Курсовая работа: Властивості множин потужності континуум
Теорія множин - це абстрактно-теоретична наука про множини довільної природи. Синонімом «множини» є «сукупність», «набір», «клас» тощо.
Дата добавления на сайт: 08 февраля 2025
Властивості множин потужності континуум
1.Проблеми теорії множин
Теорія множин - це абстрактно-теоретична наука про множини довільної природи. Синонімом «множини» є «сукупність», «набір», «клас» тощо. У працях Кантора було викладено теорію так званих трансфінітних кардинальних чисел. Ця теорія грунтується на систематичному використанні математичного поняття актуальної нескінченності, у зв'язку з чим учений зробив спробу створити математичний апарат для опису актуально нескінченних множин. Стосовно інших математиків, то якщо вони й говорили про нескінченність, то лише як про потенційну, що може стати меншою чи більшою за будь-яку задану величину, але яка водночас сама завжди лишається величиною скінченною, будь-якою «величезною» величиною. Інакше кажучи, потенційна нескінченність - це процес, який ніколи не буде завершений (а з незавершеного важко зробити щось завершене, придатне для чогось практичного).
У теорії Кантора найважливішим є те, що на операції з множинами й підмножинами не накладається жодних обмежень, зумовлених природою об'єктів, які входять до складу множин. У такому разі поняття теорії множин наближуються до понять математичної логіки.
Проте у теорії множин було виявлено ряд недоліків, названих парадоксами, або антиноміями (нерозв'язними суперечностями). Розглянемо, чим були викликані ці суперечності.
Зазвичай сама множина не є одним із своїх елементів. Наприклад, елементи множини всіх письменників - не множини, а конкретні індивідуальності. Зрозуміло, що сама множина не може належати до числа власних елементів. Множина письменників не є письменником. Щоправда, часто трапляються такі множини, елементами яких є також множини. Наприклад, в армії основними структурними елементами батальйону є роти, тобто певні множини солдат. Якщо рота є структурним елементом батальйону, то кожний такий елемент - множина. Проте множину (батальйон) не можна віднести до її власних елементів. Об'єднавши в одну множину всі можливі множини, маємо щось дивне: множину, яка є власним елементом.
Математики в такій ситуації вважають, що упорядкована множина не може мати таку «абсурдну» властивість, оскільки упорядкованою називають множину лише в тому разі, якщо вона не є елементом самої себе. З'ясуємо, чи може множина всіх упорядкованих множин бути упорядкованою.
Якщо подібна множина упорядкована, вона має перебувати в одному ряді з іншими упорядкованими множинами, тобто бути серед власних елементів. Але тоді вона перестає бути множиною всіх упорядкованих множин. Щоб не загубитися серед множин, така множина має бути неупорядкованою. Припустімо, що таке можливо. Тоді, якщо множина всіх упорядкованих множин не є упорядкованою, її не можна віднести до розряду своїх елементів - упорядкованих множин. Але саме в цьому разі множину називають упорядкованою.
Виникло замкнене коло: якщо множина упорядкована, то вона неупорядкована, а якщо вона неупорядкована, то вона упорядкована. Однак якщо теорія множин помилкова, то в математиці не залишається нічого бездоганного. Це і так, і не так. Відомий угорський математик другої половини XX ст. Роза Петер указує на неможливість повністю зашпарувати те, що з'явилося в математичній будові після такого сильного струсу. Проте немає підстав для негативних висновків. Це - парадокс, але парадокс, який можна пояснити. Одна з найвідоміших проблем канторової теорії множин пов'язана з так званою гіпотезою континууму (континуум-гіпотезою).
Якщо елементи двох множин можна поставити парами так, щоб жоден елемент якоїсь із множин не залишився! без пари, то вважається, що ці дві множини мають однакову потужність. Розглянемо приклад. Натуральні числа є лише частиною множини раціональних чисел.
Це зрозуміло. Погано зрозуміло інше, а саме: потужність множини всіх раціональних чисел дорівнює потужності множини всіх натуральних чисел. Подібний феномен пояснюється тим, що логічні принципи й поняття спираються не стільки на досвід і спостереження, скільки на свої внутрішні закони, яким байдуже, що частина дорівнює цілому або «якщо 2 + 2 = 4, то крокодили літають дуже низько». Наближаючись до розгляду континуум-гіпотези, звернемося до множини всіх дійсних чисел. Ці числа розміщені на числовій прямій неперервно й нібито злипаються. Тому потужність множини дійсних чисел називають потужністю континууму, де під словом «континуум» розуміють неперервність.
Відносно нескінченних потужностей можна сформулювати запитання: чи існує для кожної потужності така потужність, що виникає безпосередньо за нею? Так, існує.. Для цього ствердження Кантор узагальнив поняття звичайного числа й дістав поняття трансфінітного числа - числа, що виходить за межі скінченного. Трансфінітні числа (нескінченні множини) поводяться, як і натуральні. Найменшою нескінченною потужністю; є потужність множини натуральних чисел. Щодо прірви між зчисленною й континуальною нескінченностями зазначимо, що між будь-якими сусідніми числами натурального ряду є безліч точок числової прямої. Отже, прірва між зчисленною множиною та континуумом безмежна. Стосовно існування в такій прірві проміжних нескінченностей Кантор вважав, що нескінченних множин із проміжною потужністю не існує. Проблема існування нескінченних множин із проміжною потужністю називається проблемою континууму, і пов'язана вона з питанням про так звану аксіому вибору. Виникненню такої аксіоми передували вихідні положення канторової теорії множин, які не задовольняли одну з основних вимог математичної логіки - несуперечність системи аксіом, про що свідчать виявлені в ній суперечності. Вихід із цієї ситуації вчені побачили в побудові такої аксіоматики, яка давала б усе, що треба, і нічого зайвого. І таку аксіоматику було побудовано. Вона дістала назву системи аксіом Цермело-Френкеля, на честь таких відомих учених, як Е.Цермело (1871- 1953) та А. А. Френкель (1891- 1965). Для успішної боротьби з суперечностями ці автори ввели спеціальну «обмежувальну» аксіому, яка забороняла існування множин, що зумовлюють нерозв'язні суперечності. Дана аксіома підтвердила погляди Кантора щодо відсутності проміжних потужностей між зчисленною множиною та континуумом.
На запитання стосовно суперечності чи несуперечності аксіоми вибору іншим вихідним аксіомам теорії множин відповів австрійський математик К. Гедель (1906- 1978). Він показав, що, приймаючи істинність континуум-гіпотези, у теорію множин неможливо ввести ніяких суперечностей.
Отже, річ у виборі аксіом. З часом аксіоматичний метод у теоретичних науках рішучіше просувався вперед.
2.Потужність континууму
множина теорема математика
Про множини, рівнопотужні множині дійсних чисел [або дійсних чисел з інтервалу (0, 1)] кажуть, що вони мають потужність континуума, і потужність таких множин позначається символом c. Континуум-гіпотеза стверджує, що с=
. Означення.Потужність множини (0, 1) називається потужністю континууму. Потужність континууму позначається ℵ1 (алеф-один). Потужність континуума - це потужність множини дійсних чисел R, тобто cardR = ℵ1, тому що існує бієкція (0, 1) → R. Наприклад. Множина всіх точок Rn з раціональними або алгебраїчними координатами зліченна, тому що її кардинальне число дорівнює ℵ0 n = ℵ0, а множина всіх точок R n з дійсними координатами незліченна і дорівнює континууму. Наприклад. Множина комплексних чисел має потужність континуум, через те що вона рівнопотужна R 2 : ℵ1 2 = ℵ1.
Будь-який векторний простір скінченного числа вимірів n над полем дійсних чисел або комплексних чисел має потужність континуум. Множина всіх дійсних функцій дійсних змінних має потужність, яка є строго більшою за потужність континуума, тому що її потужність дорівнює 1 1 ℵ ℵ , а 1 1 ℵ ℵ = 0 1 2( ) ℵ ℵ = 10 2 ℵℵ = = 1 2 ℵ > ℵ1.
Континуум-гіпотеза
При дослідженні потужностей нескінченних множин був встановлений той факт, що множина кардинальних чисел є лінійно впорядкованою. Лінійна впорядкованість означає, що для кожного кардинального числа існує кардинальне число, яке безпосередньо слідує за ним. ℵ0 є найменшим трансфінітним числом. Але нічого невідомо про те, яке трансфінітне число є наступним за ℵ0. Існує тільки припущення, яке називається континуум-гіпотезою. Континуум-гіпотеза. Кардинальне число 0 2 ℵ безпосередньо слідує за ℵ0. Це означає, що ℵ0m для яких ck = 0.
Щоб визначити розклад числа
, досить вказати, на яких місцях стоять нулі (бо на інших місцях стоять одиниці). Нехай для числа нулі будуть на місцях з номерами k1, k2, … , ki , … Ці числа утворюють послідовність натуральних чисел k1 k1, k3 = k2 + n3 > k2, ... Отже, числа k1, k2, … , ki, …утворюють послідовність вигляду (1). Встановлена взаємно однозначна відповідність вказує на те, що {( n1, n2, … , ni, …)} …{( k1 a. Виникає питання, чи буде c першою потужністю, більшою від a, тобто чи існує потужність, яка знаходиться між a i c. Це питання становить так звану континуум проблему. Ця проблема не розв`язана до цього часу, хоч вважають, що такої потужності немає. (Це твердження приймається як аксіома континууму). Теорема 9. Декартовий добуток скінченої або зчисленної кількості множин потужності континуум має потужність континуум.Доведення. Нехай А=
, де card An=с, для кожного n. тобто . Оскільки card An=с, n=1, 2,... маємо, що для кожного n=1, 2,...(згідно з попередньою властивістю). Тоді будь-якому однозначно відповідає послідовність натуральних чисел, а набору (a1,…,ak,…) множина котру можна розташувати у послідовність за зростанням суми індексів. Таким чином, елементу (a1,…,ak,…) множини А взаємно-однозначно відповідає елемент множини В.Отже А~В, що й треба було довести.
Приклад. Rn має потужність континуум.
6.Множини, потужність яких є вищою за потужність континуум
Розглянемо множину Af, яка містить все можливі функції
. Оскільки R~[0;1], то розглядатимемо множину Af функцій f:[0;1] . Припустимо, що Af - множина потужності континуум. Тоді Af~[0;1] . Позначимо елемент f є Af, що відповідає t, через ft.Розглянемо далі таку функцію:
тобто
Покладемо тепер x=t0. У результаті отримаємо , тобто 1=0. Одержане протиріччя доводить, що множина все можливих дійсно значних функцій дійсного аргументу має потужність більшу за континуум.Означення 2.5.1.Величина називається дискретною, якщо вона приймає скінчену або зліченну кількість значень. У протилежному випадку величина називається неперервною.
Приклад 2.5.1. Множина ірраціональних чисел має потужність континуум.
Порівняння потужностей.
Теорема 1.(характеристична властивість нескінчених множин).
Множин А є нескінченою тоді і тільки тоді, коли вона є еквівалентною деякій своїй підмножині, що не збігається з множиною А.
Означення . Нехай |A|=α і |B|=β. Будемо говорити, що α< β, якщо A~ B’ і B’⊂B, але множина А не є еквівалентною множині В.
Зауваження. Якщо А⊂В, то завжди
.Теорема 2. (Кантора-Берштейна).
Якщо
.Теорема 3. Потужність довільної зчисленної множини є найменшою з потужностей нескінченних множин.
Доведення. Розглянемо нескінченну множину А, потужність якої дорівнює
. Завжди існує зчисленна підмножина В множини А, причому А не є еквівалентною множині В. Тому. Оскільки В⊂А і В не еквівалентно А |B|<|A|.Потужність довільної зчисленної множини позначимо через æ, а потужність континуум через С.
Зауваження. æ<c.
Теорема 3. Розглянемо довільне натуральне число nєN. Тоді n< æ.
Доведення. Розглянемо множину
Отже, n< æ.
Теорема 4. Для довільної множини потужність множини всіх підмножин є більшою за власну потужність самої множини.
Доведення. Позначимо через В(А) - буліан множини А (множина всіх підмножин множини А).
Потужність булана В(А) дорівнює 2|A| , тобто |B(A)|= 2|A|. Із теореми 2.6.6. випливає цікавий факт теорії множин, пов’язаний з терміном «множина всіх множин».
Парадокс Кантора Нехай М - «множина всіх множин». Тоді за теоремою 2.6.6. |B(M)|<|M|. Але ж множина М є «найширшою» з усіх можливих множин. Отже, найбільшою множини немає.
Е = { множини, які не є елементами самих себе} = {x| (x - множина)^(
. Дана рівність не визначає множину. Дана аномалія є відомою під назвою парадокс Рассела.7.Арифметика потужності континууму
Ми вже мали для потужності континууму С формули С + С + С + … + С + … = С (1) і С *
(2) Тепер до них можна приєднати нові формули. Для цього спочатку покажемо справедливість твердження: Множина елементів занумерованих скінченними або зчисленними послідовностями дійсних чисел, має потужність не вищу за потужність континууму. Справді, всякий такий елемент визначається точкою P(x1, x2, x3, …) простору скінченного або зчисленного числа вимірів так, що двом різним елементам відповідають різні точки P. Тому множина елементів e відображається на весь простір або на частину простору скінченного або зчисленного числа вимірів. І оскільки множина точок простору має потужність континууму, то множина елементів , відображаючись на весь або на частину цього простору, має потужність не вищу за потужність континууму. Ми вже дали означення добутку двох потужностей.Нехай A є множина всіх дійсних чисел x, A = {x}, і нехай B є множина всіх дійсних чисел y, B = {y}. Тоді множина M усіх пар (x, y) дійсних чисел x та y має, згідно з цим означенням, потужність, рівну добуткові потужностей C*C, тобто C2. Але, з іншого боку, всяка пара (x, y) дійсних чисел x та y відповідає точці P(x, y) площини. І оскільки множина всіх точок площини має потужніст континууму, то маємо: C * C = C2 = C. (3) Через те, що C3 = C2 * C = C * C = C і далі C4 = C3 * C = C * C = C і так далі, то взагалі Cn = C (4) де, n є натуральне число. Розширимо тепер поняття добутку потужностей. Нехай M1, M2, M3, …, Mn, … є скінченна або зчисленна послідовність яких-небудь множин, що мають потужності відповідно
Нехай en є довільний елемент, що належить до множини Mn. Послідовність елементів e = (e1, e2, e3, …, en, …) можна розглядати як новий предмет, і, значить, із цих нових предметів можна скласти якусь множину M, що є сукупністю всіх таких предметів e. Ми можемо визначити потужність і множини M як добуток потужностей і написати рівнсть . Нехай тепер кожна з потужностей дорівнює потужності континууму, тобто . В цьому випадку за множину Mn ми можемо взяти множину всіх дійсних чисел . Тому елемент e = (e1, e2, e3, …, en, …) можна позначити у вигляді дійсних чисел (x1, x2, x3, …, xn, …). Інакше кажучи, множина M елементів e є не що інше, як множина всіх точок P зчисленно вимірного простору. А оскільки вона має потужність континууму, то звідси виводимо формули: C * C * C … C … = C (5) або . (6)Література
1. Р.Курант, Г.Роббинс, Что такое математика? Глава II, § 4.
. М. М. Лузін, Теорія функцій дійсної змінної, Розділ І, §7
. Факультативный курс по математике. 7-9 / Сост. И. Л. Никольская. - М : Просвещение, 1991. - С. 109-110. - ISBN 5-09-001287-3.
. І. М. Фішман, Основи теорії фукцій дійсної змінної, Розділ ІІ, §14.
. П. Дж. Коэн, Теория множеств и континуум-гипотеза, Глава IV, § 8.
. М. М. Лузін, Теорія функцій дійсної змінної, Розділ І, §10
. А. А. Болибрух, Проблемы Гильберта (100 лет спустя), Глава 2 Первая проблема Гильберта: континуум-гипотеза, Библиотека «Математическое просвещение», Выпуск