Главная
Добавить работу на сайт
Регистрация
  
Главная страница >> Лабораторная работа >> Математика и статистика >> Решение систем линейных алгебраических уравнений

Лабораторная работа: Решение систем линейных алгебраических уравнений

Лабораторная работа №3
Решение систем линейных алгебраических уравнений


Дата добавления на сайт: 03 марта 2025
Заказать курсовую работу
Заказать реферат и др.
Скачать данную работу
Минобрнауки России
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Хакасский государственный университет им. Н.Ф. Катанова"
Институт информационных технологий и инженерного образования
Кафедра информационных систем и технологий

Лабораторная работа №3
Решение систем линейных алгебраических уравнений

Выполнил:
Студент группы 41
Юшин Андрей
Проверила:
Молчанова Е.А.

Абакан, 2013
Задание

Система уравнений:

Решение систем линейных алгебраических уравнений (рис. 1) (1)

.Решить систему уравнений с точностью e=0.001 методом Гаусса с минимизацией невязки и методом простых итераций.
.Найти для матрицы коэффициентов определитель.

Решение

Решение системы методом Гаусса
Метод Гаусса является наиболее распространенным методом решения систем линейных алгебраических уравнений. В его основе лежит идея последовательного исключения неизвестных.
Пусть Решение систем линейных алгебраических уравнений (рис. 2) (ведущий элемент). Первое уравнение системы (1) оставим без изменения, а из второго уравнения вычтем первое уравнение, домноженное на Решение систем линейных алгебраических уравнений (рис. 3), получим:

Решение систем линейных алгебраических уравнений (рис. 4)
где Решение систем линейных алгебраических уравнений (рис. 5)

Такие же преобразования проделаем с третьим и четвертым уравнением:

Решение систем линейных алгебраических уравнений (рис. 6) (2)

Решение систем линейных алгебраических уравнений (рис. 7)

Проводя аналогичные преобразования с целью исключения Решение систем линейных алгебраических уравнений (рис. 8), где n=4, приведем систему к треугольному виду:

Решение систем линейных алгебраических уравнений (рис. 9) (3)

Приведенная последовательность действий носит название прямого хода.
Значение переменной х4 определяется из четвертого уравнения:

Решение систем линейных алгебраических уравнений (рис. 10)

Подставив полученное значение в третье уравнение системы (3), можно найти значение х3, а затем из второго и первого уравнений можно найти значения переменных х2 и х1 соответственно

Решение систем линейных алгебраических уравнений (рис. 11)

Таким образом, решение системы распадается на два этапа:
1.Прямой ход: приведение системы (2) к треугольному виду.
2.Обратный ход: определение значений неизвестных по уравнениям системы (3).
Воспользовавшись данным методом, найдем значения переменных для системы уравнений (1).
Запишем систему в виде расширенной матрицы:

Решение систем линейных алгебраических уравнений (рис. 12)

Для удобства вычислений поменяем строки местами:

Решение систем линейных алгебраических уравнений (рис. 13)

Работаем со столбцом №1
Умножим 3-ую строку на (m= -2.51 / 5.77 = -0.435) и добавим к 4-ой:

7.4219.0311.75-8.32-49.49
6.3611.75103.64-41.7
5.777.426.36-2.69-27.67
0-12.868-10.687-3.1254.427

Умножим 2-ую строку на (m= -5.77 / 6.36 = -0.907) и добавим к 3-ой:

7.4219.0311.75-8.32-49.49
6.3611.75103.64-41.7
0-3.24-2.712-5.99210.162
0-12.868-10.687-3.1254.427

Умножим 1-ую строку на (m = -6.36 / 7.42 = -0.857) и добавим к 2-ой:

7.4219.0311.75-8.32-49.49
0-4.561-0.071410.7710.72
0-3.24-2.712-5.99210.162
0-12.868-10.687-3.1254.427

Для удобства вычислений поменяем строки местами:

Работаем со столбцом №2
Умножим 3-ую строку на (m = -3.24 / 4.561 = -0.71) и добавим к 4-ой:

7.4219.0311.75-8.32-49.49
0-12.868-10.687-3.1254.427
0-4.561-0.071410.7710.72
00-2.662-13.6439.65

Умножим 2-ую строку на (m = -4.561 / 12.868 = -0.354) и добавим к 3-ой:

7.4219.0311.75-8.32-49.49
0-12.868-10.687-3.1254.427
003.71711.877-18.573
00-2.662-13.6439.65

Работаем со столбцом №3
Умножим 3-ую строку на (m = 2.662 / 3.717 = 0.716) и добавим к 4-ой:

7.4219.0311.75-8.32-49.49
0-12.868-10.687-3.1254.427
003.71711.877-18.573
000-5.138-3.65

Получим единицы на главной диагонали. Для этого всю строку делим на соответствующий элемент главной диагонали:

Теперь исходную систему можно записать как:
= -6.67 - (2.56x2 + 1.58x3 - 1.12x4)= -4.23 - (0.83x3 + 0.24x4)= -5 - (3.2x4)= 0.71

Из 4-ой строки выражаем x4

Из 3-ой строки выражаем x3

Из 2-ой строки выражаем x2

Из 1-ой строки выражаем x1

Метод минимизации невязки
Обозначим через Решение систем линейных алгебраических уравнений (рис. 14) приближенное решение системы уравнений, полученное методом Гаусса. Подставим это приближенное решение в систему и вычислим правые части Решение систем линейных алгебраических уравнений (рис. 15):

Решение систем линейных алгебраических уравнений (рис. 16)

Так как Решение систем линейных алгебраических уравнений (рис. 17) отличаются от истинного значения, то и Решение систем линейных алгебраических уравнений (рис. 18), будут отличаться от Решение систем линейных алгебраических уравнений (рис. 19).

Разность между исходным столбцом свободных членов и получившимся при подстановке найденного вектора неизвестных, будем называть невязкой:

Решение систем линейных алгебраических уравнений (рис. 20)

Пусть Решение систем линейных алгебраических уравнений (рис. 21) - точное решение системы, а Решение систем линейных алгебраических уравнений (рис. 22) - погрешность, возникшая в результате округлений при решении системы методом Гаусса. Невязка возникла именно из-за погрешностей неизвестных. Если наибольшее по модулю значение Решение систем линейных алгебраических уравнений (рис. 23) превышает требуемую точность, необходимо найти более точное решение системы.
Подставим в систему вместо столбца свободных членов столбец невязок, а вместо переменных хi - неизвестные поправки:

Решение систем линейных алгебраических уравнений (рис. 24) (4)

Решая эту систему, получаем значения Решение систем линейных алгебраических уравнений (рис. 25) и новое приближенное решение системы:

Решение систем линейных алгебраических уравнений (рис. 26)

Если значения всех погрешностей меньше заданной точности, т.е. Решение систем линейных алгебраических уравнений (рис. 27), то полученное приближение переменных можно считать искомым решением системы, найденным с заданной точностью.
В противном случае, подставляем Решение систем линейных алгебраических уравнений (рис. 28) в систему, находим новые невязки, зная которые находим новые поправки, с помощью которых вычисляем следующее приближение. Процесс продолжают до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность, т.е. все поправки не станут достаточно малыми: Решение систем линейных алгебраических уравнений (рис. 29).
Применяя данный метод найдем новые значения переменных в соответствии с заданной точностью Решение систем линейных алгебраических уравнений (рис. 30)=0.001 и полученными поправками:

В(0) =Решение систем линейных алгебраических уравнений (рис. 31); Х(0) =Решение систем линейных алгебраических уравнений (рис. 32)
В(1) = Решение систем линейных алгебраических уравнений (рис. 33)
Получим невязки:

Решение систем линейных алгебраических уравнений (рис. 34)

Подставляем эти невязки в столбец свободных членов

Решение систем линейных алгебраических уравнений (рис. 35)

Решая данную систему методом получим погрешность:

Решение систем линейных алгебраических уравнений (рис. 36)

Тогда по формуле Решение систем линейных алгебраических уравнений (рис. 37) найдем значения переменных с учетом погрешности:
уравнение гаусс матрица невязка
Решение систем линейных алгебраических уравнений (рис. 38)

Так как погрешность не удовлетворяет условию Решение систем линейных алгебраических уравнений (рис. 39), значит нужно продолжит процесс минимизации. В результате за 3 процесса минимизации невязок получились следующие значения переменных:
Решение систем линейных алгебраических уравнений (рис. 40)
Укрупненная блок-схема метода представлена в приложении 1
Метод простой итерации или метод Якоби
Напомним, что нам требуется решить систему линейных уравнений, которая в матричном виде записывается как:

Решение систем линейных алгебраических уравнений (рис. 41),
где Решение систем линейных алгебраических уравнений (рис. 42), Решение систем линейных алгебраических уравнений (рис. 43), Решение систем линейных алгебраических уравнений (рис. 44).

Предположим, что диагональные элементы матриц A исходной системы не равны 0 (aii ≠ 0, i = 1, 2, …, n). Разрешим первое уравнение системы относительно x1, второе относительно x2 и т.д. Получим следующую эквивалентную систему, записанную в скалярном виде:

Решение систем линейных алгебраических уравнений (рис. 45) (4),

Теперь, задав нулевое приближение Решение систем линейных алгебраических уравнений (рис. 46), по рекуррентным соотношениям (4) можем выполнять итерационный процесс, а именно:

Решение систем линейных алгебраических уравнений (рис. 47) (5)

Аналогично находятся следующие приближения Решение систем линейных алгебраических уравнений (рис. 48), где в (5) вместо Решение систем линейных алгебраических уравнений (рис. 49) необходимо подставить Решение систем линейных алгебраических уравнений (рис. 50).
Или в общем случае:

Решение систем линейных алгебраических уравнений (рис. 51). (3)
или Решение систем линейных алгебраических уравнений (рис. 52)

Условие окончания итерационного процесса

Решение систем линейных алгебраических уравнений (рис. 53).

Достаточное условие сходимости: Если выполнено условие диагонального преобладания, т.е.

Решение систем линейных алгебраических уравнений (рис. 54),

то итерационный процесс (3) сходится при любом выборе начального приближения. Если исходная система уравнений не удовлетворяет условию сходимости, то ее приводят к виду с диагональным преобладанием.
Выбор начального приближения влияет на количество итераций, необходимых для получения приближенного решения. Наиболее часто в качестве начального приближения берут Решение систем линейных алгебраических уравнений (рис. 55) или Решение систем линейных алгебраических уравнений (рис. 56).
Замечание. Указанное выше условие сходимости является достаточным, т.е. если оно выполняется, то процесс сходится. Однако процесс может сходиться и при отсутствии диагонального преобладания, а может и не сойтись.
Перейдем же непосредственно к решению системы (1) методом простых итераций, для этого сначало надо проверить условие сходимости системы

Решение систем линейных алгебраических уравнений (рис. 57),
|6.36|Nx1x2x3x4e1e2e3e4000001-5.08-3.16-4.431.415.083.164.431.4126.572.062.55-6.21.5-1.1-1.884.793-14.79-8.26-11.268.28.226.28.721.99427.1811.4615.16-19.312.393.23.8911.15-53.04-26.66-35.933.9425.8615.220.7414.646102.0446.762.35-68.414920.0426.4634.477-196.36-94.71-127.05128.9894.3248.0164.760.578378.91177.71237.8-251.19182.5682.99110.75122.229-729.23-347.22-465.26481.42350.32169.51227.46230.23101406.12664.17889.3-930.06676.88316.95424.04448.6411-2708.03-1284.56-1720.681789.611301.91620.39831.37859.55125219.12470.173308.08-3450.492511.071185.611587.411660.8813-10054.49-4764.3-6381.26646.014835.42294.143073.113195.521419374.29174.8212287.72-12807.529319.714410.515906.526161.5115-37327.88-17682.57-23682.9124674.8717953.688507.7611395.1911867.351671923.734065.2945623.97-47544.8234595.8316382.7221941.0522869.9517-138578.26-65640.62-87914.0791605.5266654.5631575.3342290.144060.6918267009.39126469.16169382.18-176504.32128431.1360828.5381468.1184898.81
Производя итерации я убедился что процесс не сходиться и данный метод к этой системе неприменим!.
Нахождение методом Гаусса определителя матрицы
Поскольку нахождение определителей для матриц большой размерности достаточной сложный процесс, удобнее для этих целей воспользоваться методом Гаусса.
Любая квадратная матрица может быть представлена произведением двух треугольных матриц - верхней и нижней.

Решение систем линейных алгебраических уравнений (рис. 60),

или, подробнее

Решение систем линейных алгебраических уравнений (рис. 61)

Определитель исходной матрицы будет равен произведению определителей треугольных матриц. Определитель каждой из треугольных матриц равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали:

Решение систем линейных алгебраических уравнений (рис. 62)

Т.о., определитель исходной матрицы равен произведению диагональных элементов верхней треугольной матрицы.
В начале, с помощью первой части алгоритма метода Гаусса (прямой ход) приведем систему к треугольному виду (см. метод Гаусса выше):

Решение систем линейных алгебраических уравнений (рис. 63)

Тогда определить матрицы будет равен произведению диагональных элементов Решение систем линейных алгебраических уравнений (рис. 64):

Решение систем линейных алгебраических уравнений (рис. 65)

В нашем случае определитель равен

Решение систем линейных алгебраических уравнений (рис. 66)

Приложение. Блок-схема метода минимизации невязок

Решение систем линейных алгебраических уравнений (рис. 67)



Похожие материалы:


Реферат: Метод Ньютона (метод касательных). Решение систем нелинейных алгебраических уравнений

Курсовая работа: Решение систем дифференциальных уравнений методом преобразования Лапласа

Контрольная работа: Методы решения систем линейных алгебраических уравнений

Лабораторная работа: Решение алгебраических и трансцендентных уравнений

Лабораторная работа: Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений

Комментарии:

Вы не можете оставлять комментарии. Пожалуйста, зарегистрируйтесь.
▲ ▼