н - подмножество А,
Н ≠.
называется подгруппой аддитивной группы А, если выполняются следующие условия:
) Н замкнуто относительно "+": a, b H, a + b H;
) Существует еН = еА - нулевой элемент относительно операции сложения
) а Н существует противоположный - а Н.
Пример 1.
, где Q - множество рациональных чисел, является группой рациональных чисел. Z Q, Z ≠ .
- подгруппа группы Q. Проверим выполнение условий аддитивной подгруппы:
) Z замкнуто относительно "+": a, b Z, a + b Z;
) Существует еZ = еQ = 0 - нулевой элемент относительно операции сложения;
) а Z существует противоположный - а Z.
Определение 2. Если Н = А и Н = {е}, то подгруппа называется несобственной подгруппой группы А.
Если Н А, то подгруппа называется собственной подгруппой группы А.
Пример 2.
Н1 = Q - несобственная подгруппа группы Q,
Н2 = {0} - несобственная (нулевая) подгруппа группы Q,
Н3 = Z - собственная подгруппа группы Q.
Пусть - аддитивная группа.
Через (а) обозначим множество всех кратных элементов а А, а ≠ е:

(а) = {x = na: a Z}.

Справедлива
Теорема 1. , где (а) = {x = na: a Z}, является подгруппой группы А.
Доказательство.
Проверим выполнение условий аддитивной подгруппы:
) (а) замкнуто относительно "+":

х, у (а) х + у ϵ (а).

Действительно, пусть x = na, y = la, n, l Z.

x + y = na + la = (n + l) a (a), n + l Z.

2) Существует е (а) = еА = 0 × а = 0;
) х (а) существует противоположный - х (а), x = na - x = - (na) = (-n) a (a).

Из 1) - 3) =>по определению - подгруппа группы А.

Определение 3. Пусть А - аддитивная группа, , а А, а ≠ е. Порядком элемента а называется наименьшее натуральное число n, такое что na = e, е - нулевой элемент.
Определение 4. Подгруппа группы , а - элемент n-го порядка, вида (а) = {0а, 1а, …, (n-1) а} называется аддитивной циклической подгруппой группы А, порожденной элементом а.
Определение 5. Группа , совпадающая со своей циклической подгруппой = , называется циклической группой. Элемент а называется образующим элементом группы.
Теорема 2. Всякая аддитивная циклическая подгруппа абелева.
Доказательство.

= , (a) = {na: n Z}.

na, ka (a) справедливо равенство na + ka = ka + na. Действительно,

na + ka = (n + k) a = (k + n) a = ka + na.

§ 5. Теорема Лагранжа и следствия из нее

Теорема Лагранжа. Пусть - конечная мультипликативная группа порядка n. Н - некоторая ее подгруппа порядка k. Индекс подгруппы Н в группе А и ее порядок являются делителями порядка группы. Иначе говоря, справедливо равенство: n = k×l, l = A: H, l - индекс подгруппы.
Доказательство.
Запишем левостороннее разложение группы А по подгруппе Н.

А = Н а1Н … ае-1Н,
|A| = |H| + |а1Н| + … + |ае-1Н|,
|A| = n, |H| = k, n = k + k + … + k = k×l.
l раз

Следствие 1. Порядок элемента а, а ≠ е, = n-го порядка, является делителем порядка группы.
Следствие 2. Всякая циклическая группа = простого порядка n = p имеет только две несобственные подгруппы:
Н1 = {e} - единичная подгруппа,
H2 = A - сама группа.
Следствие 3. Все циклические подгруппы циклической группы
= n-го порядка имеют вид:

Hi = {a0 = e, ad, a2d, …, a (k-1) d}, i = 1, 2, …,

где d - любой натуральный делитель порядка группы n = k×d,
k - порядок подгруппы.
Следствие 4. Все циклические подгруппы аддитивной циклической группы n-го порядка имеют вид:

Нi = {0, d, 2d, …, (k-1) d}, i = 1, 2, …,

где d - любой натуральный делитель порядка группы n = k×d, k - порядок подгруппы.
Практическая часть.
1. - группа? Если да, то является ли она коммутативной (абелевой)?
Решение.
1) Бинарная операция "-" не ассоциативна: a, b c Z

(a - b) - c ≠ a - (b - c) => не является группой,
- не группа.

2.А - множество целых чисел, кратных любому натуральному числу n относительно сложения.
Решение.

А = nZ = {x: x = nk, k Z, n N, n - фиксированное натуральное число}.
- группа?

Решение.
1)Проверим, является ли "+" бинарной операцией на множестве А.

Пусть x = nk, y = nl, k, l Z x, y A. + y = nk + nl = n (k + l) A, k + l Z =˃ "+" - бинарная операция на множестве А.

Проверим, является ли "+" ассоциативной операцией на множестве А.

x, y, z, z = np, p Z,
(x + y) + z = x + (y + z). Действительно,
(nl + nk) + np = nk + (nl + np),
n (l + k) + np = nk + n (l + p) - это равенство выполняется, т.к. "+" целых чисел - ассоциативная операция => "+" ассоциативная операция на А.

2)Существует ли нейтральный элемент относительно "+"?
х А выполняются ли равенства х + е = е + х = х?
Рассмотрим равенство х + е = х

nk + e = nk, e = 0 = n0 A.

е - существует относительно "+".
)Существует ли х` А относительно операции "+"?

х + х` = х` + х = е?

Рассмотрим равенство х + х` = е.

х` = е - nk = n0 - nk = n (0 - k) = n (-k), - k Z => х` A x A

Из 1) - 3), по определению группы, => данная система является группой, аддитивной группой.
4)Проверим, является ли группа коммутативной.
х, у А выполняется ли равенство х + у = у + х?

nk + nl = nl + nk
n (k + l) = n (l + k) - выполняется, так как "+" - коммутативная операция на Z.

Из 1) - 4) => алгебраическая система - коммутативная аддитивная группа.
3. - группа?

Q = {x: x = m/n, m Z, n N}.

Решение.
1)Проверим, является ли умножение бинарной операцией на Q.

y = k/l, k Z, l N.
xy = m/n * k/l = mk/nl Q => "·" - бинарная операция на Q.

Проверим, является ли "·" ассоциативной операцией на Q.

z = p/q, p Z, q N, x, y, z Q: x · (y · z) = (x · y) · z?
Проверка: x · (y · z) = m/k · (k/l · p/q) = m/n · kp/lq = m/n · (kp/lq) = "·" ассоциативна на Z, N (mk) p/ (nl) q = mk/nl · p/q = (m/n · k/l) · p/q = (x · y) · z.

"·" ассоциативная операция на Q => 1) условие группы выполняется.
2)Существует ли нейтральный элемент относительно "·" на Q?

x · e = e · x = x? x Q, x · e = x, e = 1 Q

3)Существует ли х' относительно операции "·" на Q?

x Q, х · х' = х' · х = е? х · х' = е = 1,х · х' = 1,х'= 1/x, x ≠ 0 => не выполняется, элемент х = 0 не имеет обратного.
- не является группой.

4. - группа? Если да, является ли она абелевой?
Решение.

1) a, b R\{0} a · b = с R\{0} => "·" - бинарная операция на множестве R\{0};
a, b, c х R\{0}, a · (b · c) = (a · b) · c => "·" - ассоциативная операция на множестве R\{0} = R*.

2)Существует ли нейтральный элемент на множестве R\{0}?

a R*, а · е = е · а = а.

Рассмотрим равенство а · е = а, е = 1 R\{0} => существует е R\{0}.
3)Существуют нейтрализующий элемент а'?

a R*. а' · а = а' · а = е = 1, а' = 1/а = х-1 ϵ R\{0}.
Из 1) - 3) => - группа.

4.Найти порядок a = (1243) S4
S4 - симметрическая группа подстановок 4 - ой степени.
an = e, n - натуральное.

a = ≠ e,2 = * = ≠ e,3 = * = ≠ e,4 = * = = e,4 = e, n = 4 - порядок группы.
5.S3 = {0 = e, 1, 2, …, 5}
1 = n = - ?, n = 1, 1 ≠ e, n = 2
12 = = = 2.
2 = n = e- ?, n = 1 - ?, 2 ≠ e, n = 2
22 = * = = e.

Заключение

В заключении своей курсовой работы хочу подвести итог. Работа выполнена согласно методическому плану. Цели и задачи курсовой работы достигнуты. Учебные вопросы, предположенные к раскрытию темы "Циклические подгруппы и группы" отработаны. Теоретическая часть написана с помощью анализа учебной литературы, приведены примеры, иллюстрирующие теоретический материал.
Тема "Циклические подгруппы и группы" в настоящее время является актуальной, т.к. теория групп - один из разделов общей алгебры.
Литература

1.Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть 1. Основы алгебры: учебник для вузов. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.
2.Ильин В.А., Ким Г.Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: учебник - М.: ТК Велби, издательство Проспект, 2007.
.Нечаев И.В. Задачник-практикум по алгебре. - М.: Просвещение, 1983.
.Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
.Курош А.Г. Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1977.
.Глухов М.М., Солодовников А.С. Задачник-практикум по высшей алгебре. - М.: Просвещение, 1993.
.Щипачев B. C. Основы высшей математики.4-е изд., стереотип. - М.: Высш. шк., 2001.
.А.М. Кондрашов. Сборник зачетных заданий по линейной алгебре. Часть 1. - Кр-ск, РИО КГПУ, 2001.
.Л.Я. Окунев. Высшая алгебра. - М.: Просвещение, 1966.
.Ф.Л. Варнаховский, А.С. Солодовников. Алгебра. Часть 1 и 2. - М.: Просвещение, 1978.