Лабораторная работа: Решение алгебраических и трансцендентных уравнений
Лабораторная работа
Решение алгебраических и трансцендентных уравнений
Дата добавления на сайт: 03 марта 2025
Лабораторная работа
Решение алгебраических и трансцендентных уравнений
Задание. Для каждого уравнения отделить корни
а) табулированием;
б) графически.
. Уточнить один корень одного из уравнений с точностью e=0.01 методами половинного деления и простых итераций, а так же одним из следующих методов (по указанию преподавателя):
а) хорд
б) касательных
в) секущих
Решение: а) графически;
Чтобы отделить корни уравнения графическим методом, необходимо построить график функции и посмотреть, в каких точках график пересекает ось х. Эти точки будут являться корнями уравнения.
На графике видно, что корень уравнения находится на интервале (1; 2)
На этом графике видно что На графике видно, что корни уравнения находится на интервалах (-3; - 2), (-1; 0), (0; 1), (1; 2).
Для дальнейшего отделения корней необходимо воспользоваться методом табулирования.
Метод половинного деления
В этом методе вычисляется значение функции путём подстановки некоторого значения , смещающегося при каждой итерации на определённый шаг (не более ), в уравнение. В дальнейшем строится таблица, с помощью которой можно определить интервалы залегания корня.
По алгоритму представленному выше мы можем найти интервалы, на которых находятся корни уравнения.
Для функции
| x | F(x) |
| 1 | -0,41 |
| 1,1 | -0,31 |
| 1,2 | -0,21 |
| 1,3 | -0,10 |
| 1,4 | 0,02 |
| 1,5 | 0,15 |
| 1,6 | 0,28 |
| 1,7 | 0,42 |
| 1,8 | 0,57 |
| 1,9 | 0,71 |
| 2 | 0,86 |
Из таблицы мы видим, что корень уравнения залегает на интервале [1,3; 1,4].
Для функции
| -3 | 28 | -1 | -12 | 0 | 1 | 1 | -4 | |||
| -2,9 | 14,7083 | -0,9 | -9,6677 | 0,1 | 0,8843 | 1,1 | -3,8037 | |||
| -2,8 | 3,5088 | -0,8 | -7,4992 | 0,2 | 0,5568 | 1,2 | -3,1472 | |||
| -2,7 | -5,7797 | -0,7 | -5,5317 | 0,3 | 0,0523 | 1,3 | -1,9237 | |||
| -2,6 | -13,331 | -0,6 | -3,7952 | 0,4 | -0,5872 | 1,4 | -0,0192 | |||
| -2,5 | -19,313 | -0,5 | -2,3125 | 0,5 | -1,3125 | 1,5 | 2,6875 | |||
| -2,4 | -23,883 | -0,4 | -1,0992 | 0,6 | -2,0672 | 1,6 | 6,3248 | |||
| -2,3 | -27,196 | -0,3 | -0,1637 | 0,7 | -2,7877 | 1,7 | 11,0283 | |||
| -2,2 | -29,395 | -0,2 | 0,4928 | 0,8 | -3,4032 | 1,8 | 16,9408 | |||
| -2,1 | -30,62 | -0,1 | 0,8763 | 0,9 | -3,8357 | 1,9 | 24,2123 | |||
| -2 | -31 | 0 | 1 | 1 | -4 | 2 | 33 |
Из этих таблиц видим что корни залегают на интервалах [-2,8; - 2,9], [-0,3; - 0,2], [0.3; 0,4], [1,4; - 1,5]. (Для уточнения взят интервал [-0,3; - 0,2])
Первый способ уточнения корня уравнения - метод половинного деления (дихотомии). Для этого следует разделить отрезок [a, b] пополам точкой . Возможны два случая: либо f(x) меняет знак на отрезке [a, c], либо на отрезке [c, b]. Выбирая в каждом случае тот отрезок, на котором функция меняет знак, и, продолжая процесс половинного деления дальше, можно дойти до сколь угодно малого отрезка, содержащего корень уравнения. Воспользуемся методом половинного деления с помощью данного алгоритма:
С помощью метода половинного деления корень был уточнен для уравнения
до значения .
Метод итераций
Второй способ уточнения корня уравнения - метод простых итераций (ПИ).
Для этого метода необходимо выразить из начального уравнения генерирующее отношение вида . Для уравнения было получено генерирующие отношение вида .
Для того чтобы метод простых итераций выполнялся, генерирующее соотношение должно удовлетворять условию , где х принадлежит интервалу, на котором находится корень.
Продифференцируем выражение
Для проверки применимости метода возьмем значение х, которое находится посередине интервала [1,3; 1,4], т.е. х = 1.35.
-1.4
Так как условие не выполняется , то метод в данном случае не применим, но если бы он был бы применим то корень был бы уточнен с помощью этого варианта:
Для дальнейшего уточнения корня воспользуемся методом касательных.
Метод касательных
Для уточнения корней методом касательных необходимо взять начальное приближение вблизи предположительного корня, после чего построить касательную к исследуемой функции в точке приближения, для которой находится пересечение с осью абсцисс. Эту точку необходимо взять в качестве следующего приближения. И так далее, пока не будет достигнута требуемая точность.
В качестве выступает уравнение а в качестве - её производная . Реализация метода касательных представлена в следующем алгоритме:
корень уравнение итерация алгебраический
С помощью метода касательных корень был уточнен до значения при начальном приближении . Результат был достигнут за 1 шаг.