Курсовая работа: Застосування формули Тейлора
Математичний аналіз один з найважливіших розділів математики, він включає дві основні частини: диференціальне і інтегральне числення. Математичний аналіз виник приблизно в XVIII столітті.
Дата добавления на сайт: 19 февраля 2025
ЗМІСТ
ВСТУП
. ЖИТТЯ ВЕЛИКОГО МАТЕМАТИКА
. МНОГОЧЛЕН ТЕЙЛОРА
. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА ДЛЯ ФУНКЦІЇ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
.1 Тейлорова формула із залишковим членом у формі Пеано
.2 Тейлорова формула із залишковим членом у Лагранжовій формі
.3 Тейлорова формула для многочлена
.4 Тейлорова формула в диференціальній формі
.5 Формула Тейлора із залишковим членом в інтегральній формі
. РОЗВИНЕННЯ ДЕЯКИХ ЕЛЕМЕНТАРНИХ ФУНКЦІЙ ЗА ФОРМУЛОЮ ТЕЙЛОРА
.1 Формула f(x) = ex
.2 Функція f(x) = sin x
.3Функція f(x) = cos x
.4 Логарифмічна функція f(x)=ln(1+х)
.5 Степенева функція f(x)=(1+x)α
. ЗАСТОСУВАННЯ ФОРМУЛИ ТЕЙЛОРА
ВИСНОВОК
СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ
ДОДАТКИ
ВСТУП
Математичний аналіз один з найважливіших розділів математики, він включає дві основні частини: диференціальне і інтегральне числення. Математичний аналіз виник приблизно в XVIII столітті.
Розділ математичного аналізу, в якому вивчається похідні і диференціали функції і і застосування до дослідження функцій, називається диференціальним численням. Оформлення цього розділу в окрему дисципліну пов\'язаний з іменами І. Ньютона і Г. Лейбніца. Вони сформулювали основні положення диференціального числення і чітко вказали на взаємно обернений характер операції диференціювання і інтеграції. Створення цього розділу відкрило нову епоху в розвитку математики.
Диференціальне числення відіграє величезну роль в математичному аналізі. Тому так поважно вивчити формули диференціального числення.
Метою даної роботи є вивчення можливостей практичного вживання формули Тейлора.
Завдання: вивести Тейлорову формулу-потужний математичний інструмент дослідження функцій, обчислення границі і наближеного обчислення значень функцій,навчитися застосовувати на практиці, а також розглянути приклади розкладання елементарних функцій по формулі.
Об’єкт: дослідження функцій і кривих ліній.
Предмет: застосування формули Тейлора.
1. ЖИТТЯ ВЕЛИКОГО МАТЕМАТИКА
Брук Тейлор (англійський математик) народився 18 серпня 1685р. у селі Едмонтон в графстві Мідлсекс, у восьми милях від Лондона. Його дід користувався увагою з боку Кромвеля, батько був шталмейстером. Хлопчик отримав прекрасне виховання, загальне, а також художнє і музичне .
У 1701 році, коли Тейлору виповнилося 15 років, він поступив в Кембріджський університет, в коледж Сент-Джон. Якраз в цей час Ньютон остаточно розлучився з Кембриджем, але, звичайно, залишався кумиром молодих математиків. До них приєднався з самої своєї появи в Кембріджі і молодій Брук Тейлор.
У 1709 році Тейлор отримав ступінь бакалавра, а в 1714 році ступінь доктора права. Незалежно від цього він вивчав математику.
До 1712 року в його активі числиться вже два мемуари: \"Про центр коливань\" і \" Про підйом води між двома площинами\". Статті Тейлора були визнані настільки цінними, що в тому ж році його обрали членом Королівського суспільства.
У 1714р. Тейлор представив cуспільству рукопис своєї книги \"Метод приростів пряма і обернена\". У 1716 р. Тейлор зробив поїздку до Парижа. Увага з боку вчених, знаки пошани, цікаві знайомства в Парижі - все це справило гарне враження на Тейлора. Але рокова \"хвороба століття\"-перехід від природних наук до теології і містики оволоділа і Тейлором. У 1718 р. він йде з посади секретаря Королівського суспільства, щоб звільнити час для філософської роботи.
У 1721р. Тейлор одружувався, що викликало розрив з батьком. Щастя, куплене такою дорогою ціною, виявилося неміцним. У 1723р. Тейлор втрачає дружину і дитину. У 1725р. він знову одружується - вже при повному схваленні батька. Але щастя і цього разу не прийшло до Тейлора: у 1730 р. дружина померла при пологах. Правда залишилася дівчинка, але Тейлор був безутішний в своєму горі. Його здоров\'я різко погіршувалося і більше не відновлювалося.
29 грудня 1731р. він помер і був похоронений в Лондоні.
Досягнення в математиці:
Відомий тим, що його ім\'ям названа загальна формула розкладання функції в степеневий ряд. Тейлор започаткував математичне вивчення задачі про коливання струни. Йому належать заслуги в розробці теорії кінцевих різниць. Тейлор також автор робіт про перспективу, центр гойдання, взаємодію магнітів, капілярності, зчеплення між рідинами і твердими тілами [посилання 1].
2. МНОГОЧЛЕН ТЕЙЛОРА
Відомо, що найбільш простими функціями в сенсі обчислення є многочлени. Виникає питання про можливість заміни функції f в околі точки x0 многочленом певної міри.
З визначення диференціювання функції f в точці x0 випливає, що якщо= f (x) диференційована в точці x 0, то її приріст можна представити у вигляді
∆f ( x 0 )= f ′(x 0 ) ∆x + о( x),
f(x)=f(x 0 )+f ′(x 0 )(x- x 0 )+о(x- x 0 ).
Іншими словами існує многочлен першого ступеня
P1(x)=f(x0)+b1 (x-x0), (1)
такий що при x → x0
f(x)=P1(x)+о(x-x0),
причому P1(x) задовольняє такі умови: P1(x0)=f(x0), P′(x0)=b1=f ′(x0).
Поставимо більш загальну задачу. Нехай функція, визначена в деякій околі точки x0 має в цій точці n похідних f ′(x0), f ′′ (x 0 ), f ′′′( x 0 )... f (n)( x 0).
Потрібно з’ясувати, чи існує многочлен Pn(x) ступеня не вище n такий, що
f (x) = Pn (x )+ o( x - x0 )
Знайдемо многочлен ступеня не вище n (запис якого аналогічна (1))
Pn (x) = b0 + b1 (x - x 0) + b2 (x - x0)2 + ... + bn(x - x0)n, (2)
за умови, що значення многочлена Pn (x) і всіх його похідних до n-го порядку включно в точці x0 збігаються зі значеннями функції f (x) та її відповідних похідних в тій же точці:
f(x0)=Pn(x0), f ′(x0)=Pn(x0), …, f(n)(x0)=Pn(n)(x0). (3)
Визначимо коефіцієнти b0, b1, ..., bn , так щоб вони задовольняли умови (3). Для цього попередньо обчислимо похідні Pn(x):
Pn′(x)=b1+2b2(x-x0)+3b3(x-x0)2+…+nbn(x-x0)n-1n′′(x)=2∙1b2+3∙2b3(x-x0)2+…+n(n-1)bn (x-x0)n-2 (4)‴(x)=3∙2b3+…+n(n-1)(n-2)bn (x-x0)n-3
……………………………………………………(n)(x)=n(n-1)(n-2) ∙∙∙2∙1b
Підставляючи в ліві частини рівностей (2) і (3) замість х значення x0 отримаємо значення всіх коефіцієнтів bi:
f(x0)=Pn(x0)=b0, b0=f(x0)
f ′(x0)=Pn′(x0)=b1 , b1=f ′(x0)
f ″(x0)=Pn″(x0)=2∙1∙b2 , b2= f″(x0) (5)
f‴(x0)=Pn‴(x0)=3∙2∙1∙b3 , b3=f‴(x0)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
f(n)(x0)=Pn(n)(x0)=n!bn , bn= f(n)(x0)
Факторіалом числа n називається добуток послідовних натуральних чисел, починаючи з 1 до n включно 1∙2∙3∙… ∙(n-1)n і позначається
n!=1∙2∙3∙… ∙(n-1)n.
Зауваження! За домовленістю 0!=1.
Тепер можемо підставити отримані значення коефіцієнтів у рівність (2), і отримаємо многочлен виду
Pn(x) = f(x0) + ( x-x0)+ (x-x0)2 +…+ (x-x0)n,
який називається многочленом Тейлора за степенями ( x-x0) функції f (x) [посилання 2].
3. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА ДЛЯ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
Позначимо через Rn(x) різницю значень даної функції f(x) і побудованого многочлена Pn(x): Rn(x)=f(x)- Pn(x) (додаток 1).
Звідси f(x)= Rn(x)+Pn(x), а в більш розгорнутій формі має вигляд:
Pn(x) = f(x0) + (x -x0)+(x-x0)2 +…+(x-x0)n + Rn(x) (6)
Функція (6) називається формулою Тейлора, а Rn(x) називається залишковим членом формули Тейлора [посилання 3].
Залишковий член формули Тейлора Rn(x) визначає похибку наближення функції f(x) її многочленом Рп(х).
Якщо вважати, що залишок Rn(x) малий, то його можна відкинути без великої погрішності; при цьому виходить наближена формула
Pn(x) ≈ f(x0) + ( x-x0) + (x-x0)2 +…+ (x-x0)n,
яка дає можливість для наближеного знаходження значень функцій f(x).
.1 Тейлорова формула із залишковим членом у формі Пеано
Доведемо, що
Rn(x)=o(x-x0)п ↔ = 0.
Згідно з визначенням многочлена P n(x) випливає, що
Rn (x0) = Rn′ (x0) = Rn″(x0) =…= Rn(n)(x0) = 0.
Для обчислення границі застосуємо правило Лопіталя n разів і отримаємо:
= =…= =
== 0
тобто Rn (x) = o(x-x0)n при x→x0, оскільки Rn (x) - величина вищого порядку , чим (х - х0)п .■ Таким чином доведена теорема.
Теорема 1.
Якщо функція y=f(x) означена на інтервалі (a, b) і п разів диференційована в околі точки х0, то правдива формула
f(x) = f(x0) + (x-x0) + (x-x0)2 +…+ (x-x0) n +o(x-x0)n
або можемо записати у скороченій формі
f(x) = (x-x0) k+ o(x-x0)n, x→x0, (7)
де Rn (x) = o(x-x0)n -залишковий член у формулі Пеано [посилання 4].
Формула із залишковим членом у формі Пеано носить локальний характер і тому її праву частину називають асимптотичним представленням функції f в околі точки x0. Цю формулу можна використовувати для наближених обчислень значень функції f в точках, наближених до точки x0, оскільки відомий порядок погрішності Rn(x) .
Відзначимо також, що формула (7) вельми ефективна при відшуканні меж функцій.
Якщо в Тейлоровій формулі покласти х0=0, дістанемо її окремий випадок - формулу Тейлора - Маклорена , яка є асимптотичним представленням функції f в околі 0.
f(x) = f(0) + x + x 2 +…+ x n + o(x)n
f(x) = xk + o(xn). (8)
Ми отримали так звану формулу Маклорена із залишковим членом у формі Лагранжа.
Слід зазначити, що при розкладанні функції в ряд, вживання формули Маклорена переважає, чим вживання безпосередньо формули Тейлора, оскільки обчислення значень похідних в нулі простіше, ніж в якій-небудь іншій точці, звичайно, за умови, що ці похідні існують.
.2.Тейлорова формула із залишковим членом у Лагранжовій формі
Існують різні форми запису залишкового члена Rn (x) Тейлорової формули. У наближених обчисленнях зручною є Лагранжова форма залишкового члену.
Теорема 2.
Якщо функція y = f(x) означена й (n+1) разів диференційована в околі точки х0, то виконується формула
f(x) = f(x0) + ( x-x0) + (x-x0)2 +…+ (x-x0) n+ Rn(x),
де Rn(x) =(x-x0)n+1-залишковий член у Лагранжовій формі.
Доведення теореми 2 див. (додаток 2).
.3 Тейлорова формула для многочлена
Нехай задано многочлен
Pn(x)=b0+b1x+…+bnxn.
Для будь-якого х0 цей многочлен можна зобразити як суму степенів різниці
х-х0 , узятих з деякими коефіцієнтами. Покладемо
х=х0+t
Тоді Pn(x)=Pn(x 0+t)=b0+b1(x0+t)+…+bn(x0+t)n.
Розкриваючи у правій частині дужки і групуючи подібні члени, одержимо
Pn(x)=A0+A1t+A2t2+…+Antn
Pn(x)=A0+A1(x-x0)+A2(x-x0)2+…+An(x-x0)n.
Вираз справа - буде Тейлоровим многочленом за степенями (х-х0) для многочлена Pn(x) степеня п. Отже,
Ak = , k = 0, n; Rn(x) = 0;(x) = Pn (x0) + ( x-x0) + (x-x0)2 +…+ (x-x0)n.
.4 Тейлорова формула в диференціальній формі
Покладаючи х - х0 = ∆ х, х = х0 + ∆ х у Тейлоровій формулі
f(x) = f(x0) + ( x-x0) + (x-x0)2 +…+ (x-x0) n+ Rn(x),(x0 +∆х) = f(x0) + ∆х + ∆х 2 +…+ ∆х n+ Rn(x).
Оскільки
f(x0 +∆х) - f(x0)= ∆ f(x0),
f(n) (x0) ∆xn =dn f(x0),
то Тейлорову формулу п-го порядку функції f можна записати у диференціальній формі
∆f(x0)=df(x0) + + + . . .+ + Rn(x).
.5 Формула Тейлора із залишковим членом в інтегральній формі
Теорема 3.
Нехай функція f має безперервну похідну (п+1)-го порядку в інтервалі
(х0-h, x0+h), де h>0. Тоді залишковий член Rn для x є (x0-h, x0+h) може бути записаним в вигляді:
Rn (x )= (9)
Формула (9) називається залишковим членом формули Тейлора в інтегральній формі.
Доведення теореми 3 див. (додаток 3).
4. РОЗВИНЕННЯ ДЕЯКИХ ЕЛЕМЕНТАРНИХ ФУНКЦІЙ ЗА ФОРМУЛОЙ ТЕЙЛОРА
Вживання формули Тейлора для розкладання функцій в степеневий ряд широко використовується і має величезне значення при проведенні різних математичних розрахунків. Безпосереднє обчислення інтегралів деяких функцій може бути зв\'язане із значними труднощами, а заміна функції степеневим рядом дозволяє значно спростити завдання. Знаходження значень тригонометричних, зворотних тригонометричних, логарифмічних функцій також може бути зведене до знаходження значень відповідних многочленів.
Якщо при розкладанні в ряд взяти достатню кількість доданків, то значення функції може бути знайдене з будь-якою наперед заданою точністю. Практично можна сказати, що для знаходження значення будь-якої функції з розумною мірою точності (передбачається, що точність, яка перевищує 10 - 20 знаків після десяткової коми, необхідна дуже рідко) достатньо 4-10 члени розкладання в ряд.
Знайдемо розклад за формулою Тейлора при х0=0 (точніше за формулою Маклорена) функцій ех, sin x, cos x, ln(1+x), (1+x)a [посилання 5].
.1 Розвинення функції f(x) = ex
Функція f(x) = eх, що нескінченно диференційована на R. Знайдемо послідовні похідні від функції f(x) = eх :
f(x) = eх, f(0)=1,
f′ ′(x) = eх f′ ′(0) =1,
…………. ……………
f (n)(x) = eх f (n)(0) =1,
f (n+1)(x) = eх f (n+1)(Ѳx) =eѲx,
Підставляючи одержані значення f(0), f′ ′(0),…, f (n)(0), f (n+1)(Ѳx)у формулу Тейлора-Маклорена із залишковим членом у Лагранжовій формі, дістаємо
ex=1+x+
Rn(x)=
де 0
. Електронний ресурс: «Формула Тейлора»:
. Електронний ресурс: «Остаток в формуле Тейлора и его оценка»:
. О.І.Соколенко. Вища математика: підручник - Київ: Видавничий центр «Академія», 2003.-430с.
. Шкіль М.І. Математичний аналіз: В 2ч.-К.:Вища шк. Головне вид-во, 1981.-Ч.2-455с.
ДОДАТОК 1.
у
х
Як видно з малюнка Rп ( x ) має погрішність, що виникає при заміні функції
у = f ( x ) многочленом Pп ( x ). Для значень х з околу точки x0 , для яких погрішність Rп ( x ) досить мала, многочлен Pп (x) дає наближене представлення функції.
ДОДАТОК 2.
Доведення теореми 2.
Вимагатимемо, щоб функція f мала похідну (n+1) -го порядку в околі точки x0. Розгляньмо функцію g(x)=(x - x0)n+1 . Очевидно, що
g(x0) = g′(x0) = …= g(n)(x0) = 0,
g(n+1)(x0) = (n+1)! ≠ 0.
Застосуймо до функції Rn(x) та g(x) = (x - x0)n+1 теорему Коші. Тоді на підставі умови
R′n(x0) = R″n(x0) = …= Rn(n)(x0) = 0
=
де c1 ϵ (x0 , x); c2 ϵ (x0 ,c1) , … , cn ϵ (x0, cn-1) ; ξ ϵ (x0 , cn).
Отже, показано, що
ξ ϵ (x0 , х).
З урахуванням того, що
g(x) = (x - x0)n+1 ,
g(n+1) (ξ) = (n+!)!,
Rn(n)(ξ) = f (n+1) (ξ),
дістаємо залишковий член у Лагранжовій формі
Rn( x) = (x - x0)n+1 , ξ ϵ (x0 , х).
Оскілки ξ ϵ (x0 , х), то ξ можна зобразити у вигляді
ξ = x0 + (x - x0) , 0< < 1,
тобто залишковий член у Лагранжовій формі можна записати у вигляді
Rn(x) = (x - x0)n+1.
ДОДАТОК 3.
Доведення теореми 3.
Так як f(x) - f(x0) =
то, інтегруючи за частинами, отримаємо
f(x) - f(x0) = --f (t) (x-t)|xx0 + =
= f ′(x0)(x-x0) +
Нехай для деякого m ≤ n вже доведено, що
f(x) - f(x0)= (x-x0)k + (9)
Інтегруючи за частинами останній доданок, бачимо, що
= - =
= - |xx0 +
= (x - x0)m + .
Підставляючи цей вираз в (9) , отримуємо ту ж саму формулу з заміною m на m+1 . Таким чином, формула (9) доведена по індукції для всіх m ≤ n. При т=п вона приводиться до співвідношення (8).