Лабораторная работа: Решение алгебраических и трансцендентных уравнений скачать бесплатно

Главная страница >> Лабораторная работа >> Математика и статистика >> Решение алгебраических и трансцендентных уравнений

Лабораторная работа: Решение алгебраических и трансцендентных уравнений

Лабораторная работа
Решение алгебраических и трансцендентных уравнений

Дата добавления на сайт: 03 марта 2025

Заказать курсовую работу

Заказать реферат и др.

Скачать данную работу

Лабораторная работа
Решение алгебраических и трансцендентных уравнений

Задание. Для каждого уравнения отделить корни
а) табулированием;
б) графически.
. Уточнить один корень одного из уравнений с точностью e=0.01 методами половинного деления и простых итераций, а так же одним из следующих методов (по указанию преподавателя):
а) хорд
б) касательных
в) секущих

Решение: а) графически;
Чтобы отделить корни уравнения графическим методом, необходимо построить график функции и посмотреть, в каких точках график пересекает ось х. Эти точки будут являться корнями уравнения.

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений (рис. 1)

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений (рис. 1)

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений (рис. 2)

На графике видно, что корень уравнения находится на интервале (1; 2)

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений (рис. 3)

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений (рис. 4)

На этом графике видно что На графике видно, что корни уравнения находится на интервалах (-3; - 2), (-1; 0), (0; 1), (1; 2).
Для дальнейшего отделения корней необходимо воспользоваться методом табулирования.
Метод половинного деления
В этом методе вычисляется значение функции путём подстановки некоторого значения Решение алгебраических и трансцендентных уравнений (рис. 5)

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений (рис. 5)

, смещающегося при каждой итерации на определённый шаг (не более Решение алгебраических и трансцендентных уравнений (рис. 6)

), в уравнение. В дальнейшем строится таблица, с помощью которой можно определить интервалы залегания корня.

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений (рис. 7)

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений (рис. 7)

По алгоритму представленному выше мы можем найти интервалы, на которых находятся корни уравнения.
Для функции

x	F(x)
1	-0,41
1,1	-0,31
1,2	-0,21
1,3	-0,10
1,4	0,02
1,5	0,15
1,6	0,28
1,7	0,42
1,8	0,57
1,9	0,71
2	0,86

Из таблицы мы видим, что корень уравнения залегает на интервале [1,3; 1,4].
Для функции

-3	28	-1	-12	0	1	1	-4
-2,9	14,7083	-0,9	-9,6677	0,1	0,8843	1,1	-3,8037
-2,8	3,5088	-0,8	-7,4992	0,2	0,5568	1,2	-3,1472
-2,7	-5,7797	-0,7	-5,5317	0,3	0,0523	1,3	-1,9237
-2,6	-13,331	-0,6	-3,7952	0,4	-0,5872	1,4	-0,0192
-2,5	-19,313	-0,5	-2,3125	0,5	-1,3125	1,5	2,6875
-2,4	-23,883	-0,4	-1,0992	0,6	-2,0672	1,6	6,3248
-2,3	-27,196	-0,3	-0,1637	0,7	-2,7877	1,7	11,0283
-2,2	-29,395	-0,2	0,4928	0,8	-3,4032	1,8	16,9408
-2,1	-30,62	-0,1	0,8763	0,9	-3,8357	1,9	24,2123
-2	-31	0	1	1	-4	2	33

Из этих таблиц видим что корни залегают на интервалах [-2,8; - 2,9], [-0,3; - 0,2], [0.3; 0,4], [1,4; - 1,5]. (Для уточнения взят интервал [-0,3; - 0,2])
Первый способ уточнения корня уравнения - метод половинного деления (дихотомии). Для этого следует разделить отрезок [a, b] пополам точкой Решение алгебраических и трансцендентных уравнений (рис. 8)

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений (рис. 8)

. Возможны два случая: либо f(x) меняет знак на отрезке [a, c], либо на отрезке [c, b]. Выбирая в каждом случае тот отрезок, на котором функция меняет знак, и, продолжая процесс половинного деления дальше, можно дойти до сколь угодно малого отрезка, содержащего корень уравнения. Воспользуемся методом половинного деления с помощью данного алгоритма:

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений (рис. 9)

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений (рис. 9)

С помощью метода половинного деления корень был уточнен для уравнения

до значения Решение алгебраических и трансцендентных уравнений (рис. 10)

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений (рис. 10)

.
Метод итераций
Второй способ уточнения корня уравнения - метод простых итераций (ПИ).
Для этого метода необходимо выразить из начального уравнения генерирующее отношение вида Решение алгебраических и трансцендентных уравнений (рис. 11)

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений (рис. 11)

. Для уравнения Решение алгебраических и трансцендентных уравнений (рис. 12)

было получено генерирующие отношение вида Решение алгебраических и трансцендентных уравнений (рис. 13)

.
Для того чтобы метод простых итераций выполнялся, генерирующее соотношение должно удовлетворять условию Решение алгебраических и трансцендентных уравнений (рис. 14)

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений (рис. 14)

, где х принадлежит интервалу, на котором находится корень.
Продифференцируем выражение Решение алгебраических и трансцендентных уравнений (рис. 15)

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений (рис. 15)

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений (рис. 16)

Для проверки применимости метода возьмем значение х, которое находится посередине интервала [1,3; 1,4], т.е. х = 1.35.

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений (рис. 17)

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений (рис. 17)

-1.4

Так как условие не выполняется Решение алгебраических и трансцендентных уравнений (рис. 18)

, то метод в данном случае не применим, но если бы он был бы применим то корень был бы уточнен с помощью этого варианта:

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений (рис. 19)

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений (рис. 19)

Для дальнейшего уточнения корня воспользуемся методом касательных.
Метод касательных
Для уточнения корней методом касательных необходимо взять начальное приближение вблизи предположительного корня, после чего построить касательную к исследуемой функции в точке приближения, для которой находится пересечение с осью абсцисс. Эту точку необходимо взять в качестве следующего приближения. И так далее, пока не будет достигнута требуемая точность.
В качестве Решение алгебраических и трансцендентных уравнений (рис. 20)

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений (рис. 20)

выступает уравнение Решение алгебраических и трансцендентных уравнений (рис. 21)

а в качестве Решение алгебраических и трансцендентных уравнений (рис. 22)

- её производная Решение алгебраических и трансцендентных уравнений (рис. 23)

. Реализация метода касательных представлена в следующем алгоритме:

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений (рис. 24)

корень уравнение итерация алгебраический
С помощью метода касательных корень был уточнен до значения Решение алгебраических и трансцендентных уравнений (рис. 25)

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений (рис. 25)

при начальном приближении Решение алгебраических и трансцендентных уравнений (рис. 26)

. Результат был достигнут за 1 шаг.