Текст работы

“Согласовано”	“Утверждено”
Преподаватель Джежеря Ю.И. ___________	Методист ____________________

План-конспект занятия
По теоретической физике
Студента V курса физико-математического факультета, гр. ОФ-61
Филатова Александра Сергеевича
Дата проведения занятия: 06.12.2000
Тема: «Функция Гамильтона. Функция Рауса. Канонические уравнения»
Цели: Развить у учащихся навык решения задач на составление и использование функции Гамильтона и функции Рауса. Сформировать понимание взаимосвязи между функцией Гамильтона, Рауса и функцией Лагранжа. Закрепить знание свойств функции Лагранжа. Воспитывать трудолюбие, прилежность.
Тип занятия: практическое.
Ход занятия
Краткие теоретические сведения
Функция Гамильтона: GOTOBUTTON ZEqnNum927853 \* MERGEFORMAT MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1)
Функция Рауса: MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 2)
Канонические уравнения: MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 3)
Схема составления функции Гамильтона
Как следует из определения функции Гамильтона GOTOBUTTON ZEqnNum507589 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum507589 \! \* MERGEFORMAT (1) для составления самой функции необходимо знать вид функции Лагранжа. Однако при подстановке функции Лагранжа в явном виде в выражение GOTOBUTTON ZEqnNum414529 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum414529 \! \* MERGEFORMAT (1) в правой части будут присутствовать переменные . А мы знаем, что функция Гамильтона зависит только от . Т.о. необходимо установить связь . Эту зависимость нам дает определение обобщенных импульсов:

Итак, при решении задач на нахождение функции Гамильтона, когда вид функции кин. энергии не известен, что является самым общим случаем, вид функции Гамильтона необходимо искать опираясь на ее определение. Т.е. через функцию Лагранжа. При этом нужно следовать следующей схеме:
Записать функцию Лагранжа, при возможности преобразовав ее к более простому виду (это в частном случае подразумевает выбор новых обобщенных координат).

Определить зависимость

Записать саму функцию Гамильтона

MACROBUTTON MTEditEquationSection Equation Section 1.1 SEQ MTEqn \r \h \* MERGEFORMAT SEQ MTSec \r 1.1 \h \* MERGEFORMAT Примеры решения задач
№10.3 [ REF _Ref500583825 \r \h 4] Определить функцию Гамильтона ангармонического осциллятора, функция Лагранжа которого:
MACROBUTTON MTEditEquationSection Equation Section 1 SEQ MTEqn \r \h \* MERGEFORMAT SEQ MTSec \r 1 \h \* MERGEFORMAT MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1)
Решение:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 2)
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 3)
Откуда
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 4)
Подставляя полученное выражение в GOTOBUTTON ZEqnNum734251 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum734251 \! \* MERGEFORMAT (1.2), имеем:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 5) MACROBUTTON MTEditEquationSection Equation Section (Next) SEQ MTEqn \r \h \* MERGEFORMAT SEQ MTSec \h \* MERGEFORMAT
right203200O
X
Y
Z


00O
X
Y
Z


№49.8 [ REF _Ref500651457 \r \h 5] Материальная точка массы т подвешена с помощью стержня длины к плоскому шарниру, горизонтальная ось которого вращается вокруг вертикали с постоянной угловой скоростью . Составить а) функцию Гамильтона и б) канонические уравнения движения. Массу стержня не учитывать.
Решение:

а) 1. Действуя согласно предлагаемой схеме составления функции Гамильтона, определим функцию Лагранжа системы:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1)
Где . Поскольку функция Лагранжа определена с точностью до аддитивной константы, либо постоянного множителя, перепишем GOTOBUTTON ZEqnNum896587 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum896587 \! \* MERGEFORMAT (2.1) в виде:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 2)
Согласно выбранной системе координат:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 3)
Учитывая, что – по условию, получим выражение для функции Лагранжа с новой обобщенной координатой :

Или
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 4)
2. Найдем зависимость обобщенной скорости от обобщенного импульса системы. По определению обобщенных импульсов:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 5)
3. Следовательно, функция Гамильтона:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 6)
б) Используя формулы GOTOBUTTON ZEqnNum299833 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum299833 \! \* MERGEFORMAT (3), найдем уравнения движения системы:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 7)
В частности, представляет интерес случай, когда , т.е. шарик движется в горизонтальной плоскости, описывая окружность. Логично предположить, что такое движение будет выполняться лишь при некотором фиксированном угле , значение которого как-то зависит от параметров системы. Найдем эту зависимость. Для этого заметим, что во втором уравнении системы GOTOBUTTON ZEqnNum479794 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum479794 \! \* MERGEFORMAT (2.7) левая часть будет равна нулю:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 8)
Откуда:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 9)
Первое уравнение дает тривиальное решение , что соответствует просто провисанию шарика - материальной точки. Т.о. условие движения маятника в плоскости есть:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 10)
Где – собственная частота колебаний маятника. Более того, выражение GOTOBUTTON ZEqnNum217972 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum217972 \! \* MERGEFORMAT (2.10) дает зависимость угла отклонения, обуславливающего движение в плоскости, от частоты вращения вертикальной оси, и собственной частоты маятника. Т.о., чтобы добиться устойчивого вращения в плоскости при желаемом угле отклонения, необходимо подбирать отношение между собственной частотой (которая определяется длинной стержня) и частотой вращения оси. Заметим также, что значение угла в этом случае не зависит от массы маятника. При значении частоты вращения вертикальной оси, превышающим значение собственной частоты маятника, второе уравнение системы GOTOBUTTON ZEqnNum663960 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum663960 \! \* MERGEFORMAT (2.9) решений не имеет. Но работает первое уравнение, из которого . Т.е. маятник будет провисать.
MACROBUTTON MTEditEquationSection Equation Section (Next) SEQ MTEqn \r \h \* MERGEFORMAT SEQ MTSec \h \* MERGEFORMAT
№9.5 [ REF _Ref500658853 \r \h 3] Найти траекторию одномерного гармонического осциллятора в фазовом пространстве.
Решение:
Фазовым пространством называется такое 2s-мерное пространство, по осям которого откладываются s импульсов и s координат. (s – число степеней свободы). Изменение состояния системы соответствует непрерывной линии – траектории движения системы в фазовом пространстве.
Функция Гамильтона гармонического осциллятора имеет вид:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 3. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1)
Из закона сохранения энергии получим уравнение фазовой траектории гармонического осциллятора:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 3. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 2)
Т.е. траекторией является эллипс.

MACROBUTTON MTEditEquationSection Equation Section (Next) SEQ MTEqn \r \h \* MERGEFORMAT SEQ MTSec \h \* MERGEFORMAT №10.4 [ REF _Ref500583825 \r \h 4] Найти закон движения частицы, функция Гамильтона которой:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 4. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1)
Решение:
Закон движения частицы дают функции:
, MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 4. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 2)
вид которых можно получить исходя из уравнений Гамильтона GOTOBUTTON ZEqnNum985082 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum985082 \! \* MERGEFORMAT (3). Поделив 1-ое уравнение на 2-ое получим:
,
откуда

Интегрируя, получим:

MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 4. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 3)
Выражая отсюда и приравнивая его к значению из уравнения Гамильтона, получим:
, MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 4. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 4)
где
Или после интегрирования:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 4. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 5)
Подставляя полученную зависимость в выражение GOTOBUTTON ZEqnNum578808 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum578808 \! \* MERGEFORMAT (4.3), получим:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 4. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 6) MACROBUTTON MTEditEquationSection Equation Section (Next) SEQ MTEqn \r \h \* MERGEFORMAT SEQ MTSec \h \* MERGEFORMAT
Задача №1. Математический маятник массы т прикреплен к движущейся вдоль горизонтальной прямой муфте, масса которой М. Определить функцию Рауса системы.
Решение:
Составим функцию Лагранжа:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 5. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1)
Где .
Координату х можно представить в виде суммы:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 5. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 2)
Где х1 – координата муфты (координата лабораторной системы отсчета), а х2 – координата смещения шарика мат. маятника в системе отсчета муфты.
Из выражения GOTOBUTTON ZEqnNum458410 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum458410 \! \* MERGEFORMAT (5.2) следует:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 5. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 3)
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 5. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 4)
Имеем:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 5. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 5)
Заметим, что х1 – циклическая переменная.
Найдем обобщенный импульс :
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 5. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 6)
Откуда:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 5. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 7)
Следовательно, по определению GOTOBUTTON ZEqnNum922619 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum922619 \! \* MERGEFORMAT (2) функция Рауса с учетом выражения GOTOBUTTON ZEqnNum254996 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum254996 \! \* MERGEFORMAT (5.6):
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 5. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 8)
Подставляя в последнее выражение зависимость GOTOBUTTON ZEqnNum528471 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum528471 \! \* MERGEFORMAT (5.7), окончательно получим:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 5. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 9)
Запишем уравнение связи импульса с функцией Рауса:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 5. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 10)
Но поскольку х1 не входит в функцию Рауса явно, то правая часть записанного равенства есть ноль. Т.е. импульс в процессе движения остается постоянным. Следовательно, функция Рауса фактически зависит только от 2-х независимых переменных: . MACROBUTTON MTEditEquationSection Equation Section (Next) SEQ MTEqn \r \h \* MERGEFORMAT SEQ MTSec \h \* MERGEFORMAT
Задача №2. Определить функцию Рауса симметричного волчка в поле .
Решение:
Используем известное нам значение функции Лагранжа для симметричного волчка:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 6. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1)
По определению обобщенных импульсов:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 6. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 2)
Откуда
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 6. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 3)
Следовательно, по определению GOTOBUTTON ZEqnNum922619 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum922619 \! \* MERGEFORMAT (2) функция Рауса с учетом выражения GOTOBUTTON ZEqnNum185945 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum185945 \! \* MERGEFORMAT (6.3):
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 6. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 4) MACROBUTTON MTEditEquationSection Equation Section (Next) SEQ MTEqn \r \h \* MERGEFORMAT SEQ MTSec \h \* MERGEFORMAT
Домашнее задание:
Задача№1. Исходя из функции Гамильтона для гармонического осциллятора, получить закон движения гармонического осциллятора.
№49.7 [ REF _Ref500651457 \r \h \* MERGEFORMAT 5]
№10.5 [ REF _Ref500583825 \r \h 4] Найти уравнения движения частицы, функция Гамильтона которой: .
Указание: получить .
Литература:
Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц «Механика, электродинамика», - М.: «Наука», 1969 г., - 272 с.
Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц «Механика», - М.: «Наука», 1965 г., - 204 с.
И.И. Ольховский, Ю.Г. Павленко, Л.С. Кузьменков «Задачи по теоретической механике для физиков», - М.: 1977 г., - 389 с.
Г.Л. Коткин, В.Г. Сербо «Сборник задач по теоретической механике», - М.: «Наука», 1977 г., - 320 с.
И.В. Мещерский «Сборник задач по теоретической механике», - М.: «Наука», 1986 г., - 448 с.
Л.П. Гречко, В.И. Сугаков, О.Ф. Томасевич, А.М. Федоренко «Сборник задач по теоретической физике», - М.: «Высшая школа» 1984 г., - 319 с.
Студент-практикант: Филатов А.С.