Главная
Добавить работу на сайт
Регистрация
  
Главная страница >> Контрольная работа >> Математика и статистика >> Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування

Контрольная работа: Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування

Зміст
Вступ
. Iнтегральна нерiвність Бiхарi
. Застосування інтегро-сумарних нерівностей типу Біхарі
Висновки
Список використаної літератури


Дата добавления на сайт: 23 февраля 2025
Заказать курсовую работу
Заказать реферат и др.
Скачать данную работу

Контрольна робота
на тему: Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування

Зміст

Вступ
. Iнтегральна нерiвність Бiхарi
. Застосування інтегро-сумарних нерівностей типу Біхарі
Висновки
Список використаної літератури

Вступ

Нерівності широко застосовуються в усіх галузях математики, оскільки виражають важливі закономірності, властиві об’єктам, що вивчаються в математиці, механіці, фізиці, економіці та інших науках (при цьому роль нерівностей не менша, ніж роль рівнянь) і, крім того, є ефективним засобом математичних досліджень і доведень. Протягом останніх років теорія нерівностей сформувалась у самостійну математичну дисципліну.
Теорія інтегральних нерівностей бере свій початок з праці Т. Гронуолла, опублікованої в 1919 році, а також досліджень С.А. Чаплигіна, проведених у той же час, по створенню нового методу наближеного інтегрування диференціальних рівнянь, праць учених Т. Важевського, М. В. Азбелєва, З.Б. Цалюка, В.М. Алексеєва, Б.Н. Бабкіна, Н.Н. Лузіна, В.М. Матросова, Р. Беллмана та багатьох інших, які з’ясували, обґрунтували та поширили у своїх працях межі застосування теорем типа теореми Чаплигіна, та заклали основи для ефективного використання апарату інтегральних нерівностей для отримання та побудови алгоритмів якісного аналізу реальних фізичних процесів.
Розвитку теорії багатовимірних інтегральних нерівностей, який почався у 60-х роках минулого століття, присвячені праці багатьох учених, серед яких: R.P. Agarwal, Akinyele Olusola, P.R. Beesack, R. Bellman, K.L. Cooke, A. Corduneanu, V. Lakshmikantham, S. Leela, S.G. Hristova, D.D. Bainov, B.G. Pachpatte, P.S. Simeonov, С.С. Yeh, W. Walter, Р. Гутовськи, А.А. Мартинюк, З.Б. Цалюк, О.М. Філатов, Л.В. Шарова.
Стрімкий розвиток теорії диференціальних рівнянь з імпульсним збуренням, закладений у працях М.М. Крилова, М.М. Боголюбова, Ю.О. Митропольского, А.М. Самойленка, М.О. Перестюка, їх послідовників та учнів М.У. Ахмедова, О.А. Бойчука, В.Г. Самойленка, В.Е. Слюсарчука та багатьох інших, викликав необхідність розробки методу інтегральних нерівностей для розривних функцій, оскільки математичною моделлю багатьох фізичних та технічних процесів з миттєвими збуреннями є системи диференціальних рівнянь з імпульсними збуреннями
При дослідженні різноманітних властивостей (існування, єдиність, неперервна залежність від початкових умов, стійкість, залежність від параметра і т.д.) розв’язків систем диференціальних рівнянь з імпульсними збуреннями, задача часто зводиться до знаходження оцінки розривних функцій, які задовольняють інтегральним нерівностям.
Успіх дослідження пов’язаний з отриманням оцінки функції, яка задовольняє інтегральній нерівності, через відомі функції та параметри, які входять у нерівність.
Першою фундаментальною працею, в якій були розглянуті інтегральні нерівності для розривних функцій та їх застосування, є монографія А.М. Самойленка та М.О. Перестюка. В цій праці отримано узагальнення результатів Гронуолла-Беллмана та Біхарі на випадок розривних функцій, що дозволило встановити умови стійкості, асимптотичної стійкості розв’язків систем диференціальних рівнянь з імпульсним збуренням. Питанням існування та єдиності розв’язків диференціальних рівнянь з імпульсним збуренням присвячені праці В.E. Слюсарчука. Подальший розвиток теорії інтегральних нерівностей для розривних функцій та їх застосувань, а саме - узагальнення вже існуючих результатів на випадок розривних функцій багатьох змінних, пов’язаний з працями С.Д. Борисенка, в яких отримані: нерівності, що містять кратні інтеграли для розривних функцій, інтегро-сумарні функціональні нерівності Вендрофа, доведені теореми методу Біхарі для розривних скалярних функцій від векторного аргументу. Однак всі ці результати отримані тільки для випадку, коли функція має скінчені розриви тільки у фіксованих точках простору.
Метою даної роботи є вивчення теорії інтегральних нерівностей для неперервних і розривних функцій та її застосування.
1. Iнтегральна нерiвність Бiхарi

Лема 1. Нехай невiд’ємна, кусково-неперервна на J = [t0, ∞[ функцiя V (t) з розривами першого роду в точках {ti}: t1 0. Тодi для V (t) справедливi такi оцiнки:

Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 4),(2)
Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 5),(3)

Лема 2. Нехай невiд’ємна, кусково-неперервна на J = [t0, ∞[ функцiя W(t) з розривами першого роду в точках {ti}: t1 0, p(t) і 0, p(t) Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 9) C(J), βi > 0, m, n > 0, m ≠1, Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 10)(t) неспадна на J. Тодi W(t) задовольняє такi оцiнки:
Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 11)(5)
Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 12)(6)
Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 13)(7)

Доведення. Очевидно, для 0 1, n і 1аналогічна.
Розглянемо систему диференцiальних рiвнянь вигляду

Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 18)(8)

де A(u), B - постiйнi (n × n)-матрицi; u - деякий параметр, u Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 19)D Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 20) R m Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 21) R n (m≤ n), D - деяка обмежена область, A(u) Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 22) C1 (D), A - матриця, записана в канонiчнiй формi.
Послiдовнiсть моментiв {ti} така, що ti → ∞ при i → ∞ i

Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 23).

Розв’язок x(t, u) системи (8) у загальному випадку є кусково-неперервною функцiєю з розривами 1-го роду при t = ti, причому

Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 24)(9)

Для всіх Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 25) і

Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 26)Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 27)(10)

Будемо припускати, що (9), (10) виконанi для всiх u з областi D Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 28) Rm i функцiя x(t,u) неперервна за t злiва в точцi ti, тобто

Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 29)Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 30)(11)
Разом iз системою (8) розглянемо систему збуреного руху

Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 31)(12)

Тут Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 32)
Нехай Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 33), де δ(t) - монотонно спадна функцiя Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 34) t > t0, причому iснує скiнченна границя

Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 35)(13)

Припустимо, що матриця B + E невироджена, а послiдовнiсть моментiв часу {ti}, в яких вiдбувається миттєве збурення, задовольняє умову [1]

Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 36)(14)

Нехай також знайдеться постiйна η така, що

Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 37)(15)

Позначимо через x(t, u) розв’язок системи (8), який при t = t0дорiвнює x0 для всiх u Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 38) D.
Тодi

Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 39)
При Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 40).
Якщо γ (u) = max Re λk (A(u)), де λk - власнi числа матрицi A(u), то справедлива оцінка (аналогiчно з результатами [1-3])

Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 41)(16)

Тут ε1 - довiльне як завгодно мале число. Тодi

Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 42)

де α2= maxλj[(E + B)T(E + B)];
(E + B)T - транспонована матриця; i(t0,t) - кiлькiсть точок {ti} на iнтервалi J = [t0,t[.
На пiдставi (14) отримаємо оцiнку

Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 43)(17)
Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 44)

Нехай Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 45) - розв’язок системи

Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 46)(18)
який обертається в Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 47) при t = t0. Тодi справедлива оцінка

Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 48)(19)

Враховуючи (19), можна вважати, що для всiх u Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 49) D для матрицанту Ω(t, t0) системи (18) виконується нерiвнiсть

Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 50)

Тодi, якщо X(t, t0) - матриця Кошi системи (12), маємо

Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 51)(20)

Оскiльки будь-який розв’язок x∗(t) (x∗(t0) = x∗0=Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 52) = x0) системи (12) має вигляд x∗(t) = X(t, t0)x0, то з (20) отримаємо Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 53), як тільки

Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 54)(21)

Розглянемо систему вигляду

Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 55)(22)
Теорема 1. Припустимо, що для системи (22) справджуються такi умови:
1) Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 56)
) Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 57)
) Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 58)
) Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 59)
) Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 60)
) Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 61)
) Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 62)
) Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 63)
) Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 64).
Тодi тривiальний розв’язок системи (22):) асимптотично стiйкий;) рiвномiрно вiдносно t0 асимптотично стiйкий, якщо π(t0), p∗(t0) не залежать вiд t0.
Доведення. Для довiльного розв’язку системи (22) справедливе зображення [2]

Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 65)(23)

На пiдставi леми 1 отримуємо

Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 66)

Враховуючи умови теореми, маємо

Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 67).

Теорема 2. Припустимо, що для системи (22) справджуються такi умови:
) 1-5 теореми 1;
) Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 68)
)Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 69)
) Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 70)
) Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 71)
) Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 72)
) Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 73).
Таким чином, на пiдставi вищевикладеного можна зробити такi висновки:
) при n = 1 та φ(t) = const результат леми 2 збiгається з вiдповiдними результатами робiт [4, теорема 3.1.2, с. 176; 5, теорема 3.1.2, c. 176];
) при 0 1 з результату леми 2 випливає результат роботи [6];
) при P (t, x) = P (t)x, де P (t): ||P (t)|| ≤ C = const < ∞ та Ii(x) = Ii − const (n×n)-матрицi, з результату теореми 1 як наслiдок отримуємо теорему 4.2.4 [4, с. 268];
) результат теореми 2 узагальнює вiдповiднi дослiдження [1-8] iмпульсних нелiнiйних систем за лiнiйним наближенням.

2. Застосування інтегро-сумарних нерівностей типу Біхарі

Лема Гронуолла-Беллмана. Нехай функції Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 74) і Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 75)- неперевні при Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 76), Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 77) - стала і при Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 78) виконується нерівність

Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 79).(2.1)

Тоді при Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 80) справедлива нерівність

Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 81).(2.2)

Доведення. Помножимо обидві частини нерівності (2.1) на Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 82)

Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 83)
і позначимо Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 84). Тоді з останньої нерівності отримаємо

Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 85).
Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 86), то Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 87), Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 88).
Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 89).(2.3)

Використовуючи, (2.1) і (2.3) отримаємо (2.2). Лема доведена.
Розглянемо систему звичайних диференціальних рівнянь

Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 90) (Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 91) - незбурений розвўязок), Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 92).(4.4)

Проводимо лінеаризацію системи диференціальних рівнянь (2.4) в околі точки Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 93)

Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 94), Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 95),(2.5)
Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 96), Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 97).

Стійкість системи диференціальних рівнянь (2.4) в деяких випадках можна проаналізувати за допомогою дослідження стійкості лінеаризованої системи (2.5). Припустимо, що

Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 98), Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 99),(2.6)
де постійна Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 100) в достатньо малому околі нуля Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 101).
Теорема 1. Якщо фундаментальна матриця Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 102) однорідної системи при будь-якому Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 103) і Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 104) задовольняє нерівність

Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 105)(2.7)

з додатними і незалежними від Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 106) константами Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 107) і Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 108), то незбурений розвўязок Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 109) асимптотично стійкий при будь-якому виборі функції Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 110), яка задовольняє умові (2.2), якщо Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 111), причому для будь-якого розв'язку Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 112) системи лінійних звичайних диференціальних рівнянь (2.4) для якого Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 113) виконується нерівність

Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 114) при Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 115).(2.8)

Доведення. Запишемо розвўязок системи звичайних диференціальних рівнянь (2.5) у вигляді

Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 116).
Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 117),
Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 118).
Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 119).
Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 120), Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 121), Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 122), Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 123).
Тоді, згідно леми

Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 124).

Теорема доведена.
Розглянемо автономну систему звичайних диференціальних рівнянь

Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 125).(2.9)

Лінеаризуємо систему (2.9) (Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 126), Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 127))

Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 128).Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 129)(2.10)

Критерій стійкості автономної системи за першим наближенням:
а) Якщо корені характеристичного рівняння (2.1) задовольняють умові Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 130), Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 131), то незбурений розвўязок Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 132) системи диференціальних рівнянь (2.9) асимптотично стійкий;
б) Якщо серед коренів характеристичного рівняння (2.1) знайдеться хоча б один з додатною дійсною частиною, то незбурений розвўязок Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 133) системи диференціальних рівнянь (2.9) нестійкий;
в) Якщо лінійна система стійка, тобто серед коренів характеристичного рівняння (2.1) знайдуться деякі з нульовими дійсними частинами, то незбурений розвўязок Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 134) системи диференціальних рівнянь (2.9) може бути як стійкий так і не стійкий.
Приклад Дослідити на стійкість незбурений розвўязок x=y=0 системи

Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 135),Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 136).
Розв'язання. Розглянемо два підходи, які описані вище.

Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 137), Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 138).

Згідно критерію система стійка.
Знайдемо фундаментальну матрицю. Загальний розвўязок системи має вигляд

Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 139).

Тоді фундаментальну матрицю запишемо таким чином

Інтегро-сумарні нерівності типу Біхарі та їх застосування (рис. 140).

Оскільки ця матриця обмежена, то незбурений розвўязок x=y=0 є стійким.

Висновки

У даній роботі вивчено теорію інтегральних нерівностей для неперервних і розривних функцій та її застосування.
У роботi розглядається новий аналог леми Гронуолла-Беллмана-Бiхарi для нелiнiйних iнтегро-сумарних нерiвностей, що узагальнює результати робiт [1-6]. Поширено метод “заморожування коефiцiєнтiв” для iмпульсних систем диференцiальних рiвнянь з видiленим лiнiйним наближенням та нелiнiйностями нелiпшицевого типу, що входять у праву частину збуреної системи. Отримано новi достатнi умови асимптотичної стiйкостi (рiвномiрної) тривiального розв’язку систем диференцiальних рiвнянь при параметричному та нелiпшицевому типi iмпульсного збурення.
Проаналізувавши результати наукових досліджень, які отримані в теорії інтегральних нерівностей для розривних функцій, можна зробити висновок, що вони найбільш повно представлені у випадку, коли функції мають розриви у фіксованих точках простору. При цьому залишається відкритим питання знаходження оцінок для функцій багатьох змінних, які мають скінченні розриви різноманітного характеру на деяких заданих кривих або на заданих поверхнях.

Список використаної літератури

1. Самойленко А.М., Перестюк Н.А. Устойчивость решений дифференциальных уравнений с импуль-сным воздействием // Дифференц. уравнения. - 1977. - 13. - С. 1981-1992.
. Самойленко А.М., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. - Киев: Изд-во Киев. ун-та, 1980. - 80 с.
. Самойленко А. М., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. - Киев: Вища шк., 1987. - 287 с.
. Самойленко А.М., Борисенко С. Д., Матараццо Дж. та iн. Диференцiальнi моделi (стiйкiсть). - Київ: Вища шк., 2000. - 330 с.
. Samoilenko A. M., Borysenko S. D., Cattani C. et al. Differential models: stability, inequalities and esti-mates. - Kyiv: Naukova Dumka, 2001. - 328 p.
. Борисенко Д.С., Галло А., Тоскано Р. Iнтегральнi нерiвностi Гронуолла-Беллмана-Бiхарi для розривних функцiй та оцiнки розв’язкiв iмпульсних систем // Вiсн. Київ. ун-ту. Сер. фiз.-мат. науки. - 2005. - № 4. - С. 60-66.
. Борисенко С.С. Iнтегро-функцiональнi нерiвностi типу Беллмана-Бiхарi для розривних функцiй та їх застосування // Доп. НАН України. - 2009. - № 9. - С. 18-26.
. Borysenko S. On some generalizations Bellman-Bihari result for integro-functional inequalities for disconti-nuous functions and their applications // Nonlinear analysis and application 2009: Materials of the Inter. Scientific Conf. (Kyiv, April 2-4, 2009). - Kyiv: NTUU “KPI”, 2009. - P. 83.

Комментарии:

Вы не можете оставлять комментарии. Пожалуйста, зарегистрируйтесь.
▲ ▼